← Quay lại trang luyện tập
⏳ Trang đang tải công thức Toán học, vui lòng đợi vài giây trước khi bấm in hoặc chụp màn hình...
Tailieumontoan.com

Chương V. Bất đẳng thức, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

Tài liệu luyện tập trắc nghiệm — 48 câu trắc nghiệm
Bản đề (chưa có đáp án) — dùng để in ra làm bài
Họ và tên:  
Lớp:  
A

Một số kiến thức cơ bản

Bất đẳng thức và giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

1
Định nghĩa và tính chất cơ bản
  • $A\ge B \Leftrightarrow A-B\ge0$; nếu $a\ge b,\ b\ge c$ thì $a\ge c$; nếu $a\ge b$ thì $a+c\ge b+c$ với mọi $c$
  • Nếu $a\ge b$ thì $ac\ge bc$ khi $c>0$, $ac\le bc$ khi $c<0$
  • Nếu $a\ge b\ge0$ thì $a^n\ge b^n$ với $n$ tự nhiên; $a+b\le|a+b|\le|a|+|b|$
  • $a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$ với mọi $a,b,c$ (tương đương $\dfrac{1}{2}\left[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right]\ge0$)
2
Bất đẳng thức Cô-si (AM–GM) Với $a,b\ge0$: $a+b\ge2\sqrt{ab}$, dấu "=" khi $a=b$. Tổng quát với $n$ số không âm $a_1,\ldots,a_n$: $a_1+\cdots+a_n\ge n\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$, dấu "=" khi $a_1=\cdots=a_n$.
3
Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski (Cauchy–Schwarz) $(ax+by)^2\le(a^2+b^2)(x^2+y^2)$, dấu "=" khi $\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}$. Tổng quát: $(a_1b_1+\cdots+a_nb_n)^2\le(a_1^2+\cdots+a_n^2)(b_1^2+\cdots+b_n^2)$.
4
Một số hệ quả thường dùng (với $a,b,c>0$)
  • Nếu $a+b=S$ không đổi thì $ab$ đạt giá trị lớn nhất khi $a=b$
  • Nếu $ab=P$ không đổi thì $a+b$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $a=b$
  • $\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)(a+b)\ge4 \Rightarrow \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}$
  • $\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)(a+b+c)\ge9 \Rightarrow \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{9}{a+b+c}$
5
Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức Số $m$ là GTNN của $A(x)$ nếu $m\le A(x)$ với mọi $x$ và tồn tại $x_0$ để $m=A(x_0)$. Số $M$ là GTLN của $A(x)$ nếu $M\ge A(x)$ với mọi $x$ và tồn tại $x_0$ để $M=A(x_0)$.
Chú ý: nếu chỉ chứng minh được $m\le A(x)\le M$ mà không chỉ ra được giá trị $x_0$ cụ thể để dấu "=" xảy ra, thì chưa thể kết luận $m$ là GTNN hay $M$ là GTLN của $A(x)$ — luôn phải kiểm tra điều kiện dấu bằng có đạt được hay không.
Các bài toán về bất đẳng thức
Câu 1. Trong các khẳng định sau, có mấy khẳng định là đúng với $a,b,c,d$ là số thực bất kì thỏa mãn $a\gt b, c\gt d$:
I. $a+c\gt b+d$
II. $a-c\gt b-d$
III. $ac\gt bd$
IV. $a-d\gt b-c$
○ A. 1
○ B. 2
○ C. 3
○ D. 4
Câu 2. Cho $x\le-7, y\le-3$, có mấy khẳng định dưới đây là đúng:
I. $xy\le21$
II. $x+y\le-10$
III. $x-y\le-4$
IV. $\dfrac{x}{y}\le\dfrac{7}{3}$
○ A. 1
○ B. 2
○ C. 3
○ D. 4
Câu 3. Có bao nhiêu số nguyên $n$ thỏa mãn điều kiện $n^2-7n-8\le0$
○ A. 9
○ B. 12
○ C. 11
○ D. 10
Câu 4. Cho $x$ là số thực bất kì, khẳng định nào dưới đây là đúng?
○ A. $x^3\ge x^2$
○ B. $2x\gt x$
○ C. $x^2-6x+17\gt 0$
○ D. $x\ge-x$
Câu 5. Cho $M=\dfrac{1}{1\cdot2}+\dfrac{1}{2\cdot3}+\cdots+\dfrac{1}{99\cdot100}$. Khẳng định nào dưới đây là đúng?
○ A. $0\lt M\lt 1$
○ B. $M=1$
○ C. $1\lt M\lt 2$
○ D. $M\gt 2$
Câu 6. Cho $Q=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$. Khẳng định nào dưới đây là đúng với $a,b,c$ là các số thực bất kì?
○ A. $Q\lt 0$
