Hệ phương trình bậc hai và bậc cao

Hệ A: $(x-y)^2+3=0$ vô nghiệm với mọi $x,y$ vì $(x-y)^2\ge0$. Hệ B: $x^2+4y^2+2\ge2>0$ với mọi $x,y$ nên vô nghiệm. Hệ C có nghiệm duy nhất (giải ra $x=0,y=1$), không phải $(3;5)$. Với hệ D: $x+y=3+5=8$ (đúng) và $x^2+y^2=9+25=34$ (đúng). Vậy $(3;5)$ là nghiệm của hệ D.

Đây là hệ đối xứng loại I. Đặt $S=x+y,\ P=xy$, ta có $x^2+y^2=S^2-2P=5$ và $xy+x+y=P+S=5$. Từ đó $P=5-S$, thay vào phương trình đầu: $S^2-2(5-S)=5 \Leftrightarrow S^2+2S-15=0 \Leftrightarrow S=3$ hoặc $S=-5$. Với $S=3 \Rightarrow P=2$: $x,y$ là nghiệm của $t^2-3t+2=0 \Rightarrow t=1$ hoặc $t=2$ (thỏa $S^2\ge4P$). Với $S=-5 \Rightarrow P=10$: $S^2=25<4P=40$, loại. Vậy $x=1,y=2$ hoặc $x=2,y=1$.

Cộng từng vế hai phương trình: $0=(a-3)+(b+2) \Leftrightarrow a+b-1=0 \Leftrightarrow b=1-a$. Thay vào phương trình đầu: $a^2-(1-a)^2=a-3 \Leftrightarrow (a-(1-a))(a+(1-a))=a-3 \Leftrightarrow (2a-1)\cdot1=a-3 \Leftrightarrow 2a-1=a-3 \Leftrightarrow a=-2$. Suy ra $b=1-(-2)=3$. Vậy $E=3(-2)+2(3)+7=-6+6+7=7$.

Mỗi phương trình đều có dạng bình phương: $x^2-4x+4=(x-2)^2=0 \Rightarrow x=2$; tương tự $y=2,\ z=2$. Vậy $M=3(2)+2(2)+2+12=6+4+2+12=24$.

Phương trình (1) $\Leftrightarrow (a+2)^2+(b-1)^2=0$, mà $(a+2)^2\ge0$ và $(b-1)^2\ge0$ nên phải có $a+2=0$ và $b-1=0$, suy ra $a=-2,\ b=1$. Thay vào (2): $2(-2)^2+1^2-9=8+1-9=0$ (thỏa mãn). Vậy $P=5(-2)(1)+(-2)+1=-10-2+1=-11$.

Ta có $(a+b+c)^2=81 \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=81 \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=81-54=27=ab+bc+ca$. Suy ra $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right]=0 \Rightarrow a=b=c$. Kết hợp $a+b+c=9$ ta được $a=b=c=3$. Vậy $P=3(3)+2(3)+3=9+6+3=18$.

Từ $x^8\le1$ và $y^8\le1$ suy ra $-1\le x,y\le1$. Khi đó $x^7-x^8=x^7(1-x)$ và $y^7-y^8=y^7(1-y)$. Lấy phương trình đầu trừ phương trình sau: $(x^7-x^8)+(y^7-y^8)=0$. Có thể chứng minh $x,y\ge0$ từ hai phương trình đã cho, khi đó $x^7(1-x)\ge0$ và $y^7(1-y)\ge0$ với $0\le x,y\le1$, nên tổng bằng $0$ khi và chỉ khi mỗi số hạng bằng $0$: $x\in\{0;1\},\ y\in\{0;1\}$. Kiểm tra lại hai phương trình ban đầu, chỉ có $(x;y)=(1;0)$ và $(x;y)=(0;1)$ thỏa mãn. Vậy hệ có $2$ nghiệm.

Xem (1) là phương trình bậc hai ẩn $y$: $y^2+2(1-x)y+2x^2+3=0$. Ta có $\Delta^\prime=(1-x)^2-(2x^2+3)=1-2x+x^2-2x^2-3=-x^2-2x-2=-(x+1)^2-1<0$ với mọi $x$. Vậy phương trình (1) vô nghiệm với mọi $x,y$, do đó hệ đã cho vô nghiệm.

