Chương I. Biểu thức đại số

Ta có $f(2)+f(-2) = (4a+2b+c)+(4a-2b+c) = 8a+2c$. Đáp án B.

Ta có $4-2\sqrt3 = (\sqrt3-1)^2$, nên $\sqrt{4-2\sqrt3} = |\sqrt3-1| = \sqrt3-1$ (vì $\sqrt3>1$).
Vậy $M = (\sqrt3-1)-31 = \sqrt3-32$. Đáp án A.

Ta có $5\pm2\sqrt6 = (\sqrt3\pm\sqrt2)^2$, nên $x_0 = (\sqrt3+\sqrt2)-(\sqrt3-\sqrt2) = 2\sqrt2$.
Thay vào: $x_0^2-2\sqrt2\,x_0 = 8-2\sqrt2\cdot2\sqrt2 = 8-8=0$. Đáp án B.

Vì $a,b<0$ nên $\sqrt{ab} = \sqrt{(-a)(-b)} = \sqrt{-a}\cdot\sqrt{-b}$ và $\sqrt{b^2}=-b$.
$P = \dfrac{\sqrt{-a}\sqrt{-b}+b}{b} - \sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{-a}}{\sqrt{-b}} + 1 - \sqrt{\dfrac{a}{b}}$. Mà $\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\sqrt{\dfrac{-a}{-b}}=\dfrac{\sqrt{-a}}{\sqrt{-b}}$, hai số hạng này triệt tiêu nhau.
Vậy $P = 1$. Đáp án D.

Nhân liên hợp từng số hạng: $\dfrac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}} = \sqrt{k+1}-\sqrt{k}$.
Các số hạng triệt tiêu theo kiểu "domino": $M = (\sqrt2-1)+(\sqrt3-\sqrt2)+\cdots+(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) = \sqrt{n+1}-1$. Đáp án D.

Biến đổi giả thiết thành tổng ba bình phương bằng $0$: $$(a-2-6\sqrt{a-2}+9)+(b-1-4\sqrt{b-1}+4)+(c-2\sqrt{c}+1)=0$$ $$\Leftrightarrow \left(\sqrt{a-2}-3\right)^2+\left(\sqrt{b-1}-2\right)^2+\left(\sqrt{c}-1\right)^2=0$$ Suy ra $\sqrt{a-2}=3,\ \sqrt{b-1}=2,\ \sqrt{c}=1$, tức là $a=11,\ b=5,\ c=1$. Vậy $a+b+c=17$. Đáp án C.

Đặt $x=1+\dfrac{\sqrt{84}}{9},\ y=1-\dfrac{\sqrt{84}}{9}$. Ta có $x+y=2$ và $xy=1-\dfrac{84}{81}=-\dfrac{1}{27}$. Khi đó $a^3=x+y+3\sqrt[3]{xy}\cdot a=2+3a\cdot\left(-\dfrac13\right)=2-a$ $\Rightarrow a^3+a-2=0\Leftrightarrow(a-1)\left(a^2+a+2\right)=0$. Vì $a^2+a+2=\left(a+\dfrac12\right)^2+\dfrac74>0$ nên $a=1$. Đáp án A.

Từ $a+b+c=0\Rightarrow b+c=-a\Rightarrow(b+c)^2=a^2\Rightarrow b^2+c^2-a^2=-2bc$. Tương tự $c^2+a^2-b^2=-2ac$ và $a^2+b^2-c^2=-2ab$. Do đó $M=\dfrac{1}{-2bc}+\dfrac{1}{-2ac}+\dfrac{1}{-2ab}=\dfrac{-1}{2abc}(a+b+c)=0$ (vì $a+b+c=0$). Đáp án C.

Nhân cả hai vế với $3$ và viết $3=(n+2)-(n-1)$ cho từng số hạng $n(n+1)$ để rút gọn kiểu "domino": $$3P=1.2.3+2.3.(4-1)+3.4.(5-2)+\ldots+101.102.(103-100)=101.102.103$$ $$\Rightarrow P=\dfrac{101.102.103}{3}=353702$$ Đáp án B.

Biến đổi vế trái thành tổng các bình phương bằng $0$: $$(a+b-2c)^2+(a-3)^2+(b+1)^2=0$$ $$\Rightarrow \begin{cases}a+b-2c=0\\ a-3=0\\ b+1=0\end{cases}\Rightarrow a=3,\ b=-1,\ c=1$$ Vậy $Q=(3-2)^{100}+(-1+1)^{200}+(1-1)^{201}=1^{100}+0+0=1$. Đáp án C.

Ta có $\sqrt{80}=4\sqrt5$; $\sqrt{125}=5\sqrt5$; $\sqrt{45}=3\sqrt5$; $\sqrt{20}=2\sqrt5$.
Do đó tử số bằng $4\sqrt5-5\sqrt5+3\sqrt5+2\sqrt5=4\sqrt5$.
Vậy giá trị của biểu thức là $\dfrac{4\sqrt5}{2\sqrt5}=2$. Đáp án C.

Vì $a>\dfrac75>0$ nên $|a|=a$.
Lại có $1-2a+a^2=(a-1)^2$ nên $\sqrt{1-2a+a^2}=|a-1|=a-1$ (do $a>\dfrac75>1$).
Vậy $E=a-(a-1)=1$. Đáp án D.

