Bài tập tổng hợp

Điều kiện xác định: $x\ge6$. Phương trình tương đương $\sqrt{x-6}=0$ hoặc $x^2-12x+20=0$. Trường hợp 1: $x=6$ (thỏa điều kiện). Trường hợp 2: $x^2-12x+20=0 \Leftrightarrow x=2$ hoặc $x=10$; kết hợp điều kiện $x\ge6$ chỉ nhận $x=10$. Vậy phương trình có 2 nghiệm là $x=6$ và $x=10$.

Theo Vi-ét, $x_1+x_2=4321$ với mọi giá trị của $m$ (hệ số của $x$ không phụ thuộc $m$). Vậy $S=2\cdot4321=8642$. (Vì $1$ và $-(m^6+3)$ luôn trái dấu nên phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi $m$.)

Phương trình vô nghiệm khi hệ số của $x$ bằng $0$ nhưng hạng tử tự do khác $0$. Hệ số của $x$: $m^2+m-2=0 \Leftrightarrow m=1$ hoặc $m=-2$. Với $m=1$: vế phải $=1-1+2-2=0$, khi đó phương trình trở thành $0=0$ (vô số nghiệm, không phải vô nghiệm) nên loại. Với $m=-2$: vế phải $=-8-4-4-2=-18\ne0$, thỏa mãn vô nghiệm. Vậy chỉ có $1$ giá trị $m=-2$.

Điều kiện $x\ge-2$. Viết lại $\sqrt{3x+10}=2+\sqrt{x+2}$, bình phương hai vế: $3x+10=4+4\sqrt{x+2}+x+2 \Leftrightarrow 2x+4=4\sqrt{x+2} \Leftrightarrow x+2=2\sqrt{x+2}$. Đặt $t=\sqrt{x+2}\ge0$: $t^2=2t \Leftrightarrow t=0$ hoặc $t=2$. Với $t=0$: $x=-2$. Với $t=2$: $x=2$. Thử lại cả hai nghiệm vào phương trình ban đầu đều thỏa mãn. Vậy phương trình có 2 nghiệm.

Thay $x=-1$ vào phương trình: $(m-3)+2(m+1)-m-3=2m-4=0 \Rightarrow m=2$. Với $m=2$, phương trình trở thành $-x^2-6x-5=0 \Leftrightarrow x^2+6x+5=0 \Leftrightarrow (x+1)(x+5)=0$, cho $x=-1$ hoặc $x=-5$. Vậy nghiệm còn lại là $x=-5$.

Vì $\gcd(1,13)=1$ nên phương trình có vô số nghiệm nguyên, tham số hóa bởi $x=37+13y$ với $y$ nguyên tùy ý — khẳng định A đúng, D sai. Với $y=1$: $x=50$, khớp khẳng định C (đúng). Xét tính chẵn lẻ: nếu $y$ chẵn thì $x=37+13y$ lẻ; nếu $y$ lẻ thì $x$ chẵn — trong mọi trường hợp $x,y$ luôn khác tính chẵn lẻ, tức không cùng lẻ — khẳng định B đúng. Vậy khẳng định sai là D.

Viết lại: $x(x-1)+y(y+1)=37$. Với $x$ nguyên, $x(x-1)$ là tích của hai số nguyên liên tiếp nên luôn chẵn; tương tự $y(y+1)$ cũng luôn chẵn. Do đó vế trái luôn là số chẵn, không thể bằng $37$ (số lẻ). Vậy không có cặp số nguyên nào thỏa mãn.

Viết lại: $(x-y)^2+y^2=1$. Vì tổng hai số chính phương bằng $1$ nên có hai khả năng: $(x-y)^2=1,\,y^2=0$ cho $y=0,\,x=\pm1$; hoặc $(x-y)^2=0,\,y^2=1$ cho $y=\pm1,\,x=y$. Tổng hợp lại ta được 4 cặp nghiệm: $(1;0),(-1;0),(1;1),(-1;-1)$.

Điều kiện $x\ge8$. Nếu $x-8=0\Rightarrow x=8$ (thỏa mãn). Nếu $x^2-14x+24=0\Leftrightarrow x=2$ hoặc $x=12$; kết hợp điều kiện $x\ge8$ chỉ nhận $x=12$. Vậy phương trình có 2 nghiệm là $x=8$ và $x=12$. Đáp án A.

