Chương II. Phương trình

Đặt $t=x^2$ ($t\ge 0$), ta được $t^2+321t-975=0$. Vì $1\cdot(-975)<0$ nên phương trình bậc hai này có hai nghiệm trái dấu $t_1<0$ (loại) và $t_2>0$. Với $t_2>0$ ta được $x=\pm\sqrt{t_2}$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình đã cho. Vậy phương trình có 2 nghiệm.

Phương trình đã cho có tập nghiệm là $\{1;2;3;\ldots;12\}$. Tổng các nghiệm là $1+2+\cdots+12=\dfrac{12\cdot13}{2}=78$.

Với mỗi phương trình bậc hai $x^2-Sx+\ldots=0$, tổng hai nghiệm luôn bằng $S$ (theo định lí Vi-ét), không phụ thuộc vào các tham số còn lại. Tổng các nghiệm của các phương trình A, B, C, D lần lượt là $6;\,3;\,5;\,1$. Vậy tổng lớn nhất thuộc về phương trình A.

Theo định lí Vi-ét: $x_1+x_2=-2$, $x_1x_2=-\dfrac12$. Ta có $E=x_1x_2\left(x_1^2+x_2^2\right)=x_1x_2\left[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2\right]=\left(-\dfrac12\right)\left[4-2\left(-\dfrac12\right)\right]=\left(-\dfrac12\right)\cdot5=-\dfrac52$.

Phép biến đổi A sai vì thiếu điều kiện $x\ne3$ (mẫu thức khác 0). Phép biến đổi C sai vì $\sqrt{(x-3)^2}=|x-3|$ nên còn thiếu trường hợp $x-3=-4$. Phép biến đổi D sai vì đã chia hai vế cho $x+7$ mà chưa xét trường hợp $x+7=0$. Chỉ có phép biến đổi B (khai triển trị tuyệt đối) là đúng.

Nhóm $(x+1)(x+4)=x^2+5x+4$ và $(x+2)(x+3)=x^2+5x+6$. Đặt $t=x^2+5x+5$, phương trình trở thành $(t-1)(t+1)=24 \Leftrightarrow t^2=25 \Leftrightarrow t=\pm5$. Với $t=5$: $x^2+5x+5=5 \Leftrightarrow x^2+5x=0 \Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=-5$. Với $t=-5$: $x^2+5x+10=0$ có $\Delta=25-40<0$, vô nghiệm. Vậy phương trình có hai nghiệm $x=0$ và $x=-5$, tích các nghiệm bằng $0$.

Dễ thấy $x=9$ và $x=10$ đều là nghiệm (thay vào được $0+1=1$ và $1+0=1$). Nếu $x<9$ hoặc $x>10$ thì tổng hai số hạng lớn hơn $1$. Nếu $9<x<10$ thì $0<x-9<1$ và $0<10-x<1$ nên $|x-9|^{20}<x-9$ và $|x-10|^{37}<10-x$, suy ra tổng nhỏ hơn $1$. Vậy phương trình chỉ có đúng 2 nghiệm là $x=9$ và $x=10$.

Nhân hai vế với $-3$: $33x^3+3x^2-3x+1=0 \Leftrightarrow 34x^3=x^3-3x^2+3x-1=(x-1)^3$. Suy ra $x\sqrt[3]{34}=x-1 \Leftrightarrow x\left(\sqrt[3]{34}-1\right)=-1 \Leftrightarrow x=\dfrac{-1}{\sqrt[3]{34}-1}=\dfrac{1}{1-\sqrt[3]{34}}$.

Đặt $t=x^2$ ($t\ge0$), ta được $t^2+215t-616=0$. Vì $1\cdot(-616)<0$ nên phương trình này có hai nghiệm trái dấu $t_1<0$ (loại) và $t_2>0$. Với $t_2>0$ ta được $x=\pm\sqrt{t_2}$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình đã cho. Vậy phương trình có 2 nghiệm. Đáp án A.

Phương trình đã cho có tập nghiệm là $\{2;4;6;\ldots;20\}$ (gồm 10 số hạng). Tổng các nghiệm là $2+4+\cdots+20=\dfrac{(2+20)\cdot10}{2}=110$. Đáp án B.

Dễ thấy các phương trình đã cho đều có $\Delta>0$ nên có hai nghiệm phân biệt. Tổng các nghiệm của phương trình A, B, C, D lần lượt là $10;6;-4;1$. Tổng nhỏ nhất là $-4$, ứng với phương trình C. Đáp án C.

Theo định lí Viet ta có $x_1+x_2=-2$; $x_1x_2=-\dfrac23$. Ta có $E=x_1x_2(x_1+x_2)=\left(-\dfrac23\right)\cdot(-2)=\dfrac43$. Đáp án D.

