Điểm thuộc đồ thị và sự biến thiên của hàm số

Đường thẳng đi qua $I$ khi $-24=2(3)+m-25 \Leftrightarrow -24=6+m-25 \Leftrightarrow -24=m-19 \Leftrightarrow m=-5$.

Hàm số $y=5x^2$ không đồng biến trên toàn bộ $\mathbb{R}$ (chỉ đồng biến trên $(0;+\infty)$). Với $y=-3x+m-9$, hệ số $a=-3<0$ nên nghịch biến. Với $y=(3m-2)x+3$, hệ số $a=3m-2$ có thể âm, dương hoặc bằng $0$ tùy $m$. Với $y=(m^2-2m+15)x-7$, ta có $m^2-2m+15=(m-1)^2+14>0$ với mọi $m$, nên hàm số này luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$ với mọi giá trị của $m$.

$E\in(P) \Leftrightarrow -1=a\cdot2^2=4a \Leftrightarrow a=-\dfrac{1}{4}$. $F\in(P) \Leftrightarrow k-5=-\dfrac{1}{4}\cdot(-2)^2=-\dfrac{1}{4}\cdot4=-1 \Leftrightarrow k=4$.

Đường thẳng đi qua $E(0;-2)$ khi $-2=(m^6-7m^2+4)\cdot0+m^2-12m+18 \Leftrightarrow m^2-12m+18=-2 \Leftrightarrow m^2-12m+20=0 \Leftrightarrow m=2$ hoặc $m=10$. Vậy có $2$ giá trị của $m$.

Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi $m^2-7m-8<0 \Leftrightarrow (m+1)(m-8)<0 \Leftrightarrow -1<m<8$. Các số nguyên $m$ thỏa mãn: $m\in\{0,1,2,3,4,5,6,7\}$, có tất cả $8$ giá trị.

Các khẳng định A, B, C đều sai vì chẳng hạn $3<3{,}5$ nhưng $f(3)=f(3{,}5)=3$ (hàm số không đồng biến chặt, không nghịch biến, không phải hằng số). Tuy nhiên với mọi $x_1<x_2$ ta luôn có $f(x_1)\le f(x_2)$ (hàm số không giảm). Vậy khẳng định D đúng.

Nếu $M(0;b)$ thuộc đồ thị thì $b=(0-3)(m^2-8m+25)=-3(m^2-8m+25)=-3\left[(m-4)^2+9\right]\le-27$ với mọi $m$. Do đó với $b>-27$ thì không tồn tại $m$ nào để $M(0;b)$ thuộc đồ thị hàm số.

Giải hệ $\begin{cases}y=-x+1\\ y=x-1\end{cases}$ ta được giao điểm $M(1;0)$. $M$ thuộc $d_3$ khi $0=-a+a^3-a^2-\dfrac{1}{3} \Leftrightarrow 3a^3-3a^2-3a-1=0 \Leftrightarrow 4a^3=(a+1)^3$. Lấy căn bậc ba hai vế: $a\sqrt[3]{4}=a+1 \Leftrightarrow a\left(\sqrt[3]{4}-1\right)=1 \Leftrightarrow a=\dfrac{1}{\sqrt[3]{4}-1}$.

Đường thẳng đi qua $K$ khi $19=-3\cdot(-4)+m+3=15+m\Leftrightarrow m=4$. Đáp án D.

Do $m^2-4m+13=(m-2)^2+9>0$ với mọi $m$ nên $-\left(m^2-4m+13\right)<0$ với mọi $m$, suy ra hàm số $y=-\left(m^2-4m+13\right)x+8$ luôn nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Đáp án A.

$E\in(P)\Leftrightarrow2=9a\Leftrightarrow a=\dfrac{2}{9}$. $F\in(P)\Leftrightarrow k+4=\dfrac{2}{9}\cdot(-3)^2=2\Rightarrow k=-2$. Đáp án B.

$d$ đi qua $E$ khi $-4=m^2-7m+6\Leftrightarrow m^2-7m+10=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m=2\\ m=5\end{array}\right.$ (hệ số của $x$ không ảnh hưởng vì hoành độ của $E$ bằng $0$). Vậy có $2$ giá trị của $m$. Đáp án B.

Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi $m^2-3m-18<0\Leftrightarrow(m-6)(m+3)<0\Leftrightarrow-3<m<6$. Các số nguyên thỏa mãn là $-2;-1;0;1;2;3;4;5$, có tất cả $8$ số. Đáp án C.

Với mọi $x$, ta luôn có $[x]\le x<[x]+1$, suy ra $0\le x-[x]<1$, tức là $0\le f(x)<1$ với mọi $x\in\mathbb{R}$. Hàm số không đồng biến, không nghịch biến và không phải là hàm hằng (chẳng hạn $f(0)=0\ne f(0{,}5)=0{,}5$). Đáp án D.

Với $x=0$: $y=5\left(m^2-6m+34\right)=5\left[(m-3)^2+25\right]\ge125$. Do đó với $b<125$ thì không có giá trị nào của $m$ để $N(0;b)$ thuộc đồ thị hàm số. Đáp án C.

Đặt $t=x+\dfrac{4}{x}$ thì $|t|\ge4$ và $x^2+\dfrac{16}{x^2}=t^2-8$. Khi đó $y=t^2-8+6t+20=(t+3)^2+3$. Với $t\ge4$ thì $y\ge49+3=52$; với $t\le-4$ thì $(t+3)^2\ge1\Rightarrow y\ge4$. Vậy $\min y=4>3$ nên không tồn tại $a$ nào để $M(a;3)$ thuộc đồ thị hàm số. Đáp án A.