Theo định lí Viet, $x_1+x_2=2024$ với mọi $m$ (vì đây là hệ số của $x$ trong phương trình, không phụ thuộc $m$). Vậy $S=3\cdot2024=6072$. Đáp án B.

Ta có $m^2+2m-3=(m-1)(m+3)$ và $m^3+3m^2-4=(m-1)(m+2)^2$. Phương trình vô nghiệm khi hệ số của $x$ bằng $0$ nhưng vế phải khác $0$, tức $(m-1)(m+3)=0\Leftrightarrow m=1$ hoặc $m=-3$. Với $m=1$: vế phải $=(1-1)(1+2)^2=0$, phương trình trở thành $0=0$ (vô số nghiệm, loại). Với $m=-3$: vế phải $=(-3-1)(-3+2)^2=-4\ne0$, phương trình vô nghiệm (nhận). Vậy có 1 giá trị của $m$. Đáp án C.

Điều kiện $x\ge-1$. Ta có $\sqrt{5x+9}=2+\sqrt{x+1}\Rightarrow 5x+9=4+4\sqrt{x+1}+x+1\Leftrightarrow 4x+4=4\sqrt{x+1}\Leftrightarrow x+1=\sqrt{x+1}$. Đặt $u=\sqrt{x+1}\ge0$: $u^2=u\Leftrightarrow u=0$ hoặc $u=1$, tương ứng $x=-1$ hoặc $x=0$. Thử lại cả hai đều thỏa mãn phương trình ban đầu. Vậy phương trình có 2 nghiệm. Đáp án D.

Thay $x=-1$ vào phương trình: $(m-4)-2(m+2)(-1)-m-4=0\Leftrightarrow (m-4)+2(m+2)-m-4=0\Leftrightarrow 2m-4=0\Leftrightarrow m=2$. Với $m=2$, phương trình trở thành $-2x^2-8x-6=0\Leftrightarrow x^2+4x+3=0\Leftrightarrow (x+1)(x+3)=0$. Vậy nghiệm còn lại là $x=-3$. Đáp án A.

Vì $\gcd(3,11)=1$ nên phương trình có vô số nghiệm nguyên, với dạng tổng quát $x=27+11t,\ y=2+3t$ ($t\in\mathbb Z$), nên khẳng định A đúng. Với $t=0$ ta được $x=27,y=2$, thử lại $3\cdot27-11\cdot2=59$ đúng, nên khẳng định C đúng. Nếu $x,y$ cùng chẵn thì $3x-11y$ chẵn, trong khi $59$ lẻ, mâu thuẫn, nên khẳng định D đúng. Do phương trình có vô số nghiệm nguyên nên khẳng định B (chỉ có hữu hạn nghiệm) là SAI. Đáp án B.

Nhân $4$ hai vế và biến đổi ta được $(2x-3)^2+(2y+3)^2=178$. Do $2x-3$ và $2y+3$ đều là số lẻ, ta cần tìm các số lẻ $a,b$ thỏa $a^2+b^2=178$; chỉ có $13^2+3^2=178$. Xét đủ các trường hợp dấu của $(2x-3;2y+3)\in\{(\pm13;\pm3),(\pm3;\pm13)\}$ ta được 8 cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn: $(8;0),(8;-3),(-5;0),(-5;-3),(3;5),(3;-8),(0;5),(0;-8)$. Đáp án C.

Xem phương trình là phương trình bậc hai ẩn $x$: $x^2-2yx+3y^2-4=0$. Ta có $\Delta^\prime=y^2-(3y^2-4)=4-2y^2\ge0\Leftrightarrow y^2\le2\Rightarrow y\in\{-1;0;1\}$. Với $y=0$: $\Delta^\prime=4$ là số chính phương, $x=0\pm2=\pm2$ (nhận). Với $y=\pm1$: $\Delta^\prime=2$ không là số chính phương nên $x$ không nguyên. Vậy phương trình có 2 nghiệm nguyên $(x;y)=(2;0),(-2;0)$. Đáp án D.