Phép biến đổi B sai vì thiếu điều kiện $x\ne2$. Phép biến đổi C sai vì thiếu trường hợp $x-4=-9$. Phép biến đổi D sai vì đã chia hai vế của phương trình cho $x+5$, làm mất nghiệm $x=-5$. Phép biến đổi A là đúng vì đây là phép tách đúng của phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. Đáp án A.

Ta có $(x+2)(x+5)\cdot(x+3)(x+4)=15\Leftrightarrow (x^2+7x+10)(x^2+7x+12)=15$. Đặt $t=x^2+7x+11$, ta được $(t-1)(t+1)=15\Leftrightarrow t^2=16\Leftrightarrow t=\pm4$. Với $t=4$: $x^2+7x+7=0$ có $\Delta=49-28=21>0$, hai nghiệm với tích bằng $7$. Với $t=-4$: $x^2+7x+15=0$ có $\Delta=49-60=-11<0$, vô nghiệm. Vậy tích các nghiệm thực của phương trình là $7$. Đáp án B.

Dễ thấy $x=6$ hoặc $x=7$ là nghiệm. Nếu $x<6$ hoặc $x>7$ thì $|x-6|\ge1$ hoặc $|x-7|\ge1$ nên $|x-6|^{18}+|x-7|^{25}>1$. Nếu $6<x<7$ thì $0<x-6<1$ và $0<7-x<1$ nên $|x-6|^{18}<x-6$ và $|x-7|^{25}<7-x$, suy ra $|x-6|^{18}+|x-7|^{25}<(x-6)+(7-x)=1$. Vậy phương trình có đúng 2 nghiệm là $x=6$ và $x=7$. Đáp án C.

Nhân hai vế với $-3$ ta được $21x^3+3x^2-3x+1=0$. Mặt khác $x^3-3x^2+3x-1-22x^3=-21x^3-3x^2+3x-1=-(21x^3+3x^2-3x+1)$ nên phương trình tương đương $x^3-3x^2+3x-1=22x^3\Leftrightarrow (x-1)^3=22x^3\Leftrightarrow x-1=x\sqrt[3]{22}\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{1-\sqrt[3]{22}}$. Đáp án D.

Điều kiện xác định: $x\ge5$. Phương trình tương đương $\sqrt{x-5}=0$ hoặc $x^2-11x+28=0$. Trường hợp 1: $x=5$ (thỏa điều kiện). Trường hợp 2: $x^2-11x+28=0 \Leftrightarrow x=4$ hoặc $x=7$; kết hợp điều kiện $x\ge5$ chỉ nhận $x=7$. Vậy phương trình có 2 nghiệm là $x=5$ và $x=7$.

Điều kiện $x>5$. Khi đó $\dfrac{\sqrt{x^2-25}}{\sqrt{x-5}}=\dfrac{\sqrt{(x-5)(x+5)}}{\sqrt{x-5}}=\sqrt{x+5}$. Phương trình trở thành $\sqrt{x+5}=3\sqrt{x+5}-8 \Leftrightarrow 2\sqrt{x+5}=8 \Leftrightarrow \sqrt{x+5}=4 \Leftrightarrow x=11$ (thỏa điều kiện). Vậy phương trình có đúng 1 nghiệm.

Ta có $\sqrt{x^2-14x+49}=\sqrt{(x-7)^2}=|x-7|=20$, suy ra $x-7=20$ (tức $x=27$) hoặc $x-7=-20$ (tức $x=-13$). Nghiệm lớn nhất là $x=27$.

Phương trình tương đương với hệ $x-5\ge0$ và $6x-x^2-5=(x-5)^2$. Từ phương trình thứ hai: $6x-x^2-5=x^2-10x+25 \Leftrightarrow 2x^2-16x+30=0 \Leftrightarrow x^2-8x+15=0 \Leftrightarrow x=3$ hoặc $x=5$. Kết hợp điều kiện $x\ge5$, chỉ nhận $x=5$. Vậy phương trình có đúng 1 nghiệm.

Điều kiện $x\ge1$. Hàm số $f(x)=\sqrt{x+3}+\sqrt{x-1}$ đồng biến trên $[1;+\infty)$ (tổng hai hàm đồng biến), mà $f(1)=\sqrt4+\sqrt0=2$ nên $x=1$ là nghiệm duy nhất của phương trình.

Lập phương hai vế: $x_0^3=(\sqrt5+2)-(\sqrt5-2)-3\sqrt[3]{(\sqrt5+2)(\sqrt5-2)}\cdot x_0=4-3x_0$. Suy ra $x_0^3+3x_0-4=0 \Leftrightarrow (x_0-1)\left(x_0^2+x_0+4\right)=0$. Vì $x_0^2+x_0+4>0$ với mọi $x_0$ nên $x_0=1$. Thay $x=1$ vào phương án A: $\sqrt{0}+\sqrt{1}=0+1=1$, đúng. Vậy $x_0$ là nghiệm của phương trình ở đáp án A.

