Tập xác định, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Ta có $y=x^2-4x+53=(x-2)^2+49\ge49$. Vậy $\min y=49$, đạt được khi $x=2$.

Hàm số xác định khi $\begin{cases}4-x^2>0\\ x^2-2x+7\ge0\end{cases}$. Điều kiện thứ hai luôn đúng vì $x^2-2x+7=(x-1)^2+6>0$ với mọi $x$. Điều kiện thứ nhất: $4-x^2>0 \Leftrightarrow -2<x<2$. Vậy tập xác định là $(-2;2)$.

Ta có $y=-x^2+4x-27=-(x^2-4x+4)-23=-(x-2)^2-23\le-23$. Vậy $\max y=-23$, đạt được khi $x=2$.

Ta có $y=(x-1)+\dfrac{4}{x-1}+1$. Vì $x>1$ nên $x-1>0$, áp dụng bất đẳng thức Cô-si: $(x-1)+\dfrac{4}{x-1}\ge2\sqrt{(x-1)\cdot\dfrac{4}{x-1}}=4$. Suy ra $y\ge4+1=5$. Dấu bằng xảy ra khi $x-1=\dfrac{4}{x-1} \Leftrightarrow (x-1)^2=4 \Leftrightarrow x=3$ (do $x>1$). Vậy $\min y=5$ khi $x=3$.

Đường thẳng $d:y=x-4$ cắt trục $Ox,Oy$ lần lượt tại $A(4;0),\ B(0;-4)$. Tam giác $AOB$ vuông cân tại $O$ với $OA=OB=4$, nên $AB=4\sqrt2$. Khoảng cách từ $O$ đến $d$ (chính là giá trị nhỏ nhất của $OP$) bằng nửa đường chéo $AB$ của hình vuông tạo bởi tam giác vuông cân, cụ thể $\min OP=2\sqrt2$, đạt được khi $P$ là chân đường vuông góc hạ từ $O$ xuống $d$ (khi đó $P$ là trung điểm $AB$).

Ta có $y=|x+6|+|x-7|=|x+6|+|7-x|\ge|(x+6)+(7-x)|=13$ (bất đẳng thức $|A|+|B|\ge|A+B|$). Vậy $\min y=13$, đạt được khi $-6\le x\le7$.

Ta có $y=\dfrac{4x}{x^2+1} \Leftrightarrow yx^2-4x+y=0$, đây là phương trình ẩn $x$ (theo tham số $y$), phương trình này phải có nghiệm. Nếu $y=0$ thì $x=0$ (thỏa mãn). Nếu $y\ne0$, cần $\Delta^\prime=4-y^2\ge0 \Leftrightarrow -2\le y\le2$. Vậy $m=-2,\ M=2$, do đó $m\cdot M=-4$.

Đặt $t=\dfrac{2x}{x^2+1}$. Có thể chứng minh $-1\le t\le1$ với mọi $x$ (từ $tx^2-2x+t=0$ có nghiệm khi $t=0$ hoặc $\Delta^\prime=1-t^2\ge0$). Khi đó $y=t^2-4t+25=(t-2)^2+21$. Vì $-1\le t\le1$ nên $-3\le t-2\le-1$, suy ra $(t-2)^2$ lớn nhất bằng $9$ khi $t-2=-3$ (tức $t=-1$). Vậy $\max y=9+21=30$, đạt được khi $t=-1$ (tức $x=-1$).

Ta có $y=(x-3)^2+11$. Vì $x\ge4>3$ nên hàm số đồng biến trên $[4;+\infty)$, do đó $\min y$ đạt tại $x=4$: $y=(4-3)^2+11=12$. Đáp án B.

Hàm số xác định khi $9-x^2>0$ và $x^2-4x+9\ge0$. Vì $x^2-4x+9=(x-2)^2+5>0$ với mọi $x$ nên điều kiện thứ hai luôn đúng. Điều kiện $9-x^2>0 \Leftrightarrow -3<x<3$. Vậy tập xác định là $(-3;3)$. Đáp án A.

Ta có $y=-(x-3)^2-10\le-10$. Vậy $\max y=-10$, đạt được khi $x=3$. Đáp án C.

Ta có $y=(x-2)+\dfrac{9}{x-2}+2\ge2\sqrt{(x-2)\cdot\dfrac{9}{x-2}}+2=6+2=8$. Vậy $\min y=8$, đạt được khi $x-2=3\Leftrightarrow x=5$. Đáp án D.

Đường thẳng $d:y=x-6$ cắt trục $Ox,Oy$ lần lượt tại $A(6;0),B(0;-6)$. Tam giác $AOB$ vuông cân tại $O$ và $AB=6\sqrt2$, do đó $\min OP=\dfrac{AB}{2}=3\sqrt2$ khi $P$ là trung điểm của $AB$. Đáp án B.

Ta có $y=|x+3|+|x-9|\ge|(x+3)-(x-9)|=12$. Vậy $\min y=12$, đạt được khi $-3\le x\le9$. Đáp án D.

Từ $y=\dfrac{6x}{x^2+1}$ ta có $yx^2-6x+y=0$ là phương trình ẩn $x$, phương trình này phải có nghiệm. Nếu $y=0\Rightarrow x=0$. Nếu $y\ne0$, cần $\Delta=36-4y^2\ge0\Leftrightarrow-3\le y\le3$. Vậy $m=-3,M=3\Rightarrow M-m=6$. Đáp án C.

Đặt $t=\dfrac{2x}{x^2+1}$ ta có $-1\le t\le1$. Khi đó $y=t^2-6t+15=(t-3)^2+6$. Vì $-1\le t\le1$ nên $(t-3)^2$ đạt lớn nhất khi $t=-1$: $y=(-1-3)^2+6=22$. Vậy $\max y=22$ khi $t=-1$. Đáp án A.