Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức

Ta có $f(2)+f(-2) = (4a+2b+c)+(4a-2b+c) = 8a+2c$. Đáp án B.

Ta có $4-2\sqrt3 = (\sqrt3-1)^2$, nên $\sqrt{4-2\sqrt3} = |\sqrt3-1| = \sqrt3-1$ (vì $\sqrt3>1$).
Vậy $M = (\sqrt3-1)-31 = \sqrt3-32$. Đáp án A.

Ta có $5\pm2\sqrt6 = (\sqrt3\pm\sqrt2)^2$, nên $x_0 = (\sqrt3+\sqrt2)-(\sqrt3-\sqrt2) = 2\sqrt2$.
Thay vào: $x_0^2-2\sqrt2\,x_0 = 8-2\sqrt2\cdot2\sqrt2 = 8-8=0$. Đáp án B.

Vì $a,b<0$ nên $\sqrt{ab} = \sqrt{(-a)(-b)} = \sqrt{-a}\cdot\sqrt{-b}$ và $\sqrt{b^2}=-b$.
$P = \dfrac{\sqrt{-a}\sqrt{-b}+b}{b} - \sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{-a}}{\sqrt{-b}} + 1 - \sqrt{\dfrac{a}{b}}$. Mà $\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\sqrt{\dfrac{-a}{-b}}=\dfrac{\sqrt{-a}}{\sqrt{-b}}$, hai số hạng này triệt tiêu nhau.
Vậy $P = 1$. Đáp án D.

Nhân liên hợp từng số hạng: $\dfrac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}} = \sqrt{k+1}-\sqrt{k}$.
Các số hạng triệt tiêu theo kiểu "domino": $M = (\sqrt2-1)+(\sqrt3-\sqrt2)+\cdots+(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) = \sqrt{n+1}-1$. Đáp án D.

Biến đổi giả thiết thành tổng ba bình phương bằng $0$: $$(a-2-6\sqrt{a-2}+9)+(b-1-4\sqrt{b-1}+4)+(c-2\sqrt{c}+1)=0$$ $$\Leftrightarrow \left(\sqrt{a-2}-3\right)^2+\left(\sqrt{b-1}-2\right)^2+\left(\sqrt{c}-1\right)^2=0$$ Suy ra $\sqrt{a-2}=3,\ \sqrt{b-1}=2,\ \sqrt{c}=1$, tức là $a=11,\ b=5,\ c=1$. Vậy $a+b+c=17$. Đáp án C.

Đặt $x=1+\dfrac{\sqrt{84}}{9},\ y=1-\dfrac{\sqrt{84}}{9}$. Ta có $x+y=2$ và $xy=1-\dfrac{84}{81}=-\dfrac{1}{27}$. Khi đó $a^3=x+y+3\sqrt[3]{xy}\cdot a=2+3a\cdot\left(-\dfrac13\right)=2-a$ $\Rightarrow a^3+a-2=0\Leftrightarrow(a-1)\left(a^2+a+2\right)=0$. Vì $a^2+a+2=\left(a+\dfrac12\right)^2+\dfrac74>0$ nên $a=1$. Đáp án A.

Từ $a+b+c=0\Rightarrow b+c=-a\Rightarrow(b+c)^2=a^2\Rightarrow b^2+c^2-a^2=-2bc$. Tương tự $c^2+a^2-b^2=-2ac$ và $a^2+b^2-c^2=-2ab$. Do đó $M=\dfrac{1}{-2bc}+\dfrac{1}{-2ac}+\dfrac{1}{-2ab}=\dfrac{-1}{2abc}(a+b+c)=0$ (vì $a+b+c=0$). Đáp án C.

Nhân cả hai vế với $3$ và viết $3=(n+2)-(n-1)$ cho từng số hạng $n(n+1)$ để rút gọn kiểu "domino": $$3P=1.2.3+2.3.(4-1)+3.4.(5-2)+\ldots+101.102.(103-100)=101.102.103$$ $$\Rightarrow P=\dfrac{101.102.103}{3}=353702$$ Đáp án B.

Biến đổi vế trái thành tổng các bình phương bằng $0$: $$(a+b-2c)^2+(a-3)^2+(b+1)^2=0$$ $$\Rightarrow \begin{cases}a+b-2c=0\\ a-3=0\\ b+1=0\end{cases}\Rightarrow a=3,\ b=-1,\ c=1$$ Vậy $Q=(3-2)^{100}+(-1+1)^{200}+(1-1)^{201}=1^{100}+0+0=1$. Đáp án C.

Ta có $\sqrt{80}=4\sqrt5$; $\sqrt{125}=5\sqrt5$; $\sqrt{45}=3\sqrt5$; $\sqrt{20}=2\sqrt5$.
Do đó tử số bằng $4\sqrt5-5\sqrt5+3\sqrt5+2\sqrt5=4\sqrt5$.
Vậy giá trị của biểu thức là $\dfrac{4\sqrt5}{2\sqrt5}=2$. Đáp án C.

Vì $a>\dfrac75>0$ nên $|a|=a$.
Lại có $1-2a+a^2=(a-1)^2$ nên $\sqrt{1-2a+a^2}=|a-1|=a-1$ (do $a>\dfrac75>1$).
Vậy $E=a-(a-1)=1$. Đáp án D.