Lập phương hai vế: $(x+36)-(x-1)-3\sqrt[3]{(x+36)(x-1)}\left[\sqrt[3]{x+36}-\sqrt[3]{x-1}\right]=1 \Leftrightarrow 37-3\sqrt[3]{(x+36)(x-1)}=1 \Leftrightarrow \sqrt[3]{(x+36)(x-1)}=12 \Leftrightarrow (x+36)(x-1)=1728$. Khai triển: $x^2+35x-36=1728 \Leftrightarrow x^2+35x-1764=0$, có $\Delta=35^2+4\cdot1764=8281=91^2$, cho $x=\dfrac{-35\pm91}{2}$, tức $x=28$ hoặc $x=-63$. Thử lại cả hai vào phương trình ban đầu đều thỏa mãn. Vậy phương trình có 2 nghiệm.

Đặt $a=\sqrt{x-2},\,b=\sqrt{y-1},\,c=\sqrt{z-4}$ ($a,b,c\ge0$), suy ra $x=a^2+2,\,y=b^2+1,\,z=c^2+4$. Phương trình trở thành $a+b+c=\dfrac12\left(a^2+b^2+c^2+7\right)-2$, tức $2a+2b+2c=a^2+b^2+c^2+3$, hay $(a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2=0$. Suy ra $a=b=c=1$, do đó $x=3,\,y=2,\,z=5$. Vậy $P=3\cdot3+2\cdot2+5=18$.

Điều kiện $x>8$, khi đó $\dfrac{\sqrt{x^2-64}}{\sqrt{x-8}}=\dfrac{\sqrt{(x-8)(x+8)}}{\sqrt{x-8}}=\sqrt{x+8}$. Phương trình trở thành $\sqrt{x+8}=4\sqrt{x+8}-15\Leftrightarrow 3\sqrt{x+8}=15\Leftrightarrow \sqrt{x+8}=5\Leftrightarrow x=17$ (thỏa mãn $x>8$). Vậy phương trình có 1 nghiệm. Đáp án A.

Ta có $\sqrt{x^2-18x+81}=\sqrt{(x-9)^2}=|x-9|=24\Leftrightarrow \begin{cases}x-9=24\Rightarrow x=33\\x-9=-24\Rightarrow x=-15\end{cases}$. Nghiệm lớn nhất là $x=33$. Đáp án B.

Phương trình tương đương với $\begin{cases}x-7\ge0\\8x-x^2-7=(x-7)^2\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x\ge7\\x^2-11x+28=0\end{cases}$. Phương trình $x^2-11x+28=0$ có hai nghiệm $x=4$ và $x=7$, kết hợp điều kiện $x\ge7$ chỉ nhận $x=7$. Vậy phương trình có 1 nghiệm. Đáp án C.

Điều kiện $x\ge3$. Xét hàm số $f(x)=\sqrt{x+5}+\sqrt{x-3}$ đồng biến trên $[3;+\infty)$ nên với mọi $x\ge3$ ta có $f(x)\ge f(3)=\sqrt8+0=2\sqrt2>2$. Do đó phương trình đã cho vô nghiệm. Đáp án D.

Đặt $a=\sqrt[3]{x+40}$, $b=\sqrt[3]{x+3}$ thì $a-b=1$ và $a^3-b^3=37$. Vì $a^3-b^3=(a-b)^3+3ab(a-b)=1+3ab$ nên $1+3ab=37\Leftrightarrow ab=12\Leftrightarrow (x+40)(x+3)=1728$. Suy ra $x^2+43x-1608=0$ có $\Delta=1849+6432=8281=91^2$, cho $x=\dfrac{-43\pm91}{2}$, tức $x=24$ hoặc $x=-67$. Thử lại, cả hai đều thỏa mãn phương trình ban đầu. Vậy phương trình có 2 nghiệm. Đáp án A.

Đặt $t=\sqrt{8-x}+\sqrt{8+x}$ ($t\ge0$, $-8\le x\le8$). Ta có $t^2=16+2\sqrt{64-x^2}\Rightarrow \sqrt{64-x^2}=\dfrac{t^2-16}{2}$. Phương trình trở thành $t+\dfrac{t^2-16}{2}=4\Leftrightarrow t^2+2t-24=0\Leftrightarrow t=4$ (nhận, do $t\ge0$) hoặc $t=-6$ (loại). Với $t=4$ ta cần $\dfrac{t^2-16}{2}=0\ge0$ (thỏa), suy ra $\sqrt{64-x^2}=0\Leftrightarrow x=\pm8$. Vậy phương trình có 2 nghiệm nguyên. Đáp án B.