Ta có $P=\dfrac{6}{\left|\sqrt3-2\right|}-\dfrac{5}{\left|\sqrt3+2\right|}=\dfrac{6}{2-\sqrt3}-\dfrac{5}{2+\sqrt3}$ (vì $\sqrt3<2$).
Trục căn thức ở mẫu: $\dfrac{6}{2-\sqrt3}=\dfrac{6\left(2+\sqrt3\right)}{4-3}=12+6\sqrt3$ và $\dfrac{5}{2+\sqrt3}=\dfrac{5\left(2-\sqrt3\right)}{4-3}=10-5\sqrt3$.
Vậy $P=\left(12+6\sqrt3\right)-\left(10-5\sqrt3\right)=2+11\sqrt3$. Đáp án C.

Ta có $\sqrt{\left(2+\sqrt5\right)^2}=\left|2+\sqrt5\right|=2+\sqrt5$ và $\sqrt{\left(2-\sqrt5\right)^2}=\left|2-\sqrt5\right|=\sqrt5-2$ (vì $\sqrt5>2$).
Do đó tổng bằng $\left(2+\sqrt5\right)+\left(\sqrt5-2\right)=2\sqrt5=0+2\sqrt5$, suy ra $a=0,\ b=2$.
Vậy $199a+3b=199\cdot0+3\cdot2=6$. Đáp án D.

Ta có $\sqrt{10}-\sqrt6=\sqrt2\left(\sqrt5-\sqrt3\right)$.
Lại có $\left(4+\sqrt{15}\right)\sqrt{4-\sqrt{15}}=\sqrt{4+\sqrt{15}}\cdot\sqrt{\left(4+\sqrt{15}\right)\left(4-\sqrt{15}\right)}=\sqrt{4+\sqrt{15}}$ (vì $16-15=1$).
Do đó $M=\sqrt2\cdot\sqrt{4+\sqrt{15}}\cdot\left(\sqrt5-\sqrt3\right)=\sqrt{8+2\sqrt{15}}\left(\sqrt5-\sqrt3\right)$.
Mà $8+2\sqrt{15}=\left(\sqrt5+\sqrt3\right)^2$ nên $M=\left(\sqrt5+\sqrt3\right)\left(\sqrt5-\sqrt3\right)=5-3=2$. Đáp án B.

Ta có $9+4\sqrt5=5+4\sqrt5+4=\left(\sqrt5+2\right)^2$ nên $\sqrt{9+4\sqrt5}=\sqrt5+2$.
Khi đó $17-4\left(\sqrt5+2\right)=9-4\sqrt5=\left(\sqrt5-2\right)^2$, suy ra $\sqrt{17-4\sqrt{9+4\sqrt5}}=\sqrt5-2$.
Do đó $a=\sqrt5-\left(\sqrt5-2\right)=2$.
Vậy $P=2^4-3\cdot2^2+3\cdot2+20=16-12+6+20=30$. Đáp án A.

Ta có $29-12\sqrt5=20-12\sqrt5+9=\left(2\sqrt5-3\right)^2$ nên $\sqrt{29-12\sqrt5}=2\sqrt5-3$ (vì $2\sqrt5>3$).
Suy ra $3-\left(2\sqrt5-3\right)=6-2\sqrt5=\left(\sqrt5-1\right)^2$, do đó $\sqrt{3-\sqrt{29-12\sqrt5}}=\sqrt5-1$.
Vậy $Q=\sqrt{\sqrt5-\left(\sqrt5-1\right)}=\sqrt1=1$. Đáp án B.

Điều kiện $a\ge3,\ b\ge2,\ c\ge1$. Nhân hai vế với $2$ rồi chuyển vế, giả thiết trở thành
$\left(a-3-2\sqrt{a-3}+1\right)+\left(b-2-2\sqrt{b-2}+1\right)+\left(c-1-2\sqrt{c-1}+1\right)=0$
$\Leftrightarrow\left(\sqrt{a-3}-1\right)^2+\left(\sqrt{b-2}-1\right)^2+\left(\sqrt{c-1}-1\right)^2=0$.
Tổng ba số không âm bằng $0$ nên $\begin{cases}\sqrt{a-3}=1\\\sqrt{b-2}=1\\\sqrt{c-1}=1\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}a=4\\b=3\\c=2\end{cases}$
Vậy $S=4+2\cdot3+3\cdot2=16$. Đáp án A.

Bình phương đẳng thức thứ hai ta được
$\left(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}\right)^2=Q+2\left(\dfrac{xy}{ab}+\dfrac{yz}{bc}+\dfrac{zx}{ca}\right)=1$.
Mặt khác $\dfrac{xy}{ab}+\dfrac{yz}{bc}+\dfrac{zx}{ca}=\dfrac{xyz}{abc}\left(\dfrac{c}{z}+\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}\right)=\dfrac{xyz}{abc}\cdot0=0$.
Vậy $Q=1$. Đáp án C.

Đặt $t=\sqrt[3]{2}$, khi đó $t^3=2$ và $\sqrt[3]{4}=t^2$.
Vì $(t+1)\left(t^2-t+1\right)=t^3+1=3$ nên $\dfrac{3}{t^2-t+1}=t+1$.
Vì $(t-1)\left(t^2+t+1\right)=t^3-1=1$ nên $\dfrac{1}{t^2+t+1}=t-1$.
Vậy $Q=(t+1)-(t-1)=2$. Đáp án B.