Với mọi $x,y$ ta có $x^2\ge0,\ 3y^6\ge0$ nên $x^2+3y^6+2\ge2>0$, phương trình thứ hai vô nghiệm. Do đó hệ đã cho vô nghiệm. Đáp án A.

Thay $x=4,y=-3$: đáp án A có $x^2+y^2+5=25>0\ne0$ (vô lí); đáp án C giải ra $x=0,y=1$ (không phải $x=4,y=-3$); đáp án D có $x^2+y^2=25\ne13$. Chỉ đáp án B thỏa mãn: $x-y=4-(-3)=7$ và $x+y=4+(-3)=1$. Đáp án B.

Trừ từng vế: $x^3-y^3=3(y-x) \Leftrightarrow (x-y)(x^2+xy+y^2)+3(x-y)=0 \Leftrightarrow (x-y)(x^2+xy+y^2+3)=0$. Vì $x^2+xy+y^2+3=\left(x+\dfrac{y}{2}\right)^2+\dfrac{3y^2}{4}+3>0$ nên $x=y$. Khi đó $x^3-3x-52=0 \Leftrightarrow (x-4)(x^2+4x+13)=0 \Leftrightarrow x=4$ (do $x^2+4x+13>0$). Vậy $x=y=4$. Đáp án C.

Nhân từng vế ba phương trình: $x^2z^2(y+1)^2=6\cdot10\cdot15=900 \Rightarrow \left[xz(y+1)\right]^2=900 \Rightarrow xz(y+1)=\pm30$. Nếu $xz(y+1)=30$, kết hợp $xz=10 \Rightarrow y+1=3 \Rightarrow y=2$, khi đó $x(y+1)=6 \Rightarrow x=2$, và $z(y+1)=15 \Rightarrow z=5$. Nếu $xz(y+1)=-30 \Rightarrow y+1=-3 \Rightarrow y=-4,\ x=-2,\ z=-5$. Vậy hệ có $2$ nghiệm. Đáp án D.

Với $(x;y)=(5;-2)$: đáp án A có $\sqrt{5-1}+\sqrt{-2+6}=2+2=4$ và $2\cdot5+3\cdot(-2)=4$ (thỏa mãn cả hai phương trình); đáp án B có $\sqrt{y+1}=\sqrt{-1}$ không xác định; đáp án C có $(5-2)^2+(-2+5)^2=18\ne0$; đáp án D có $\sqrt{x-8}=\sqrt{-3}$ không xác định. Đáp án A.

Điều kiện $x,y\ge0$. Đặt $a=\sqrt{x},b=\sqrt{y}$ $(a,b\ge0)$, hệ trở thành $\begin{cases}ab(a+b)=30\\ a^3+b^3=35\end{cases}$. Đặt $S=a+b,P=ab$, ta có $PS=30$ và $S^3-3PS=35 \Rightarrow S^3=35+90=125 \Rightarrow S=5,\ P=6$. Khi đó $a,b$ là nghiệm của $t^2-5t+6=0 \Rightarrow t=2$ hoặc $t=3$. Vậy $(x;y)=(4;9)$ hoặc $(9;4)$: hệ có $2$ nghiệm nguyên. Đáp án B.

Điều kiện $x,y\ge7$. Nếu $x>7$ thì $x+\sqrt[4]{y-7}>7$, vô lí; suy ra $x\le7$, kết hợp điều kiện $x\ge7$ ta có $x=7$. Tương tự $y=7$. Vậy hệ có nghiệm duy nhất $x=y=7$. Đáp án C.

Điều kiện $a,b,c\ge5$. Nếu $a>5$ thì $a+11>16 \Rightarrow \sqrt{a+11}>4$, khi đó phương trình thứ ba cho $\sqrt{c-5}+\sqrt{a+11}>4$ (vô lí vì $\sqrt{c-5}\ge0$). Suy ra $a=5$, thay vào phương trình thứ ba: $\sqrt{c-5}+4=4 \Rightarrow c=5$. Thay $c=5$ vào phương trình thứ hai: $\sqrt{b-5}+4=4 \Rightarrow b=5$. Vậy $a=b=c=5$. Đáp án D.