Điều kiện $x\ge-31$. Hàm số $y=f(x)=\sqrt[3]{x+70}+\sqrt{x+31}$ đồng biến trên $[-31;+\infty)$. Ta có $f(-6)=\sqrt[3]{64}+\sqrt{25}=4+5=9$ nên $x=-6$ là nghiệm duy nhất của phương trình. Đáp án C.

Ta có vế trái $=\sqrt{(x-3)^2+9}+\sqrt{(x-3)^2+1}\ge3+1=4$, dấu bằng xảy ra khi $x=3$. Vế phải $=-x^2+6x-5=-(x-3)^2+4\le4$, dấu bằng xảy ra khi $x=3$. Do đó vế trái $\ge4\ge$ vế phải với mọi $x$, hai vế cùng bằng $4$ chỉ khi $x=3$. Vậy phương trình có đúng 1 nghiệm. Đáp án D.

Ta có $P=\dfrac{5(2a-1)+21}{2a-1}=5+\dfrac{21}{2a-1}$. Để $P$ nguyên thì $(2a-1)$ phải là ước của $21$, tức $2a-1\in\{\pm1;\pm3;\pm7;\pm21\}$, cho $8$ giá trị nguyên của $a$.

Ta viết lại: $(x-3)^2+(y+1)^2=0$. Vì tổng hai bình phương bằng $0$ nên $x-3=0$ và $y+1=0$, suy ra $x=3,\,y=-1$. Vậy $P=2\cdot3-3\cdot(-1)=6+3=9$.

Phương trình tương đương $(x-1)(y-1)=3$. Vì $3$ có 4 cách phân tích thành tích hai số nguyên: $1\cdot3,\,3\cdot1,\,(-1)\cdot(-3),\,(-3)\cdot(-1)$, ta được 4 cặp nghiệm $(x;y)\in\{(2;4);(4;2);(0;-2);(-2;0)\}$.

Phương trình tương đương $x(x-1)+y(y-1)=217$. Với $x,y$ nguyên, mỗi tích $x(x-1)$ và $y(y-1)$ là tích của hai số nguyên liên tiếp nên luôn là số chẵn. Do đó vế trái luôn chẵn, trong khi $217$ là số lẻ — vô lí. Vậy phương trình không có nghiệm nguyên.

Viết lại: $(2x-y)^2+x^2=169$. Vì $169=13^2=5^2+12^2$, xét các trường hợp với $x>0$: $x=5,\,|2x-y|=12\Rightarrow y=-2$(loại) hoặc $y=22$; $x=12,\,|2x-y|=5\Rightarrow y=19$ hoặc $y=29$; $x=13,\,|2x-y|=0\Rightarrow y=26$. Vậy có 4 nghiệm nguyên dương: $(5;22),(12;19),(12;29),(13;26)$.

Nhóm $(x+1)(x+4)=x^2+5x+4$, $(x+2)(x+3)=x^2+5x+6$. Đặt $t=x^2+5x+5$, ta có $y^2=(t-1)(t+1)=t^2-1$, tức $(t-y)(t+y)=1$. Vì $t,y$ nguyên nên $t-y=t+y=1$ hoặc $t-y=t+y=-1$, cho $t=1,y=0$ hoặc $t=-1,y=0$. Với $t=1$: $x^2+5x+4=0\Rightarrow x=-1$ hoặc $x=-4$. Với $t=-1$: $x^2+5x+6=0\Rightarrow x=-2$ hoặc $x=-3$. Vậy có 4 cặp nghiệm: $(-1;0),(-4;0),(-2;0),(-3;0)$.

Với $x=y=z\ne0$, mỗi số hạng $\dfrac{xy}{z}=\dfrac{zx}{y}=\dfrac{yz}{x}=x$, nên đẳng thức trở thành $3x=3\Rightarrow x=1$. Vậy $x=y=z=1$, suy ra $T=1^2+2\cdot1^2+3\cdot1^2=6$. (Các bộ $(1,-1,-1)$ và hoán vị cũng thỏa mãn đẳng thức ban đầu và đều cho cùng $T=6$.)

Xem phương trình là bậc hai ẩn $x$, biến đổi được thành $(x-y-3)(x+3y+1)=-7$. Vì $-7$ có các cách phân tích $1\times(-7),(-1)\times7,7\times(-1),(-7)\times1$, giải các hệ tương ứng ta được các cặp $(x;y)\in\{(1;-3),(-3;1),(3;1),(7;-3)\}$ (có thể kiểm tra trực tiếp cả 4 cặp đều thỏa mãn phương trình ban đầu). Tính $xy$ cho từng cặp: $-3,\,-3,\,3,\,-21$. Vậy giá trị nhỏ nhất của $xy$ là $-21$.