$E=(2a+b-4c)-(a+2b-3c)+c=2a+b-4c-a-2b+3c+c=a-b$. Đáp án B.

Biểu thức $\sqrt{(a-1)(a-3)}$ có tập xác định $a\le1$ hoặc $a\ge3$, còn $\sqrt{a-1}\cdot\sqrt{a-3}$ chỉ xác định khi $a\ge3$. Hai tập xác định khác nhau nên phép biến đổi D làm thay đổi tập xác định — đây là phép biến đổi sai. Đáp án D.

$E=\sqrt{\dfrac{64a^{10}b^{54}}{256a^{12}b^{54}}}=\sqrt{\dfrac{1}{4a^2}}=\dfrac{1}{2|a|}=\dfrac{1}{-2a}=\dfrac{-1}{2a}$ (vì $a<0$ nên $|a|=-a$). Đáp án B.

$M=\dfrac{2}{a-3}+\dfrac{a}{a-1}+\dfrac{2a}{(a-1)(a-3)}=\dfrac{2(a-1)+a(a-3)+2a}{(a-1)(a-3)}=\dfrac{a^2+a-2}{(a-1)(a-3)}=\dfrac{(a-1)(a+2)}{(a-1)(a-3)}=\dfrac{a+2}{a-3}$. Đáp án C.

$P=\dfrac{(a+1)^2-(a-1)^2}{a^2-1}:\dfrac{2-a(a+1)+(a-1)}{a^2-1}=\dfrac{4a}{a^2-1}\cdot\dfrac{a^2-1}{2-a(a+1)+a-1}=\dfrac{4a}{1-a^2}$. Đáp án C.

$A=\sqrt{(a-1)+2\sqrt{a-1}+1}-\sqrt{(a-1)+6\sqrt{a-1}+9}=\sqrt{\left(\sqrt{a-1}+1\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt{a-1}+3\right)^2}$ $=\left(\sqrt{a-1}+1\right)-\left(\sqrt{a-1}+3\right)=-2$. Đáp án A.

Đặt $\dfrac{a}{A}=\dfrac{b}{B}=\dfrac{c}{C}=k\Rightarrow a=kA,\ b=kB,\ c=kC$. $P=\sqrt{k}A+\sqrt{k}B+\sqrt{k}C-\sqrt{k(A+B+C)(A+B+C)}=\sqrt{k}(A+B+C)-\sqrt{k}(A+B+C)=0$. Đáp án C.

Ta có $1+\dfrac{1}{k^2+2k}=\dfrac{(k+1)^2}{k(k+2)}$. Do đó $$P=\dfrac{2^2}{1.3}\cdot\dfrac{3^2}{2.4}\cdots\dfrac{(n+1)^2}{n(n+2)}=\dfrac{2(n+1)}{n+2}$$ Đáp án B.

Đặt $x=a-b,\ y=b-c,\ z=c-a\Rightarrow x+y+z=0$. Khi đó $$\left(\dfrac1x+\dfrac1y+\dfrac1z\right)^2=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{2}{xyz}(x+y+z)=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}$$ $$\Rightarrow Q=\left|\dfrac1x+\dfrac1y+\dfrac1z\right|=\left|\dfrac{1}{a-b}+\dfrac{1}{b-c}+\dfrac{1}{c-a}\right|$$ Đáp án C.

Với mỗi số hạng, $\dfrac{2k+1}{[k(k+1)]^2}=\dfrac{(k+1)^2-k^2}{k^2(k+1)^2}=\dfrac{1}{k^2}-\dfrac{1}{(k+1)^2}$. Do đó $P=\left(\dfrac{1}{1^2}-\dfrac{1}{2^2}\right)+\left(\dfrac{1}{2^2}-\dfrac{1}{3^2}\right)+\ldots+\left(\dfrac{1}{n^2}-\dfrac{1}{(n+1)^2}\right)=1-\dfrac{1}{(n+1)^2}=\dfrac{n^2+2n}{(n+1)^2}$. Đáp án D.

Ta có $a^2-10a+25=(a-5)^2$ nên $\sqrt{a^2-10a+25}=|a-5|=5-a$ (do $a\le5$).
Vậy $E=(5-a)-2a+3=8-3a$. Đáp án A.

Vì $b>0$ nên $b^5>0$, do đó $\sqrt{\dfrac{81a^2}{b^{10}}}=\dfrac{9|a|}{b^5}=\dfrac{-9a}{b^5}$ (vì $a<0$ nên $|a|=-a$).
Vậy biểu thức bằng $\dfrac{-1}{3}ab^5\cdot\dfrac{-9a}{b^5}=3a^2$. Đáp án B.

Ta có $\dfrac{a}{a-1}-\dfrac{a+1}{a}=\dfrac{a^2-\left(a^2-1\right)}{a(a-1)}=\dfrac{1}{a(a-1)}$.
Tương tự $\dfrac{a}{a+1}-\dfrac{a-1}{a}=\dfrac{a^2-\left(a^2-1\right)}{a(a+1)}=\dfrac{1}{a(a+1)}$.
Vậy $E=\dfrac{1}{a(a-1)}\cdot\dfrac{a(a+1)}{1}=\dfrac{a+1}{a-1}$. Đáp án C.