○ B. $Q\ge0$
○ C. $-1\lt Q\lt 1$
○ D. $Q\ge1$
Câu 7. Cho $P=a^4+b^4,\ Q=a^3b+ab^3$. Khẳng định nào dưới đây là đúng khi $a,b$ là các số thực bất kì?
○ A. $P\ge Q$
○ B. $P\lt Q$
○ C. $2P=Q$
○ D. $P+Q=3$
Câu 8. Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $\begin{cases}abc\gt 0\\ ab+bc+ca\gt 0\\ a+b+c\gt 0\end{cases}$. Khẳng định nào dưới đây là đúng?
○ A. Cả ba số $a,b,c$ đều âm
○ B. Tồn tại duy nhất một số âm trong các số $a,b,c$
○ C. Có duy nhất một số dương trong ba số $a,b,c$
○ D. Cả ba số $a,b,c$ đều dương
Câu 9. Cho $a\in(0;1)$, đặt $M=\sqrt{50}+\sqrt{9+a}$, $N=\sqrt{48}+\sqrt{9-a}$. Khẳng định nào dưới đây là đúng?
○ A. $N\lt 10\lt M$
○ B. $M\lt 10\lt N$
○ C. $M=N=10$
○ D. $M\lt N\lt 10$
Câu 10. Cho $a,b$ là các số thực bất kì, có bao nhiêu khẳng định dưới đây là đúng:
I. Nếu $3a\gt 2b$ thì $9a^2\gt 4b^2$
II. Nếu $3a\gt 2b$ thì $27a^3\gt 8b^3$
III. Nếu $5a\gt 3b$ thì $5a+c\gt 3b+c$ với mọi $c$
IV. Nếu $5a\gt 3b$ thì $5a^2\gt 3ab$
○ A. 1
○ B. 2
○ C. 3
○ D. 4
Câu 11. Có bao nhiêu số nguyên $n$ thỏa mãn điều kiện $(n-2)^2-8(n-2)-9\le0$
○ A. 9
○ B. 10
○ C. 11
○ D. 12
Câu 12. Cho các biểu thức $E=a^2-8a+20,\ F=a^2-5a+9,\ G=a^2-7a+6,\ H=a^2+\dfrac{4}{a^2+3}-1$. Có mấy biểu thức không âm với mọi $a\in\mathbb{R}$?
○ A. 4
○ B. 2
○ C. 1
○ D. 3
Câu 13. Cho $M=\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+\cdots+\dfrac{1}{n^2}$ với $n\ge4$ là số nguyên. Khẳng định nào dưới đây là đúng?
○ A. $0\lt M\lt \dfrac12$
○ B. $\dfrac12\lt M\lt 1$
○ C. $M=\dfrac12$
○ D. $M\gt 1$
Câu 14. Tìm số nguyên dương $n$ lớn nhất sao cho bất đẳng thức $\dfrac{1}{a}+\dfrac{4}{b}\ge\dfrac{n}{a+b}$ luôn đúng với mọi $a,b$ là các số dương bất kì
○ A. 7
○ B. 8
○ C. 9
○ D. 10
Câu 15. Có bao nhiêu số chẵn, nguyên dương $n$ thỏa mãn điều kiện $\dfrac{3}{1\cdot4}+\dfrac{3}{4\cdot7}+\cdots+\dfrac{3}{(3n-2)(3n+1)}\lt \dfrac{2021}{2022}$
○ A. 335
○ B. 336
○ C. 337
○ D. 338
Câu 16. Cho các số thực $a,b$ thỏa mãn điều kiện $a+b\ge8$. Đặt $M=a^2-4b, N=b^2-4a$. Khẳng định nào dưới đây là đúng?
○ A. $M\gt 0,N\gt 0$
○ B. $M\lt 0,N\lt 0$
○ C. $M+N\lt 0$
○ D. $M\ge0$ hoặc $N\ge0$
Các bài toán về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
Câu 17. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M=x^2-6x+19$ là:
○ A. 8
○ B. 9
○ C. 10
○ D. 11
Câu 18. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $E=\dfrac{60}{x^2-2x+6}$
○ A. 10
○ B. 11
○ C. 15
○ D. 12
Câu 19. Cho $x\gt 0$, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q=x+\dfrac{16}{x}+5$ là:
○ A. 12
○ B. 13
○ C. 14
○ D. 15
Câu 20. Cho $a,b$ là các số dương thay đổi thỏa mãn $a+b=4$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $V=\dfrac{60}{ab}$ là:
○ A. 15
○ B. 16
○ C. 17
○ D. 12
Câu 21. Gọi $m,M$ lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của $P=a^2-4a+13$ với $3\le a\le5$. Tính $m+M$
○ A. 27
○ B. 28
○ C. 29
○ D. 32
Câu 22. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M=\dfrac{a^4+5a^2+1}{a^2}\ (a\ne0)$
○ A. 7
○ B. 6
○ C. 8
○ D. 10
Câu 23. Cho $a,b$ là các số dương thay đổi thỏa mãn $a+b\le2$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\sqrt{a(b+3)}+\sqrt{b(a+3)}$ là:
○ A. 4
○ B. 3
○ C. $\dfrac{7}{2}$
○ D. 5
Câu 24. Các số thực $x,y$ thay đổi thỏa mãn điều kiện $x+y=1$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $E=x^4+y^4$ là:
○ A. $\dfrac{1}{16}$
○ B. $\dfrac{1}{8}$
○ C. $\dfrac{1}{4}$