Ta có $P=\dfrac{4a+17}{2a-3}=2+\dfrac{23}{2a-3}$. Vì $23$ là số nguyên tố và $2a-3$ luôn là số lẻ nên $P\in\mathbb Z\Leftrightarrow 2a-3$ là ước lẻ của $23\Leftrightarrow 2a-3\in\{\pm1;\pm23\}$, cho $a\in\{2;1;13;-10\}$. Vậy có 4 giá trị nguyên của $a$. Đáp án A.

Từ giả thiết ta có $(x+4)^2+(y-2)^2=0\Leftrightarrow \begin{cases}x+4=0\\y-2=0\end{cases}\Rightarrow x=-4;y=2$. Vậy $P=3\cdot(-4)-2\cdot2=-16$. Đáp án B.

Phương trình tương đương với $x(y+2)-3(y+2)=5\Leftrightarrow (x-3)(y+2)=5$. Do $5$ là số nguyên tố nên $(x-3;y+2)\in\{(1;5);(5;1);(-1;-5);(-5;-1)\}$, tương ứng $(x;y)\in\{(4;3);(8;-1);(2;-7);(-2;-3)\}$. Vậy phương trình có 4 nghiệm nguyên. Đáp án C.

Phương trình đã cho tương đương với $x(x-1)+y(y-1)=301$. Khi $x,y\in\mathbb Z$, mỗi số $x(x-1)$ và $y(y-1)$ là tích của hai số nguyên liên tiếp nên luôn là số chẵn, do đó vế trái chia hết cho $2$. Trong khi đó $301$ là số lẻ. Vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên. Đáp án D.

Phương trình tương đương với $(x-y)^2+y^2=25$. Với $y=3$: $(x-y)^2=16\Rightarrow x-y=\pm4\Rightarrow x=7$ (nhận) hoặc $x=-1$ (loại). Với $y=4$: $(x-y)^2=9\Rightarrow x-y=\pm3\Rightarrow x=7$ hoặc $x=1$ (đều nhận). Với $y=5$: $(x-y)^2=0\Rightarrow x=5$ (nhận). Vậy các nghiệm nguyên dương là $(7;3),(7;4),(1;4),(5;5)$, tức có 4 nghiệm. Đáp án A.

Đặt $t=y^2$ ($t\ge0$), ta có $x^2=(t+2)^2-t=t^2+3t+4$. Nhân $4$ hai vế: $4x^2=4t^2+12t+16=(2t+3)^2+7\Leftrightarrow (2x-2t-3)(2x+2t+3)=7$. Vì $7$ là số nguyên tố, xét các trường hợp ta chỉ nhận được $t=0,x=\pm2$ (các trường hợp còn lại cho $t<0$, loại). Với $t=0\Rightarrow y=0$. Vậy phương trình có 2 nghiệm nguyên $(x;y)=(2;0),(-2;0)$. Đáp án B.

Phương trình tương đương với $x^2+2x+4=y^2+4y+4=(y+2)^2\Leftrightarrow (x+1)^2+3=(y+2)^2\Leftrightarrow (y+2-x-1)(y+2+x+1)=3\Leftrightarrow (y-x+1)(y+x+3)=3$. Với $x,y$ nguyên dương thì $y+x+3\ge5>3$, mà $3$ chỉ có các ước là $\pm1,\pm3$, mâu thuẫn. Vậy phương trình không có nghiệm nguyên dương. Đáp án C.

Xem phương trình là phương trình bậc hai ẩn $y$: $y^2-2x^3y+2x^6-729=0$. Ta có $\Delta^\prime=x^6-(2x^6-729)=729-x^6\ge0\Leftrightarrow x^6\le3^6\Leftrightarrow |x|\le3\Rightarrow x\in\{0;\pm1;\pm2;\pm3\}$. Với $x=0$: $\Delta^\prime=729=27^2\Rightarrow y=\pm27$ (nhận). Với $x=\pm1$: $\Delta^\prime=728$ không là số chính phương. Với $x=\pm2$: $\Delta^\prime=665$ không là số chính phương. Với $x=\pm3$: $\Delta^\prime=0\Rightarrow y=x^3$, tức $x=3\Rightarrow y=27$ và $x=-3\Rightarrow y=-27$. Vậy có 4 cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn: $(0;27),(0;-27),(3;27),(-3;-27)$. Đáp án D.

Theo định lí Vi-ét, tổng hai nghiệm $x_1+x_2=5$. Vì $x_1=1$ nên $x_2=5-1=4$.

Phương trình vô nghiệm khi $\Delta^\prime=m^2+5m-6<0 \Leftrightarrow (m-1)(m+6)<0 \Leftrightarrow -6<m<1$. Các giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn là $\{-5;-4;-3;-2;-1;0\}$, có tất cả $6$ giá trị.