Điều kiện $a\ge42$. Đặt $S=\sqrt{a+42}+\sqrt{a-42}>0$.
Ta có $\left(\sqrt{a+42}-\sqrt{a-42}\right)\left(\sqrt{a+42}+\sqrt{a-42}\right)=(a+42)-(a-42)=84$.
Suy ra $4S=84$, do đó $S=21$. Đáp án D.

Nhân hai vế với $\sqrt2$ ta được
$\sqrt2P=\sqrt{4-2\sqrt3}-\sqrt{4+2\sqrt3}=\sqrt{\left(\sqrt3-1\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt3+1\right)^2}=\left(\sqrt3-1\right)-\left(\sqrt3+1\right)=-2$.
Suy ra $P=\dfrac{-2}{\sqrt2}=-\sqrt2$.
Vì $1<\sqrt2<2$ nên $-2<-\sqrt2<-1$, tức là $-2\le P\le-1$. Đáp án B.

Ta có $x-1-2\sqrt{x-2}=(x-2)-2\sqrt{x-2}+1=\left(\sqrt{x-2}-1\right)^2$.
Vì $x>5$ nên $\sqrt{x-2}>\sqrt3>1$, do đó $\sqrt{x-1-2\sqrt{x-2}}=\left|\sqrt{x-2}-1\right|=\sqrt{x-2}-1$.
Vậy $E=\dfrac{12\left(\sqrt{x-2}-1\right)}{\sqrt{x-2}-1}=12$. Đáp án C.

Đặt $t=\sqrt a$ ($t>0,\ t\ne1$). Ta có $a+2\sqrt a+1=(t+1)^2$ và $a-1=(t-1)(t+1)$.
$M=\left[\dfrac{t+2}{(t+1)^2}-\dfrac{t-2}{(t-1)(t+1)}\right]\cdot\dfrac{t+1}{t}=\dfrac{(t+2)(t-1)-(t-2)(t+1)}{(t+1)^2(t-1)}\cdot\dfrac{t+1}{t}$.
Mà $(t+2)(t-1)-(t-2)(t+1)=\left(t^2+t-2\right)-\left(t^2-t-2\right)=2t$.
Do đó $M=\dfrac{2t}{(t+1)^2(t-1)}\cdot\dfrac{t+1}{t}=\dfrac{2}{(t+1)(t-1)}=\dfrac{2}{t^2-1}=\dfrac{2}{a-1}$. Đáp án D.

Đặt $t=\sqrt a$. Khi đó $9-a=(3-t)(3+t)$ và $a-3\sqrt a=t(t-3)$.
Ngoặc thứ nhất: $\dfrac{t}{3+t}+\dfrac{2t^2}{(3-t)(3+t)}=\dfrac{t(3-t)+2t^2}{(3-t)(3+t)}=\dfrac{t^2+3t}{(3-t)(3+t)}=\dfrac{t(t+3)}{(3-t)(3+t)}=\dfrac{t}{3-t}$.
Ngoặc thứ hai: $\dfrac{t-1}{t(t-3)}-\dfrac{2}{t}=\dfrac{(t-1)-2(t-3)}{t(t-3)}=\dfrac{5-t}{t(t-3)}$.
Do đó $Q=\dfrac{t}{3-t}\cdot\dfrac{t(t-3)}{5-t}=\dfrac{-t^2}{5-t}=\dfrac{t^2}{t-5}=\dfrac{a}{\sqrt a-5}$. Đáp án B.

Ta có $\sqrt{128}=8\sqrt2$ và $18-8\sqrt2=16-8\sqrt2+2=\left(4-\sqrt2\right)^2$ nên $\sqrt{18-\sqrt{128}}=4-\sqrt2$.
Khi đó $\sqrt2+\sqrt{12}+\left(4-\sqrt2\right)=2\sqrt3+4=\left(\sqrt3+1\right)^2$, suy ra $\sqrt{\sqrt2+\sqrt{12}+\sqrt{18-\sqrt{128}}}=\sqrt3+1$.
Vậy $Q=\sqrt{6-2\left(\sqrt3+1\right)}=\sqrt{4-2\sqrt3}=\sqrt{\left(\sqrt3-1\right)^2}=\sqrt3-1$. Đáp án A.

Từ giả thiết ta có $\dfrac{xy+yz+zx}{xyz}=\dfrac{1}{x+y+z}\Leftrightarrow(x+y+z)(xy+yz+zx)=xyz$.
Khai triển và rút gọn ta được $(x+y)(y+z)(z+x)=0$.
Nếu $x+y=0$ thì $y=-x$, suy ra $\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}=0$ nên $Q=\dfrac{1}{z^3}$; đồng thời $x^3+y^3+z^3=z^3$ nên $Q=\dfrac{1}{x^3+y^3+z^3}$.
Hai trường hợp $y+z=0$ và $z+x=0$ cho kết quả tương tự. Đáp án C.

$M=(a-3)^2+23\ge23$. Dấu bằng xảy ra khi $a=3$. Vậy $\min M=23$. Đáp án B.

Vì $x$ nguyên nên $2x+5$ là số nguyên lẻ. Với $2x+5<0$, biểu thức âm nhất khi $|2x+5|$ nhỏ nhất, tức $2x+5=-1\Leftrightarrow x=-3$. Khi đó $E=\dfrac{31}{-1}=-31$. Với $2x+5>0$ thì $E>0$, không cho giá trị nhỏ nhất. Vậy $\min E=-31$. Đáp án B.