Ta có $P=\dfrac{6}{\left|\sqrt3-2\right|}-\dfrac{5}{\left|\sqrt3+2\right|}=\dfrac{6}{2-\sqrt3}-\dfrac{5}{2+\sqrt3}$ (vì $\sqrt3<2$).
Trục căn thức ở mẫu: $\dfrac{6}{2-\sqrt3}=\dfrac{6\left(2+\sqrt3\right)}{4-3}=12+6\sqrt3$ và $\dfrac{5}{2+\sqrt3}=\dfrac{5\left(2-\sqrt3\right)}{4-3}=10-5\sqrt3$.
Vậy $P=\left(12+6\sqrt3\right)-\left(10-5\sqrt3\right)=2+11\sqrt3$. Đáp án C.

Ta có $\sqrt{\left(2+\sqrt5\right)^2}=\left|2+\sqrt5\right|=2+\sqrt5$ và $\sqrt{\left(2-\sqrt5\right)^2}=\left|2-\sqrt5\right|=\sqrt5-2$ (vì $\sqrt5>2$).
Do đó tổng bằng $\left(2+\sqrt5\right)+\left(\sqrt5-2\right)=2\sqrt5=0+2\sqrt5$, suy ra $a=0,\ b=2$.
Vậy $199a+3b=199\cdot0+3\cdot2=6$. Đáp án D.

Ta có $\sqrt{10}-\sqrt6=\sqrt2\left(\sqrt5-\sqrt3\right)$.
Lại có $\left(4+\sqrt{15}\right)\sqrt{4-\sqrt{15}}=\sqrt{4+\sqrt{15}}\cdot\sqrt{\left(4+\sqrt{15}\right)\left(4-\sqrt{15}\right)}=\sqrt{4+\sqrt{15}}$ (vì $16-15=1$).
Do đó $M=\sqrt2\cdot\sqrt{4+\sqrt{15}}\cdot\left(\sqrt5-\sqrt3\right)=\sqrt{8+2\sqrt{15}}\left(\sqrt5-\sqrt3\right)$.
Mà $8+2\sqrt{15}=\left(\sqrt5+\sqrt3\right)^2$ nên $M=\left(\sqrt5+\sqrt3\right)\left(\sqrt5-\sqrt3\right)=5-3=2$. Đáp án B.

Ta có $9+4\sqrt5=5+4\sqrt5+4=\left(\sqrt5+2\right)^2$ nên $\sqrt{9+4\sqrt5}=\sqrt5+2$.
Khi đó $17-4\left(\sqrt5+2\right)=9-4\sqrt5=\left(\sqrt5-2\right)^2$, suy ra $\sqrt{17-4\sqrt{9+4\sqrt5}}=\sqrt5-2$.
Do đó $a=\sqrt5-\left(\sqrt5-2\right)=2$.
Vậy $P=2^4-3\cdot2^2+3\cdot2+20=16-12+6+20=30$. Đáp án A.

Ta có $29-12\sqrt5=20-12\sqrt5+9=\left(2\sqrt5-3\right)^2$ nên $\sqrt{29-12\sqrt5}=2\sqrt5-3$ (vì $2\sqrt5>3$).
Suy ra $3-\left(2\sqrt5-3\right)=6-2\sqrt5=\left(\sqrt5-1\right)^2$, do đó $\sqrt{3-\sqrt{29-12\sqrt5}}=\sqrt5-1$.
Vậy $Q=\sqrt{\sqrt5-\left(\sqrt5-1\right)}=\sqrt1=1$. Đáp án B.

Điều kiện $a\ge3,\ b\ge2,\ c\ge1$. Nhân hai vế với $2$ rồi chuyển vế, giả thiết trở thành
$\left(a-3-2\sqrt{a-3}+1\right)+\left(b-2-2\sqrt{b-2}+1\right)+\left(c-1-2\sqrt{c-1}+1\right)=0$
$\Leftrightarrow\left(\sqrt{a-3}-1\right)^2+\left(\sqrt{b-2}-1\right)^2+\left(\sqrt{c-1}-1\right)^2=0$.
Tổng ba số không âm bằng $0$ nên $\begin{cases}\sqrt{a-3}=1\\\sqrt{b-2}=1\\\sqrt{c-1}=1\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}a=4\\b=3\\c=2\end{cases}$
Vậy $S=4+2\cdot3+3\cdot2=16$. Đáp án A.

Bình phương đẳng thức thứ hai ta được
$\left(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}\right)^2=Q+2\left(\dfrac{xy}{ab}+\dfrac{yz}{bc}+\dfrac{zx}{ca}\right)=1$.
Mặt khác $\dfrac{xy}{ab}+\dfrac{yz}{bc}+\dfrac{zx}{ca}=\dfrac{xyz}{abc}\left(\dfrac{c}{z}+\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}\right)=\dfrac{xyz}{abc}\cdot0=0$.
Vậy $Q=1$. Đáp án C.

Đặt $t=\sqrt[3]{2}$, khi đó $t^3=2$ và $\sqrt[3]{4}=t^2$.
Vì $(t+1)\left(t^2-t+1\right)=t^3+1=3$ nên $\dfrac{3}{t^2-t+1}=t+1$.
Vì $(t-1)\left(t^2+t+1\right)=t^3-1=1$ nên $\dfrac{1}{t^2+t+1}=t-1$.
Vậy $Q=(t+1)-(t-1)=2$. Đáp án B.