Vì $1$ và $-(m^4+5)$ trái dấu với mọi $m$ nên phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu. Theo Vi-ét: $x_1+x_2=m^2-2m+17=(m-1)^2+16\ge16$. Vậy giá trị nhỏ nhất bằng $16$, đạt tại $m=1$.

Xét $x^2-7x+41=0$ có $\Delta=49-164<0$ nên vô nghiệm, do đó phương trình thứ nhất có nghiệm duy nhất $x=2$. Thay $x=2$ vào phương trình thứ hai: $4-2m+m^2-5m+8=0 \Leftrightarrow m^2-7m+12=0 \Leftrightarrow m=3$ hoặc $m=4$. Vậy có 2 giá trị của $m$.

Theo Vi-ét: $x_1+x_2=23$, $x_1x_2=-(m^2+14)$. Vậy $P=23-(m^2+14)=9-m^2\le9$. Giá trị lớn nhất $P=9$ đạt được khi $m=0$.

Theo Vi-ét: $x_1+x_2=2a-5$ và $x_1x_2=4a-14$. Từ $x_1+x_2=2a-5$ suy ra $2a=x_1+x_2+5$. Thay vào $x_1x_2=2(2a)-14=2(x_1+x_2+5)-14=2(x_1+x_2)-4$. Vậy $2(x_1+x_2)-x_1x_2=4$.

Thử $x=1$: $1-(k-4)+k-5=0$ đúng với mọi $k$, nên $x=1$ luôn là một nghiệm. Theo Vi-ét, $x_1x_2=k-5$ nên nghiệm còn lại $x_2=k-5$. Để có hai nghiệm dương phân biệt, cần $x_2>0$ và $x_2\ne x_1=1$, tức $k-5>0$ và $k-5\ne1$, hay $k>5$ và $k\ne6$.

Phương trình có vô số nghiệm khi hệ số của $x$ và hạng tử tự do đồng thời bằng $0$: $(m-2)(m^2+m)=0$ và $m(m^2-5m+6)=0$. Từ điều kiện thứ nhất: $m\in\{2;0;-1\}$. Từ điều kiện thứ hai: $m\in\{0;2;3\}$. Giá trị $m$ thỏa mãn cả hai điều kiện: $m=0$ và $m=2$. Vậy có $2$ giá trị của $m$.

Theo định lí Viet ta có $x_1+x_2=7$. Với $x_1=2\Rightarrow x_2=7-2=5$. Đáp án A.

$\Delta^\prime=(m+1)^2-(3m+7)=m^2-m-6=(m-3)(m+2)$. Phương trình vô nghiệm khi $\Delta^\prime<0\Leftrightarrow -2<m<3$. Các giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn là $-1;0;1;2$. Vậy có 4 giá trị. Đáp án B.

Do $1$ và $-(m^4+11)$ trái dấu với mọi $m$ nên phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu $x_1,x_2$. Theo định lí Viet: $x_1+x_2=m^2-6m+30=(m-3)^2+21\ge21$. Dấu bằng xảy ra khi $m=3$. Đáp án C.

Phương trình $x^2-9x+50=0$ có $\Delta=81-200=-119<0$ nên phương trình đầu có nghiệm thực duy nhất $x=3$. Thay $x=3$ vào phương trình sau: $9-3m+m^2-8m+15=0\Leftrightarrow m^2-11m+24=0\Leftrightarrow m=3$ hoặc $m=8$. Vậy có 2 giá trị của $m$. Đáp án D.

Ta có $\Delta^\prime=(m+3)^2-(6m-m^2)=2m^2+9>0$ với mọi $m$ nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. $P^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=4(m+3)^2-4(6m-m^2)=8m^2+36\ge36\Rightarrow P\ge6$. Dấu bằng xảy ra khi $m=0$. Đáp án A.

Vì (1) có tích hai nghiệm bằng $-\dfrac32<0$ và (2) có tích hai nghiệm bằng $-\dfrac23<0$ nên mỗi phương trình có hai nghiệm trái dấu, do đó $\alpha>0,\beta>0$ tồn tại duy nhất. Từ $2\alpha^2+a\alpha-3=0$, chia hai vế cho $\alpha^2$ ta được $-3\cdot\dfrac{1}{\alpha^2}+a\cdot\dfrac1\alpha+2=0$, tức $\dfrac1\alpha$ là nghiệm của (2). Vì (2) có hai nghiệm trái dấu và $\dfrac1\alpha>0$ nên $\beta=\dfrac1\alpha$. Vậy $\alpha+\beta=\alpha+\dfrac1\alpha\ge2$ theo bất đẳng thức Cô-si (dấu bằng khi $\alpha=1$, ứng với $a=1$). Đáp án B.