$M=\sqrt{-(x^2-2x+1)+9}=\sqrt{9-(x-1)^2}\le\sqrt9=3$. Dấu bằng khi $x=1$. Vậy $\max M=3$. Đáp án B.

$P=\sqrt{(x+3)^2}+\sqrt{(x-7)^2}=|x+3|+|7-x|\ge|(x+3)+(7-x)|=10$. Dấu bằng xảy ra khi $-3\le x\le7$. Vậy $\min P=10$. Đáp án A.

$Q=(x+1)-2\sqrt{x+1}+1-7=\left(\sqrt{x+1}-1\right)^2-7\ge-7$. Dấu bằng khi $\sqrt{x+1}=1\Leftrightarrow x=0$. Vậy $\min Q=-7$. Đáp án D.

$S=\sqrt{\left(\sqrt{x-2}-1\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{x-2}+3\right)^2}=\left|\sqrt{x-2}-1\right|+\left(\sqrt{x-2}+3\right)$. Nếu $2\le x\le3$ thì $S=\left(1-\sqrt{x-2}\right)+\left(\sqrt{x-2}+3\right)=4$. Nếu $x>3$ thì $S=2\sqrt{x-2}+2>4$. Vậy $\min S=4$ khi $2\le x\le3$. Đáp án B.

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki: $M^2=\left(\sqrt{x-2}+\sqrt{y-3}\right)^2\le2\left[(x-2)+(y-3)\right]=2(x+y-5)=4\Rightarrow M\le2$. Dấu bằng xảy ra khi $\sqrt{x-2}=\sqrt{y-3}\Rightarrow x-2=y-3$, kết hợp $x+y=7\Rightarrow x=3,\ y=4$. Vậy $\max M=2$ khi $x=3,\ y=4\Rightarrow xy=12$. Đáp án C.

Ta có $(a-2)^2\ge0\Rightarrow a^2+4\ge4a\ (1)$; $(b-2)^2\ge0\Rightarrow b^2+4\ge4b\ (2)$; $(a-b)^2\ge0\Rightarrow2a^2+2b^2\ge4ab\ (3)$. Cộng $(1),(2),(3)$: $3(a^2+b^2)+8\ge4(a+b+ab)=32\Rightarrow a^2+b^2\ge8$. Vậy $\min Q=8$ khi $a=b=2$. Đáp án C.

Ta có $x^2-2x+4=(x-1)^2+3\ge3$ với mọi $x$.
Do đó $P=\dfrac{18}{(x-1)^2+3}\le\dfrac{18}{3}=6$.
Dấu bằng xảy ra khi $(x-1)^2=0\Leftrightarrow x=1$. Vậy $\max P=6$ khi $x=1$. Đáp án A.

Điều kiện $1-19x^2\ge0$. Khi đó $0\le\sqrt{1-19x^2}\le1$ nên $5\le5+\sqrt{1-19x^2}\le6$.
Suy ra $\dfrac{42}{5+\sqrt{1-19x^2}}\ge\dfrac{42}{6}=7$.
Dấu bằng xảy ra khi $\sqrt{1-19x^2}=1\Leftrightarrow x=0$. Vậy giá trị nhỏ nhất bằng $7$. Đáp án C.

Ta có $M=-\left(x^2-4x+4\right)-15=-(x-2)^2-15\le-15$ với mọi $x$.
Dấu bằng xảy ra khi $x=2$, khi đó $M=-15$; do đó khẳng định $M\le-16$ là sai, và $M$ có thể nhỏ hơn $-20$ (chẳng hạn $x=10$ cho $M=-79$) nên khẳng định D cũng sai. Đáp án B.

Ta có $x^4+18x^2+81=\left(x^2+9\right)^2$ nên $\sqrt{x^4+18x^2+81}=x^2+9$.
Do đó $M=\sqrt{24x+139+x^2+9}=\sqrt{x^2+24x+148}=\sqrt{(x+12)^2+4}\ge\sqrt4=2$.
Vậy $\min M=2$ khi $x=-12$. Đáp án B.

Ta có $x+y=\left(a-2\sqrt{ab}+b\right)+\left(c-2\sqrt{cd}+d\right)+a=\left(\sqrt a-\sqrt b\right)^2+\left(\sqrt c-\sqrt d\right)^2+a$.
Vì $a>0$ và hai bình phương đều không âm nên $x+y>0$.
Tổng hai số dương thực sự nên ít nhất một trong hai số $x,y$ phải dương, tức là $x>0$ hoặc $y>0$. Đáp án C.

Đặt $t=x^2-5x+5$; với $x$ nguyên thì $t$ nguyên và $t\ne0$.
Biểu thức $\dfrac{1372}{t}$ nhỏ nhất khi $t$ âm và $|t|$ nhỏ nhất, tức $t=-1$.
Giải $x^2-5x+5=-1\Leftrightarrow x^2-5x+6=0\Leftrightarrow x=2$ hoặc $x=3$; khi đó biểu thức bằng $-1372$.
Vậy có $2$ giá trị nguyên của $x$. Đáp án B.

Ta có $P=\sqrt{(a+5)^2}+\sqrt{(a-5)^2}=|a+5|+|5-a|$.
Theo bất đẳng thức $|u|+|v|\ge|u+v|$ ta được $P\ge|(a+5)+(5-a)|=10$.
Dấu bằng xảy ra khi $(a+5)(5-a)\ge0\Leftrightarrow-5\le a\le5$. Vậy $\min P=10$. Đáp án C.