○ D. $\dfrac{1}{2}$
Câu 25. Với $x$ là số nguyên, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q=\dfrac{72}{x-7}$ là
○ A. $-72$
○ B. $-70$
○ C. $-71$
○ D. $-73$
Câu 26. Với $a$ là số nguyên, giá trị lớn nhất của biểu thức $E=2025-|3a-8|$ là
○ A. 2022
○ B. 2023
○ C. 2024
○ D. 2025
Câu 27. Cho $E\ge3, F\ge4, G\le5, H\le6$. Ta chỉ có thể tìm được giá trị lớn nhất của biểu thức nào dưới đây?
○ A. $E+F+G+H$
○ B. $E-F+G-H$
○ C. $E+F-G-H$
○ D. $-E-F+G+H$
Câu 28. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=|x-4|+|x+9|$
○ A. 11
○ B. 12
○ C. 13
○ D. 14
Câu 29. Cho $-\sqrt3\le a\le\sqrt3$, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q=2a+\sqrt{6-2a^2}$ là:
○ A. $-\sqrt3$
○ B. $-2\sqrt3$
○ C. $-3\sqrt2$
○ D. $-2\sqrt2$
Câu 30. $a,b$ là các số nguyên thỏa mãn $a+b=51$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $P=ab-20$ là
○ A. 628
○ B. 632
○ C. 625
○ D. 630
Câu 31. Cho $x\gt 0$, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=4x+\dfrac{25}{x}$ là:
○ A. 18
○ B. 20
○ C. 22
○ D. 25
Câu 32. Gọi $M$ là giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q=(a-1)(a-4)(a-7)(a-10)$. Khẳng định nào dưới đây là đúng?
○ A. $M=-81$
○ B. $M=-80$
○ C. $M=-79$
○ D. $M=-82$
Bài tập tổng hợp
Câu 33. Cho $a\in\mathbb{Z}$, giá trị lớn nhất của biểu thức $M=\dfrac{7a+33}{a+3}$ là
○ A. 19
○ B. 20
○ C. 21
○ D. 22
Câu 34. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=x^2+4y^2-6x+4y+27$
○ A. 15
○ B. 16
○ C. 17
○ D. 18
Câu 35. Cho $a\gt 1$, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $E=a+\dfrac{1}{a-1}+16$
○ A. 17
○ B. 18
○ C. 19
○ D. 20
Câu 36. Cho $a\ge3$, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q=a^2-2a+49$
○ A. 51
○ B. 52
○ C. 50
○ D. 55
Câu 37. Biểu thức nào dưới đây có giá trị nhỏ nhất bằng $18$?
○ A. $x^2-4x+22$
○ B. $x^2-2x+20$
○ C. $-x^2-2x+19$
○ D. $x^2-2x+18$
Câu 38. Cho $a,b\gt 0$ thỏa mãn $a+b=1$. Giá trị nhỏ nhất của $a^8+b^8$ là
○ A. $\dfrac{1}{64}$
○ B. $\dfrac{1}{32}$
○ C. $\dfrac{1}{128}$
○ D. $\dfrac{1}{132}$
Câu 39. Cho $x,y$ là các số thực thỏa mãn điều kiện $(x-1)^2+(y+2)^2=2$. Giá trị nhỏ nhất của $x+y$
○ A. $-3$
○ B. 3
○ C. 0
○ D. $-2$
Câu 40. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q=(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)$
○ A. $-16$
○ B. $-14$
○ C. $-18$
○ D. $-20$
Câu 41. Gọi $M$ là giá trị lớn nhất của biểu thức $-a^2-b^2-4a+8b+10$. Giá trị của $M$ là
○ A. 30
○ B. 28
○ C. 29
○ D. 32
Câu 42. Gọi $m,M$ lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức $\dfrac{3x-11}{x-5}$ với $x\in\mathbb{Z}$. Khi đó $m+M$ bằng
○ A. 4
○ B. 5
○ C. 6
○ D. 7
Câu 43. Cho $x,y$ là các số dương thay đổi thỏa mãn $x+y=3$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M=\dfrac{45}{xy}$ là
○ A. 15
○ B. 20
○ C. 18
○ D. 24
Câu 44. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M=(x+2)^2+(x-6)^2+9$
○ A. 39
○ B. 40
○ C. 42
○ D. 41
Câu 45. Cho $x+y=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q=x^3+y^3+3xy+20$
○ A. 30
○ B. 32
○ C. $\dfrac{67}{2}$
○ D. 35
Câu 46. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $Q=\dfrac{a^2-4a+50}{a^2-4a+14}$
○ A. 4
○ B. $\dfrac{23}{5}$
○ C. 5
○ D. 6
Câu 47. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $E=x^4-8x^3+64x+104$
○ A. 40
○ B. 36
○ C. 38
○ D. 42
Câu 48. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $K=|a^2-2a+3|+|a^2-2a-4|$ bằng
○ A. 5
○ B. 6
○ C. 8
○ D. 7