Ta có $x_1+x_2=-4$; $x_1x_2=\dfrac{-2m}{m^2+1}$ nên $x_1^2+x_2^2=16+\dfrac{4m}{m^2+1}$. Vì $(m-1)^2\ge0\Leftrightarrow m^2+1\ge2m$ và $(m+1)^2\ge0\Leftrightarrow m^2+1\ge-2m$ nên $-\dfrac12\le\dfrac{m}{m^2+1}\le\dfrac12$ với mọi $m$, do đó $x_1^2+x_2^2\le16+4\cdot\dfrac12=18$. Dấu bằng xảy ra khi $m=1$. Đáp án C.

Giả sử $x_0$ là nghiệm chung của hai phương trình. Trừ vế theo vế: $2x_0+a-5-(a-1)x_0-4=0\Leftrightarrow (3-a)x_0+(a-9)=0$. Thay vào phương trình đầu và rút gọn dẫn tới $(a-6)(a-5)(a+3)=0\Leftrightarrow a=6$ hoặc $a=5$ hoặc $a=-3$. Thử lại: với $a=6$ hai phương trình có nghiệm chung $x=-1$; với $a=5$ có nghiệm chung $x=-2$; với $a=-3$ có nghiệm chung $x=2$. Vậy có 3 giá trị của $a$ thỏa mãn. Đáp án D.

Điều kiện xác định: $x\ge6$. Phương trình tương đương $\sqrt{x-6}=0$ hoặc $x^2-12x+20=0$. Trường hợp 1: $x=6$ (thỏa điều kiện). Trường hợp 2: $x^2-12x+20=0 \Leftrightarrow x=2$ hoặc $x=10$; kết hợp điều kiện $x\ge6$ chỉ nhận $x=10$. Vậy phương trình có 2 nghiệm là $x=6$ và $x=10$.

Theo Vi-ét, $x_1+x_2=4321$ với mọi giá trị của $m$ (hệ số của $x$ không phụ thuộc $m$). Vậy $S=2\cdot4321=8642$. (Vì $1$ và $-(m^6+3)$ luôn trái dấu nên phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi $m$.)

Phương trình vô nghiệm khi hệ số của $x$ bằng $0$ nhưng hạng tử tự do khác $0$. Hệ số của $x$: $m^2+m-2=0 \Leftrightarrow m=1$ hoặc $m=-2$. Với $m=1$: vế phải $=1-1+2-2=0$, khi đó phương trình trở thành $0=0$ (vô số nghiệm, không phải vô nghiệm) nên loại. Với $m=-2$: vế phải $=-8-4-4-2=-18\ne0$, thỏa mãn vô nghiệm. Vậy chỉ có $1$ giá trị $m=-2$.

Điều kiện $x\ge-2$. Viết lại $\sqrt{3x+10}=2+\sqrt{x+2}$, bình phương hai vế: $3x+10=4+4\sqrt{x+2}+x+2 \Leftrightarrow 2x+4=4\sqrt{x+2} \Leftrightarrow x+2=2\sqrt{x+2}$. Đặt $t=\sqrt{x+2}\ge0$: $t^2=2t \Leftrightarrow t=0$ hoặc $t=2$. Với $t=0$: $x=-2$. Với $t=2$: $x=2$. Thử lại cả hai nghiệm vào phương trình ban đầu đều thỏa mãn. Vậy phương trình có 2 nghiệm.

Thay $x=-1$ vào phương trình: $(m-3)+2(m+1)-m-3=2m-4=0 \Rightarrow m=2$. Với $m=2$, phương trình trở thành $-x^2-6x-5=0 \Leftrightarrow x^2+6x+5=0 \Leftrightarrow (x+1)(x+5)=0$, cho $x=-1$ hoặc $x=-5$. Vậy nghiệm còn lại là $x=-5$.

Vì $\gcd(1,13)=1$ nên phương trình có vô số nghiệm nguyên, tham số hóa bởi $x=37+13y$ với $y$ nguyên tùy ý — khẳng định A đúng, D sai. Với $y=1$: $x=50$, khớp khẳng định C (đúng). Xét tính chẵn lẻ: nếu $y$ chẵn thì $x=37+13y$ lẻ; nếu $y$ lẻ thì $x$ chẵn — trong mọi trường hợp $x,y$ luôn khác tính chẵn lẻ, tức không cùng lẻ — khẳng định B đúng. Vậy khẳng định sai là D.

Viết lại: $x(x-1)+y(y+1)=37$. Với $x$ nguyên, $x(x-1)$ là tích của hai số nguyên liên tiếp nên luôn chẵn; tương tự $y(y+1)$ cũng luôn chẵn. Do đó vế trái luôn là số chẵn, không thể bằng $37$ (số lẻ). Vậy không có cặp số nguyên nào thỏa mãn.