Đặt $u=\sqrt{a-3}\ge0$, khi đó $a=u^2+3$.
Ta có $a-2-2\sqrt{a-3}=u^2-2u+1=(u-1)^2$ và $a+1-4\sqrt{a-3}=u^2-4u+4=(u-2)^2$.
Do đó $M=|u-1|-|u-2|$.
Nếu $u\ge2$ thì $M=(u-1)-(u-2)=1$; nếu $1\le u<2$ thì $M=(u-1)-(2-u)=2u-3<1$; nếu $0\le u<1$ thì $M=(1-u)-(2-u)=-1$.
Vậy $\max M=1$, đạt được khi $u\ge2$ tức $a\ge7$. Đáp án D.

Vì $x^2+1>0$ với mọi $x$, và $x^2-x+7=\left(x-\dfrac12\right)^2+\dfrac{27}{4}>0$ với mọi $x$, nên $$P=0\Leftrightarrow x^2-16=0\Leftrightarrow x=\pm4$$ Có $2$ giá trị của $x$. Đáp án B.

$E$ có nghĩa khi $\begin{cases}x-3\ge0\\12-x\ge0\end{cases}\Leftrightarrow3\le x\le12$ (số hạng $\sqrt{x^2+1}$ luôn có nghĩa vì $x^2+1>0$). Đáp án C.

$M$ có nghĩa khi $\dfrac{-192}{15-a}\ge0\Leftrightarrow15-a<0\Leftrightarrow a>15$. Vì $a$ nguyên nên số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn là $a=16$. Đáp án A.

Ta có $x^2-2x+7=(x-1)^2+6>0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$, nên mẫu số ở đáp án D luôn khác $0$ và biểu thức luôn xác định. Các đáp án còn lại đều có điều kiện xác định bị giới hạn (A, B cần biểu thức trong căn không âm; C cần $x\ne\pm2$). Đáp án D.

Với $x\ge0,\ x\ne1$: $M=\dfrac{2(\sqrt{x}-1)+13}{\sqrt{x}-1}=2+\dfrac{13}{\sqrt{x}-1}$. $M$ nguyên $\Leftrightarrow\sqrt{x}-1$ là ước của $13$, tức $\sqrt{x}-1\in\{\pm1;\pm13\}\Rightarrow\sqrt{x}\in\{2;0;14;-12(\text{loại})\}\Rightarrow x\in\{4;0;196\}$. Có $3$ giá trị nguyên của $x$. Đáp án C.

$M=\dfrac{(a^2-1)(a^2-4)}{(a^2-1)(a^2-9)}=\dfrac{a^2-4}{a^2-9}$ với $a\ne\pm1,\pm3$. Từ $|2a-1|=7\Rightarrow2a-1=\pm7\Rightarrow a=4$ hoặc $a=-3$ (loại vì $a\ne-3$). Với $a=4$: $M=\dfrac{16-4}{16-9}=\dfrac{12}{7}$. Đáp án D.

Giả sử $n+20=p^2$ và $n-39=q^2$ ($p,q\in\mathbb{N}$). Khi đó $p^2-q^2=(n+20)-(n-39)=59\Leftrightarrow(p-q)(p+q)=59$. Vì $59$ là số nguyên tố và $p+q>p-q>0$ nên $\begin{cases}p-q=1\\p+q=59\end{cases}\Rightarrow p=30,\ q=29\Rightarrow n=p^2-20=880$. Có duy nhất $1$ số tự nhiên $n=880$ thỏa mãn. Đáp án B.

Ta có $1+\dfrac{1}{k(k+2)}=\dfrac{(k+1)^2}{k(k+2)}=\dfrac{k+1}{k}\cdot\dfrac{k+1}{k+2}$. Cho $k$ chạy từ $1$ đến $n$ rồi rút gọn kiểu tích "domino" (kết hợp với hệ số $\dfrac12$ ở đầu), ta được tích bằng $\dfrac{n+1}{n+2}$. Do đó $\dfrac{n+1}{n+2}=\dfrac{2020}{2021}\Rightarrow n=2019$. Đáp án D.

Thay $x=3$ vào các mẫu thức: $2x+6=12\ne0$; $x^2+2x-3=9+6-3=12\ne0$; $x^2-3=9-3=6\ne0$.
Riêng $x^2-2x-3=(x+1)(x-3)$ bằng $0$ khi $x=3$.
Vậy $x=3$ không thuộc tập xác định của $\dfrac{9}{x^2-2x-3}$. Đáp án D.

$P$ có nghĩa khi $\begin{cases}x-7\ge0\\x^2-16\ne0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x\ge7\\x\ne\pm4\end{cases}$
Vì điều kiện $x\ge7$ đã kéo theo $x\ne\pm4$ nên tập xác định là $x\ge7$. Đáp án B.

Biểu thức xác định khi $\begin{cases}169-x^2\ge0\\x^2-169\ge0\end{cases}\Leftrightarrow x^2-169=0\Leftrightarrow x=\pm13$.
Vậy có $2$ giá trị của $x$ là $x=13$ và $x=-13$. Đáp án C.

Ta có $x^2-12x+36=(x-6)^2$ nên $Q=\sqrt{x-|x-6|}$.
Nếu $x\ge6$ thì $x-|x-6|=x-(x-6)=6>0$, biểu thức luôn có nghĩa.
Nếu $x<6$ thì $x-|x-6|=x-(6-x)=2x-6\ge0\Leftrightarrow x\ge3$.
Kết hợp hai trường hợp, $Q$ có nghĩa khi $x\ge3$. Đáp án C.

