Chương VI. Tam giác và Tứ giác

Một số kiến thức cơ bản

Tam giác, tứ giác và các hệ thức lượng

Bất đẳng thức tam giác và các đường đồng quy

Trong một tam giác, độ dài mỗi cạnh nhỏ hơn tổng và lớn hơn hiệu độ dài hai cạnh còn lại
Trong một tam giác: ba đường trung tuyến đồng quy tại trọng tâm, ba đường cao đồng quy tại trực tâm, ba đường phân giác trong đồng quy tại tâm đường tròn nội tiếp, ba đường trung trực đồng quy tại tâm đường tròn ngoại tiếp
Trọng tâm chia mỗi trung tuyến theo tỉ số $2:1$ tính từ đỉnh; ba tam giác tạo bởi trọng tâm và ba cạnh có diện tích bằng nhau (mỗi tam giác bằng $\dfrac{1}{3}$ diện tích tam giác ban đầu)

Hệ thức lượng trong tam giác vuông Cho $\triangle ABC$, $\widehat{BAC}=90°$, đường cao $AH$: $AB^2+AC^2=BC^2;\ AH^2=BH.CH;\ AB^2=BH.BC,\ AC^2=CH.BC;\ \dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}$

Đường trung tuyến Cho $\triangle ABC$, trung tuyến $AM$: $\ AB^2+AC^2=2AM^2+\dfrac{1}{2}BC^2$. Riêng khi $\widehat{BAC}=90°$ thì $AM=\dfrac{1}{2}BC$ (trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)

Diện tích tam giác, hình bình hành và tam giác đồng dạng

Tam giác nhọn (hoặc có góc $A$ nhọn): $S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AB.AC.\sin A$; hình bình hành $ABCD$: $S_{ABCD}=AB.AD.\sin A$
Nếu $\triangle ABC \backsim \triangle DEF$ theo tỉ số $k$ thì tỉ số các đường trung tuyến, đường cao, đường phân giác, chu vi tương ứng cũng bằng $k$, còn tỉ số diện tích bằng $k^2$

Dấu hiệu nhận biết hình bình hành và các tứ giác đặc biệt

Tứ giác là hình bình hành nếu: các cặp cạnh đối song song, hoặc một cặp cạnh đối song song và bằng nhau, hoặc các cặp cạnh đối bằng nhau, hoặc hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật; có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi; vừa có góc vuông vừa có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông
Đường trung bình của tam giác (nối trung điểm hai cạnh) song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đó — đây là công cụ chính để chứng minh các tứ giác tạo bởi trung điểm là hình bình hành (định lí Varignon)

Một số kết quả lượng giác thường dùng $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1;\quad 1+\tan^2\alpha=\dfrac{1}{\cos^2\alpha};\quad 1+\cot^2\alpha=\dfrac{1}{\sin^2\alpha};\quad \tan\alpha.\cot\alpha=1$

Chú ý: nếu $I$ là giao điểm hai đường phân giác trong tại $B,C$ của $\triangle ABC$ ($I$ là tâm đường tròn nội tiếp) thì $\widehat{BIC}=90°+\dfrac{\widehat{A}}{2}$ — một hệ thức góc rất hay gặp khi tính góc tạo bởi các đường phân giác trong tam giác.