Các bài toán về hàm số

Ta có $f\left(\dfrac{1}{1-a}\right)=\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{1-a}}=\dfrac{1}{\dfrac{1-a-1}{1-a}}=\dfrac{1-a}{-a}=\dfrac{a-1}{a}$.

Nếu $M(x_1;y_1), N(x_2;y_2)$ thì trung điểm của $MN$ có tọa độ $\left(\dfrac{x_1+x_2}{2};\dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$. Vì trung điểm là $O(0;0)$ nên $N=(-x_1;-y_1)=(-7;-2)$.

Nếu $P(a;b)$, $Q$ đối xứng với $P$ qua trục $Oy$ thì tọa độ của $Q$ là $(-a;b)$. Với $P(3;7)$, ta được $Q(-3;7)$.

Đường thẳng $d$ có dạng $y=ax+b$, đi qua $P,Q$ nên $\begin{cases}-3a+b=-16\\ a+b=-4\end{cases}$. Trừ hai phương trình: $4a=12 \Rightarrow a=3$. Vậy hệ số góc của $d$ bằng $3$.

$d$ đi qua $M(x_0;y_0)$ với mọi $k$ khi $y_0=(2k+3)x_0-6k-21 \Leftrightarrow (2x_0-6)k+3x_0-y_0-21=0$ đúng với mọi $k$, tức $\begin{cases}2x_0-6=0\\ 3x_0-y_0-21=0\end{cases} \Rightarrow x_0=3,\ y_0=9-21=-12$. Vậy $S=3^2+(-12)^2=9+144=153$.

Ta viết $f(a+1)=a^2+5a-25=(a+1)^2+2a+1+3a-26=(a+1)^2+3(a+1)-29$ (kiểm tra: $(a+1)^2+3(a+1)-29=a^2+2a+1+3a+3-29=a^2+5a-25$, đúng). Vậy $f(x)=x^2+3x-29$.

Thực hiện phép chia đa thức: $2x^3-5x^2+8x-2=(x-1)(2x^2-3x+5)+3$, do đó $y=2x^2-3x+5+\dfrac{3}{x-1}$ (với $x\ne1$). Để $x,y$ đều nguyên, cần $x-1$ là ước của $3$, tức $x-1\in\{1,-1,3,-3\}$, suy ra $x\in\{2,0,4,-2\}$. Vậy có $4$ điểm thuộc đồ thị có tọa độ nguyên.

Tọa độ trọng tâm $G\left(\dfrac{-3+6+9}{3};\dfrac{2+4-12}{3}\right)=G(4;-2)$. Do đó $OG=\sqrt{4^2+(-2)^2}=\sqrt{20}=2\sqrt5$.

$f\left(\dfrac{2}{2-a}\right)=\dfrac{2}{2-\dfrac{2}{2-a}}=\dfrac{2}{\dfrac{2(2-a)-2}{2-a}}=\dfrac{2(2-a)}{2-2a}=\dfrac{2-a}{1-a}$. Đáp án A.

Nếu $M(x_1;y_1),N(x_2;y_2)$ thì trung điểm của $MN$ có tọa độ $\left(\dfrac{x_1+x_2}{2};\dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$. Do đó $N(9;-5)$. Đáp án D.

Nếu $P(a;b)$, $Q$ đối xứng với $P$ qua trục $Ox$ thì tọa độ của $Q$ là $(a;-b)$, tức là $Q(-6;-11)$. Đáp án C.

Hệ số góc của $d$ là $\dfrac{-1-(-19)}{2-(-4)}=\dfrac{18}{6}=3$. Đáp án D.

Ta viết lại $y=4kx-x-12k+7=k(4x-12)+(7-x)$. Để $d$ đi qua $M(x_0;y_0)$ với mọi $k$ thì $4x_0-12=0\Rightarrow x_0=3$, khi đó $y_0=7-3=4$. Vậy $M(3;4)\Rightarrow S=9+16=25$. Đáp án B.

Đặt $t=a-1\Rightarrow a=t+1$. Ta có $f(t)=(t+1)^2-3(t+1)+7=t^2+2t+1-3t-3+7=t^2-t+5$. Vậy $f(x)=x^2-x+5$. Đáp án C.

Ta có $y=3x^2-x+4+\dfrac{1}{x-1}$. Để $x,y\in\mathbb{Z}$ thì $x-1$ là ước của $1$, suy ra $x\in\{0;2\}$. Vậy có $2$ điểm thuộc đồ thị có tọa độ nguyên. Đáp án B.

$G\left(\dfrac{2-8+9}{3};\dfrac{-5+7+10}{3}\right)=G(1;4)$, do đó độ dài đoạn $OG$ bằng $\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{17}$. Đáp án A.