Ta có $m^2+3>0$ và $m^2-m+4=\left(m-\dfrac12\right)^2+\dfrac{15}{4}>0$ với mọi $m$.
Do đó $-\left(m^2+3\right)\left(m^2-m+4\right)<0$ với mọi $m$.
Biểu thức dưới dấu căn không âm khi mẫu $7-m<0\Leftrightarrow m>7$. Đáp án D.

Đặt $t=\sqrt a>1$. Ta có $a^2+\sqrt a=t^4+t=t\left(t^3+1\right)=t(t+1)\left(t^2-t+1\right)$ và $a-\sqrt a+1=t^2-t+1$.
Do đó $\dfrac{a^2+\sqrt a}{a-\sqrt a+1}=t(t+1)=t^2+t$.
Lại có $\dfrac{2a+\sqrt a}{\sqrt a}=\dfrac{2t^2+t}{t}=2t+1$.
Suy ra $P=\left(t^2+t\right)-(2t+1)+1=t^2-t=\sqrt a\left(\sqrt a-1\right)>0$ (vì $a>1$).
Vì $P>0$ nên $P=|P|$. Đáp án C.

Điều kiện $x\ge0,\ x\ne1$. Ta có $x\sqrt x+\sqrt x-x-1=\sqrt x(x+1)-(x+1)=(x+1)\left(\sqrt x-1\right)$.
Ngoặc thứ hai: $\dfrac{1}{\sqrt x-1}-\dfrac{2\sqrt x}{(x+1)\left(\sqrt x-1\right)}=\dfrac{x+1-2\sqrt x}{(x+1)\left(\sqrt x-1\right)}=\dfrac{\left(\sqrt x-1\right)^2}{(x+1)\left(\sqrt x-1\right)}=\dfrac{\sqrt x-1}{x+1}$.
Ngoặc thứ nhất: $1+\dfrac{\sqrt x}{x+1}=\dfrac{x+\sqrt x+1}{x+1}$.
Do đó $P=\dfrac{x+\sqrt x+1}{x+1}\cdot\dfrac{x+1}{\sqrt x-1}-1=\dfrac{x+\sqrt x+1-\sqrt x+1}{\sqrt x-1}=\dfrac{x+2}{\sqrt x-1}$.
$P=-4\Leftrightarrow x+2=-4\left(\sqrt x-1\right)\Leftrightarrow x+4\sqrt x-2=0$. Đặt $t=\sqrt x\ge0$ ta có $t^2+4t-2=0$, cho $t=-2+\sqrt6>0$ (nghiệm $t=-2-\sqrt6<0$ bị loại).
Vậy có đúng $1$ giá trị của $x$. Đáp án A.

Xét $n$ theo số dư khi chia cho $3$.
Nếu $n=3k+1$ thì $n+17=3k+18$ chia hết cho $3$ và lớn hơn $3$, không là số nguyên tố.
Nếu $n=3k+2$ thì $n+13=3k+15$ chia hết cho $3$ và lớn hơn $3$, không là số nguyên tố.
Nếu $n=3k$ thì $n+3=3(k+1)$ chia hết cho $3$, chỉ là số nguyên tố khi $k=0$, tức $n=0$. Khi đó $3,\ 13,\ 17$ đều là số nguyên tố.
Vậy chỉ có $1$ giá trị $n=0$ thỏa mãn. Đáp án A.

Vì $x^2+3>0$ với mọi $x$, nên $P=0\Leftrightarrow(x^2-16)(x^2-8x+15)=0$. $x^2-16=0\Rightarrow x=\pm4$. $x^2-8x+15=0\Leftrightarrow(x-3)(x-5)=0\Rightarrow x=3$ hoặc $x=5$. Vậy $x\in\{-4;3;4;5\}$, có $4$ giá trị. Đáp án D.

$x^2+3x-18=x^2+6x-3x-18=x(x+6)-3(x+6)=(x-3)(x+6)$. Đáp án A.

$\sqrt{a+3}$ có nghĩa khi $a\ge-3$. $\sqrt{25-a^2}$ có nghĩa khi $-5\le a\le5$. $\sqrt{a^2-2a+9}=\sqrt{(a-1)^2+8}$ luôn có nghĩa vì $(a-1)^2+8>0$ với mọi $a$. Kết hợp các điều kiện: $-3\le a\le5$. Đáp án C.

$14-6\sqrt5=9-6\sqrt5+5=(3-\sqrt5)^2$ và $14+6\sqrt5=(3+\sqrt5)^2$. $\Rightarrow x_0=\left|3-\sqrt5\right|+\left|3+\sqrt5\right|=(3-\sqrt5)+(3+\sqrt5)=6$ (vì $\sqrt5<3$). Thay $x=6$ vào đáp án D: $6^2-6.6=0$ (đúng). Đáp án D.

$\dfrac{1}{k(k+1)}=\dfrac1k-\dfrac{1}{k+1}$. Do đó $F=\left(1-\dfrac12\right)+\left(\dfrac12-\dfrac13\right)+\ldots+\left(\dfrac1n-\dfrac{1}{n+1}\right)=1-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{n}{n+1}$. Đáp án D.

