Hệ phương trình chứa tham số

Nhân hai vế phương trình đầu của $(I)$ với $2$: $(I) \Leftrightarrow \begin{cases}2x-2y=14\\ 4x+3y=0\end{cases}$. Hai hệ có cùng phương trình thứ hai, nên $(I)\equiv(II)$ khi hai phương trình đầu trùng nhau: $-m=14 \Leftrightarrow m=-14$.

Hệ bậc nhất hai ẩn $\begin{cases}kx-2y=1\\ 3x+y=3\end{cases}$ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi $\dfrac{k}{3}\ne\dfrac{-2}{1} \Leftrightarrow k\ne-6$.

Lấy $(2)$ trừ $(1)$: $(m^2-1)x=0$. Hệ có vô số nghiệm khi phương trình này nghiệm đúng với mọi $x$, tức là $m^2-1=0 \Leftrightarrow m=\pm1$ (khi đó $(2)$ trùng với $(1)$).

Cộng hai phương trình: $2x=(3-m)+(3m-3)=2m \Rightarrow x=m$. Trừ hai phương trình: $2y=(3-m)-(3m-3)=6-4m \Rightarrow y=3-2m$. Điểm $M\in d \Leftrightarrow y=x \Leftrightarrow 3-2m=m \Leftrightarrow 3m=3 \Leftrightarrow m=1$.

Với $S=x+y=m+2$ và $Q=x^2+y^2=2m^2+4m$ cho trước, hệ có nghiệm thực khi và chỉ khi $2Q\ge S^2$ (vì $x^2+y^2\ge\dfrac{(x+y)^2}{2}$). Ta có $2(2m^2+4m)\ge(m+2)^2 \Leftrightarrow 4m^2+8m\ge m^2+4m+4 \Leftrightarrow 3m^2+4m-4\ge0 \Leftrightarrow (3m-2)(m+2)\ge0 \Leftrightarrow m\le-2$ hoặc $m\ge\dfrac{2}{3}$. Vậy hệ vô nghiệm khi $-2<m<\dfrac{2}{3}$, các giá trị nguyên thỏa mãn là $m=-1$ và $m=0$, tức có $2$ giá trị.

Thử trực tiếp $x=y=1$: phương trình đầu trở thành $(2a-b)+(a+b)=3a$ — đúng với mọi $a,b$; phương trình sau trở thành $(a+3b)-(a-b)=4b$ — cũng đúng với mọi $a,b$. Vậy $(x;y)=(1;1)$ luôn là nghiệm của hệ với mọi $a,b$ thực, tức là với $a,b$ bất kì hệ đều có nghiệm.

Phương trình (1) $\Leftrightarrow (x+3)^2+(y-1)^2=0 \Rightarrow x=-3,\ y=1$ (nghiệm duy nhất của (1)). Thay vào (2): $(-3)^2+2(1)^2+(-3)(1)+k^2-16k+7=0 \Leftrightarrow 9+2-3+k^2-16k+7=0 \Leftrightarrow k^2-16k+15=0 \Leftrightarrow k=1$ hoặc $k=15$. Vậy có $2$ giá trị của $k$.

Từ $a-b=m+1$, bình phương hai vế: $a^2+b^2-2ab=m^2+2m+1$. Từ giả thiết thứ hai: $2ab=-2m^2-8m+2$. Cộng hai đẳng thức: $a^2+b^2=(m^2+2m+1)+(-2m^2-8m+2)=-m^2-6m+3=-(m+3)^2+12\le12$. Vậy $\max P=12$, đạt được khi $m=-3$.

Thay $x=3,y=-1$ vào hệ: phương trình thứ nhất cho $3a-1=5 \Rightarrow a=2$; phương trình thứ hai cho $3-a\cdot(-1)=5 \Rightarrow 3+a=5 \Rightarrow a=2$. Vậy $a=2$. Đáp án A.

Hệ có nghiệm duy nhất khi $\dfrac{k}{2}\ne\dfrac{-3}{1} \Leftrightarrow k\ne-6$. Đáp án B.

Hệ có vô số nghiệm khi $\dfrac{1}{m^2}=\dfrac{-4}{-4}=\dfrac{3}{3} \Leftrightarrow \dfrac{1}{m^2}=1 \Leftrightarrow m^2=1 \Leftrightarrow m=\pm1$. Đáp án C.

Cộng và trừ từng vế hai phương trình ta được $x=\dfrac{3+m}{2},\ y=\dfrac{5-3m}{2}$. Điểm $M\in d \Leftrightarrow y=x+1 \Leftrightarrow \dfrac{5-3m}{2}=\dfrac{3+m}{2}+1 \Leftrightarrow 5-3m=5+m \Leftrightarrow 4m=0 \Leftrightarrow m=0$. Đáp án D.

Hệ có nghiệm khi $(x+y)^2\le2(x^2+y^2) \Leftrightarrow (m+1)^2\le2(2m^2+2m) \Leftrightarrow 3m^2+2m-1\ge0 \Leftrightarrow (3m-1)(m+1)\ge0 \Leftrightarrow m\le-1$ hoặc $m\ge\dfrac{1}{3}$. Do đó hệ vô nghiệm khi $-1<m<\dfrac{1}{3}$, chỉ có $m=0$ là số nguyên thỏa mãn. Vậy có $1$ giá trị. Đáp án A.

Dễ thấy $x=2,y=-1$ luôn là nghiệm của hệ với mọi $a,b$: phương trình thứ nhất cho $(a-2b)\cdot2+(2a+b)\cdot(-1)=2a-4b-2a-b=-5b$ (đúng); phương trình thứ hai cho $(3a+b)\cdot2-(a-b)\cdot(-1)=6a+2b+a-b=7a+b$ (đúng). Vậy với $a,b$ là hai số thực bất kì hệ đều có nghiệm. Đáp án B.

$(1) \Leftrightarrow (x-2)^2+(y+4)^2=0 \Rightarrow x=2,y=-4$. Thay vào $(2)$: $4+3\cdot16+2\cdot(-4)+k^2-10k-23=0 \Leftrightarrow 4+48-8+k^2-10k-23=0 \Leftrightarrow k^2-10k+21=0 \Leftrightarrow k=3$ hoặc $k=7$. Vậy có $2$ giá trị của $k$. Đáp án C.

Từ giả thiết $ab=-(m^2+2m-3)$. Ta có $P=a^2+b^2=(a-b)^2+2ab=(m+2)^2-2(m^2+2m-3)=m^2+4m+4-2m^2-4m+6=-m^2+10\le10$. Dấu bằng xảy ra khi $m=0$. Vậy $P_{\max}=10$. Đáp án D.