Viết lại: $(x-y)^2+y^2=1$. Vì tổng hai số chính phương bằng $1$ nên có hai khả năng: $(x-y)^2=1,\,y^2=0$ cho $y=0,\,x=\pm1$; hoặc $(x-y)^2=0,\,y^2=1$ cho $y=\pm1,\,x=y$. Tổng hợp lại ta được 4 cặp nghiệm: $(1;0),(-1;0),(1;1),(-1;-1)$.

Điều kiện $x\ge8$. Nếu $x-8=0\Rightarrow x=8$ (thỏa mãn). Nếu $x^2-14x+24=0\Leftrightarrow x=2$ hoặc $x=12$; kết hợp điều kiện $x\ge8$ chỉ nhận $x=12$. Vậy phương trình có 2 nghiệm là $x=8$ và $x=12$. Đáp án A.

Theo định lí Viet, $x_1+x_2=2024$ với mọi $m$ (vì đây là hệ số của $x$ trong phương trình, không phụ thuộc $m$). Vậy $S=3\cdot2024=6072$. Đáp án B.

Ta có $m^2+2m-3=(m-1)(m+3)$ và $m^3+3m^2-4=(m-1)(m+2)^2$. Phương trình vô nghiệm khi hệ số của $x$ bằng $0$ nhưng vế phải khác $0$, tức $(m-1)(m+3)=0\Leftrightarrow m=1$ hoặc $m=-3$. Với $m=1$: vế phải $=(1-1)(1+2)^2=0$, phương trình trở thành $0=0$ (vô số nghiệm, loại). Với $m=-3$: vế phải $=(-3-1)(-3+2)^2=-4\ne0$, phương trình vô nghiệm (nhận). Vậy có 1 giá trị của $m$. Đáp án C.

Điều kiện $x\ge-1$. Ta có $\sqrt{5x+9}=2+\sqrt{x+1}\Rightarrow 5x+9=4+4\sqrt{x+1}+x+1\Leftrightarrow 4x+4=4\sqrt{x+1}\Leftrightarrow x+1=\sqrt{x+1}$. Đặt $u=\sqrt{x+1}\ge0$: $u^2=u\Leftrightarrow u=0$ hoặc $u=1$, tương ứng $x=-1$ hoặc $x=0$. Thử lại cả hai đều thỏa mãn phương trình ban đầu. Vậy phương trình có 2 nghiệm. Đáp án D.

Thay $x=-1$ vào phương trình: $(m-4)-2(m+2)(-1)-m-4=0\Leftrightarrow (m-4)+2(m+2)-m-4=0\Leftrightarrow 2m-4=0\Leftrightarrow m=2$. Với $m=2$, phương trình trở thành $-2x^2-8x-6=0\Leftrightarrow x^2+4x+3=0\Leftrightarrow (x+1)(x+3)=0$. Vậy nghiệm còn lại là $x=-3$. Đáp án A.

Vì $\gcd(3,11)=1$ nên phương trình có vô số nghiệm nguyên, với dạng tổng quát $x=27+11t,\ y=2+3t$ ($t\in\mathbb Z$), nên khẳng định A đúng. Với $t=0$ ta được $x=27,y=2$, thử lại $3\cdot27-11\cdot2=59$ đúng, nên khẳng định C đúng. Nếu $x,y$ cùng chẵn thì $3x-11y$ chẵn, trong khi $59$ lẻ, mâu thuẫn, nên khẳng định D đúng. Do phương trình có vô số nghiệm nguyên nên khẳng định B (chỉ có hữu hạn nghiệm) là SAI. Đáp án B.

Nhân $4$ hai vế và biến đổi ta được $(2x-3)^2+(2y+3)^2=178$. Do $2x-3$ và $2y+3$ đều là số lẻ, ta cần tìm các số lẻ $a,b$ thỏa $a^2+b^2=178$; chỉ có $13^2+3^2=178$. Xét đủ các trường hợp dấu của $(2x-3;2y+3)\in\{(\pm13;\pm3),(\pm3;\pm13)\}$ ta được 8 cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn: $(8;0),(8;-3),(-5;0),(-5;-3),(3;5),(3;-8),(0;5),(0;-8)$. Đáp án C.

Xem phương trình là phương trình bậc hai ẩn $x$: $x^2-2yx+3y^2-4=0$. Ta có $\Delta^\prime=y^2-(3y^2-4)=4-2y^2\ge0\Leftrightarrow y^2\le2\Rightarrow y\in\{-1;0;1\}$. Với $y=0$: $\Delta^\prime=4$ là số chính phương, $x=0\pm2=\pm2$ (nhận). Với $y=\pm1$: $\Delta^\prime=2$ không là số chính phương nên $x$ không nguyên. Vậy phương trình có 2 nghiệm nguyên $(x;y)=(2;0),(-2;0)$. Đáp án D.