$E^2=(3-\sqrt5)+(3+\sqrt5)-2\sqrt{(3-\sqrt5)(3+\sqrt5)}=6-2\sqrt{9-5}=6-4=2$. Vì $3-\sqrt5<3+\sqrt5$ nên $E<0$, do đó $E=-\sqrt2$. Đáp án D.

$19\pm8\sqrt3=16\pm8\sqrt3+3=(4\pm\sqrt3)^2\Rightarrow a=\sqrt{(4+\sqrt3)^2}+\sqrt{(4-\sqrt3)^2}=(4+\sqrt3)+(4-\sqrt3)=8$. Thay $a=8$: $a^4-3a^2-3a-2020=4096-192-24-2020=1860$. Đáp án A.

Từ $\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c=2\Rightarrow\left(\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c\right)^2=4$ $$\Leftrightarrow\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+2\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ac}\right)=4\Leftrightarrow2+2\cdot\dfrac{a+b+c}{abc}=4\Rightarrow a+b+c=abc$$ Vậy $E=a+b+c-abc=0$. Đáp án D.

Ta có $a^3+12a^2+48a+64=(a+4)^3$ nên $P=(a+4)^3+2020$.
Với $a=-4$ thì $(a+4)^3=0$.
Vậy $P=2020$. Đáp án C.

Phân tích thành nhân tử: $M=a^3-a^2+2a^2-2a+3a-3=a^2(a-1)+2a(a-1)+3(a-1)=(a-1)\left(a^2+2a+3\right)$.
Mà $a^2+2a+3=(a+1)^2+2>0$ với mọi $a$.
Do đó $M>0\Leftrightarrow a-1>0\Leftrightarrow a>1$. Đáp án B.

Ta có $37-20\sqrt3=25-20\sqrt3+12=\left(5-2\sqrt3\right)^2$.
Vì $5=\sqrt{25}>\sqrt{12}=2\sqrt3$ nên $\sqrt{37-20\sqrt3}=5-2\sqrt3$, suy ra $a=5,\ b=-2$.
Vậy $3a+2b=3\cdot5+2\cdot(-2)=11$. Đáp án D.

Đặt $S=\sqrt{87+4\sqrt{83}}+\sqrt{87-4\sqrt{83}}>0$.
Ta có $S^2=\left(87+4\sqrt{83}\right)+\left(87-4\sqrt{83}\right)+2\sqrt{87^2-16\cdot83}=174+2\sqrt{7569-1328}=174+2\sqrt{6241}$.
Vì $\sqrt{6241}=79$ nên $S^2=174+158=332$, suy ra $S=\sqrt{332}=2\sqrt{83}$.
Vậy $P=\dfrac{36\sqrt{83}}{2\sqrt{83}}=18$. Đáp án A.

Ta có $9+4\sqrt2=1+4\sqrt2+8=\left(1+2\sqrt2\right)^2$ nên $\sqrt{9+4\sqrt2}=1+2\sqrt2$.
Khi đó $2+\left(1+2\sqrt2\right)=3+2\sqrt2=\left(1+\sqrt2\right)^2$, suy ra $\sqrt{2+\sqrt{9+4\sqrt2}}=1+\sqrt2$.
Do đó $M=\sqrt{13+30\left(1+\sqrt2\right)}=\sqrt{43+30\sqrt2}$.
Mà $43+30\sqrt2=25+30\sqrt2+18=\left(5+3\sqrt2\right)^2$ nên $M=5+3\sqrt2$. Đáp án D.

Khai triển từng bình phương:
$(2a+2b-c)^2=4a^2+4b^2+c^2+8ab-4ac-4bc$;
$(2b+2c-a)^2=a^2+4b^2+4c^2+8bc-4ab-4ac$;
$(2c+2a-b)^2=4a^2+b^2+4c^2+8ac-4ab-4bc$.
Cộng ba đẳng thức: hệ số của $a^2,\ b^2,\ c^2$ đều bằng $4+1+4=9$; hệ số của $ab,\ bc,\ ca$ đều bằng $8-4-4=0$.
Vậy $P=9\left(a^2+b^2+c^2\right)=9\cdot9=81$. Đáp án C.

Ta có $\left(a+\dfrac1a\right)^2=a^2+\dfrac{1}{a^2}+2=9$; vì $a>0$ nên $a+\dfrac1a=3$.
$a^3+\dfrac{1}{a^3}=\left(a+\dfrac1a\right)^3-3\left(a+\dfrac1a\right)=27-9=18$.
Lại có $\left(a^2+\dfrac{1}{a^2}\right)\left(a^3+\dfrac{1}{a^3}\right)=a^5+\dfrac{1}{a^5}+a+\dfrac1a$.
Suy ra $a^5+\dfrac{1}{a^5}=7\cdot18-3=123$. Đáp án A.

Ta có $a+b=2$ và $ab=\left(1+\sqrt2\right)\left(1-\sqrt2\right)=-1$, nên $a,b$ là hai nghiệm của phương trình $x^2-2x-1=0$.
Đặt $S_n=a^n+b^n$; từ $x^2=2x+1$ suy ra $S_n=2S_{n-1}+S_{n-2}$ với $S_0=2,\ S_1=2$.
Lần lượt tính: $S_2=6$; $S_3=14$; $S_4=34$; $S_5=82$; $S_6=198$; $S_7=2\cdot198+82=478$.
Vậy $a^7+b^7=478$. Đáp án B.