Phương trình đường thẳng, parabol và sự tương giao

$d$ vuông góc với $d^\prime$ khi tích hai hệ số góc bằng $-1$: $(m-8)\cdot\dfrac{1}{3}=-1 \Leftrightarrow m-8=-3 \Leftrightarrow m=5$.

Đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ $-16$ nên có dạng $y=ax-16$. Đường thẳng đi qua $I(2;-8)$: $-8=2a-16 \Leftrightarrow 2a=8 \Leftrightarrow a=4$. Vậy phương trình đường thẳng là $y=4x-16$.

Đường thẳng $d$ cắt $Ox$ tại $M(-8;0)$ và cắt $Oy$ tại $N(0;8)$. Tam giác $MON$ vuông tại $O$ với $OM=8,\ ON=8$, nên diện tích bằng $\dfrac{1}{2}\cdot8\cdot8=32$ (đơn vị diện tích).

Do $d\perp d^\prime$ và $d^\prime$ có hệ số góc $1$, nên $d$ có hệ số góc $a=-1$, tức $d:y=-x+b$. Do $I\in d$: $-6=-4+b \Leftrightarrow b=-2$. Vậy $d:y=-x-2$, suy ra $P=5\cdot(-1)\cdot(-2)=10$.

$M(-3;-1)$ là trung điểm của $BC$. Phương trình $AM$ có dạng $y=ax+b$ đi qua $A(3;2)$ và $M(-3;-1)$: $\begin{cases}2=3a+b\\ -1=-3a+b\end{cases}$. Cộng hai phương trình: $2b=1 \Rightarrow b=\dfrac{1}{2}$; trừ hai phương trình: $6a=3 \Rightarrow a=\dfrac{1}{2}$. Vậy $AM: y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}$.

Hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm trên trục tung (tức tại $x=0$) khi giá trị của chúng tại $x=0$ bằng nhau: $m^3+16m+9=8m^2+m+9 \Leftrightarrow m^3-8m^2+15m=0 \Leftrightarrow m(m^2-8m+15)=0 \Leftrightarrow m(m-3)(m-5)=0 \Leftrightarrow m\in\{0;3;5\}$. Vậy có $3$ giá trị của $m$.

Phương trình $27x^2-42x+m^2-17m-18=0$ có hai nghiệm trái dấu khi tích hai nghiệm âm, tức $\dfrac{m^2-17m-18}{27}<0 \Leftrightarrow m^2-17m-18<0 \Leftrightarrow (m+1)(m-18)<0 \Leftrightarrow -1<m<18$. Các giá trị nguyên $m$ thỏa mãn: $m\in\{0,1,2,\ldots,17\}$, có tất cả $18$ giá trị.

Ta cần phương trình $x^2+2mx+2m^2-8m+15=0$ có hai nghiệm phân biệt và khác $1$ (để tổng cộng có 3 nghiệm phân biệt của tích). Điều kiện có hai nghiệm phân biệt: $\Delta^\prime=m^2-(2m^2-8m+15)=-m^2+8m-15>0 \Leftrightarrow m^2-8m+15<0 \Leftrightarrow (m-3)(m-5)<0 \Leftrightarrow 3<m<5$. Khi đó thay $x=1$: $1+2m+2m^2-8m+15=2m^2-6m+16$, xét $2m^2-6m+16=0 \Leftrightarrow m^2-3m+8=0$ có $\Delta=9-32<0$ nên vô nghiệm, tức luôn có nghiệm $x\ne1$. Vậy điều kiện là $3<m<5$.

$d_1$ song song $d_2$ khi $m^3+8m=6m^2\Leftrightarrow m\left(m^2-6m+8\right)=0\Leftrightarrow m\in\{0;2;4\}$ và $-72\ne18m-5$ (luôn đúng với ba giá trị trên). Vậy có $3$ giá trị của $m$. Đáp án C.

$d$ đi qua $\left(0;7\right)$ và $\left(-\dfrac{7}{4};0\right)$. Lấy đối xứng qua $Ox$, $d_1$ đi qua $\left(0;-7\right)$ và $\left(-\dfrac{7}{4};0\right)$, do đó $d_1:y=-4x-7$. Đáp án A.

Đường thẳng $BC$ có hệ số góc $\dfrac{1-(-3)}{-2-6}=-\dfrac{1}{2}$. Đường cao $AH$ qua $A$ và vuông góc với $BC$ nên có hệ số góc $2$: $y-(-7)=2(x-2)\Leftrightarrow y=2x-11$. Đáp án D.

Xét phương trình $x^2-ax-9=0$, có $\Delta=a^2+36>0$ với mọi $a$ nên luôn có $2$ nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ với $x_1+x_2=a,x_1x_2=-9$. $MN^2=(x_2-x_1)^2\left[1+(x_1+x_2)^2\right]=(a^2+36)(a^2+1)\ge36$. Vậy $\min MN=6$ khi $a=0$. Đáp án B.

Xét phương trình $(x+13)^4+(x+15)^4=16$. Đặt $t=x+14$, ta được $(t-1)^4+(t+1)^4=16\Leftrightarrow2t^4+12t^2+2=16\Leftrightarrow t^4+6t^2-7=0\Leftrightarrow(t^2-1)(t^2+7)=0\Rightarrow t=\pm1$. Suy ra $x\in\{-13;-15\}$, do đó $P=2(-13-15)=-56$. Đáp án A.

Phương trình hoành độ giao điểm: $x^2-3x-4=0\Leftrightarrow(x-4)(x+1)=0$, suy ra $M(4;16),N(-1;1)$. Diện tích tam giác $OMN$ là $\dfrac{1}{2}\left|4\cdot1-(-1)\cdot16\right|=\dfrac{1}{2}\cdot20=10$. Đáp án C.

Phương trình hoành độ: $x^2-kx+(k-1)=0$ có $\Delta=(k-2)^2\ge0$ (cần $k\ne2$), $x_1+x_2=k,x_1x_2=k-1$. Nếu $x_1x_2\ge0\ (k\ge1)$ thì $|x_1|+|x_2|=|k|=k$; $k=10$ thỏa mãn ($k\ge1$). Nếu $x_1x_2<0\ (k<1)$ thì $|x_1|+|x_2|=\sqrt{(k-2)^2}=2-k$; $2-k=10\Rightarrow k=-8$ thỏa mãn ($k<1$). Vậy $k=-8$ hoặc $k=10$. Đáp án B.

Phương trình hoành độ: $x^2-kx-4=0$ có $\Delta=k^2+16>0$ với mọi $k$, $x_1+x_2=k,x_1x_2=-4$. Ta có $Q=\left(x_1^2-4\right)\left(x_2^2-4\right)=(x_1x_2)^2-4\left(x_1^2+x_2^2\right)+16=16-4\left(k^2+8\right)+16=-4k^2\le0$. Vậy $\max Q=0$ khi $k=0$. Đáp án D.