Dạng 2: Biến đổi, rút gọn biểu thức

$E=(2a+b-4c)-(a+2b-3c)+c=2a+b-4c-a-2b+3c+c=a-b$. Đáp án B.

Biểu thức $\sqrt{(a-1)(a-3)}$ có tập xác định $a\le1$ hoặc $a\ge3$, còn $\sqrt{a-1}\cdot\sqrt{a-3}$ chỉ xác định khi $a\ge3$. Hai tập xác định khác nhau nên phép biến đổi D làm thay đổi tập xác định — đây là phép biến đổi sai. Đáp án D.

$E=\sqrt{\dfrac{64a^{10}b^{54}}{256a^{12}b^{54}}}=\sqrt{\dfrac{1}{4a^2}}=\dfrac{1}{2|a|}=\dfrac{1}{-2a}=\dfrac{-1}{2a}$ (vì $a<0$ nên $|a|=-a$). Đáp án B.

$M=\dfrac{2}{a-3}+\dfrac{a}{a-1}+\dfrac{2a}{(a-1)(a-3)}=\dfrac{2(a-1)+a(a-3)+2a}{(a-1)(a-3)}=\dfrac{a^2+a-2}{(a-1)(a-3)}=\dfrac{(a-1)(a+2)}{(a-1)(a-3)}=\dfrac{a+2}{a-3}$. Đáp án C.

$P=\dfrac{(a+1)^2-(a-1)^2}{a^2-1}:\dfrac{2-a(a+1)+(a-1)}{a^2-1}=\dfrac{4a}{a^2-1}\cdot\dfrac{a^2-1}{2-a(a+1)+a-1}=\dfrac{4a}{1-a^2}$. Đáp án C.

$A=\sqrt{(a-1)+2\sqrt{a-1}+1}-\sqrt{(a-1)+6\sqrt{a-1}+9}=\sqrt{\left(\sqrt{a-1}+1\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt{a-1}+3\right)^2}$ $=\left(\sqrt{a-1}+1\right)-\left(\sqrt{a-1}+3\right)=-2$. Đáp án A.

Đặt $\dfrac{a}{A}=\dfrac{b}{B}=\dfrac{c}{C}=k\Rightarrow a=kA,\ b=kB,\ c=kC$. $P=\sqrt{k}A+\sqrt{k}B+\sqrt{k}C-\sqrt{k(A+B+C)(A+B+C)}=\sqrt{k}(A+B+C)-\sqrt{k}(A+B+C)=0$. Đáp án C.

Ta có $1+\dfrac{1}{k^2+2k}=\dfrac{(k+1)^2}{k(k+2)}$. Do đó $$P=\dfrac{2^2}{1.3}\cdot\dfrac{3^2}{2.4}\cdots\dfrac{(n+1)^2}{n(n+2)}=\dfrac{2(n+1)}{n+2}$$ Đáp án B.

Đặt $x=a-b,\ y=b-c,\ z=c-a\Rightarrow x+y+z=0$. Khi đó $$\left(\dfrac1x+\dfrac1y+\dfrac1z\right)^2=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{2}{xyz}(x+y+z)=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}$$ $$\Rightarrow Q=\left|\dfrac1x+\dfrac1y+\dfrac1z\right|=\left|\dfrac{1}{a-b}+\dfrac{1}{b-c}+\dfrac{1}{c-a}\right|$$ Đáp án C.

Với mỗi số hạng, $\dfrac{2k+1}{[k(k+1)]^2}=\dfrac{(k+1)^2-k^2}{k^2(k+1)^2}=\dfrac{1}{k^2}-\dfrac{1}{(k+1)^2}$. Do đó $P=\left(\dfrac{1}{1^2}-\dfrac{1}{2^2}\right)+\left(\dfrac{1}{2^2}-\dfrac{1}{3^2}\right)+\ldots+\left(\dfrac{1}{n^2}-\dfrac{1}{(n+1)^2}\right)=1-\dfrac{1}{(n+1)^2}=\dfrac{n^2+2n}{(n+1)^2}$. Đáp án D.

Ta có $a^2-10a+25=(a-5)^2$ nên $\sqrt{a^2-10a+25}=|a-5|=5-a$ (do $a\le5$).
Vậy $E=(5-a)-2a+3=8-3a$. Đáp án A.

Vì $b>0$ nên $b^5>0$, do đó $\sqrt{\dfrac{81a^2}{b^{10}}}=\dfrac{9|a|}{b^5}=\dfrac{-9a}{b^5}$ (vì $a<0$ nên $|a|=-a$).
Vậy biểu thức bằng $\dfrac{-1}{3}ab^5\cdot\dfrac{-9a}{b^5}=3a^2$. Đáp án B.

Ta có $\dfrac{a}{a-1}-\dfrac{a+1}{a}=\dfrac{a^2-\left(a^2-1\right)}{a(a-1)}=\dfrac{1}{a(a-1)}$.
Tương tự $\dfrac{a}{a+1}-\dfrac{a-1}{a}=\dfrac{a^2-\left(a^2-1\right)}{a(a+1)}=\dfrac{1}{a(a+1)}$.
Vậy $E=\dfrac{1}{a(a-1)}\cdot\dfrac{a(a+1)}{1}=\dfrac{a+1}{a-1}$. Đáp án C.

Điều kiện $a\ge42$. Đặt $S=\sqrt{a+42}+\sqrt{a-42}>0$.
Ta có $\left(\sqrt{a+42}-\sqrt{a-42}\right)\left(\sqrt{a+42}+\sqrt{a-42}\right)=(a+42)-(a-42)=84$.
Suy ra $4S=84$, do đó $S=21$. Đáp án D.

Nhân hai vế với $\sqrt2$ ta được
$\sqrt2P=\sqrt{4-2\sqrt3}-\sqrt{4+2\sqrt3}=\sqrt{\left(\sqrt3-1\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt3+1\right)^2}=\left(\sqrt3-1\right)-\left(\sqrt3+1\right)=-2$.
Suy ra $P=\dfrac{-2}{\sqrt2}=-\sqrt2$.
Vì $1<\sqrt2<2$ nên $-2<-\sqrt2<-1$, tức là $-2\le P\le-1$. Đáp án B.

Ta có $x-1-2\sqrt{x-2}=(x-2)-2\sqrt{x-2}+1=\left(\sqrt{x-2}-1\right)^2$.
Vì $x>5$ nên $\sqrt{x-2}>\sqrt3>1$, do đó $\sqrt{x-1-2\sqrt{x-2}}=\left|\sqrt{x-2}-1\right|=\sqrt{x-2}-1$.
Vậy $E=\dfrac{12\left(\sqrt{x-2}-1\right)}{\sqrt{x-2}-1}=12$. Đáp án C.

Đặt $t=\sqrt a$ ($t>0,\ t\ne1$). Ta có $a+2\sqrt a+1=(t+1)^2$ và $a-1=(t-1)(t+1)$.
$M=\left[\dfrac{t+2}{(t+1)^2}-\dfrac{t-2}{(t-1)(t+1)}\right]\cdot\dfrac{t+1}{t}=\dfrac{(t+2)(t-1)-(t-2)(t+1)}{(t+1)^2(t-1)}\cdot\dfrac{t+1}{t}$.
Mà $(t+2)(t-1)-(t-2)(t+1)=\left(t^2+t-2\right)-\left(t^2-t-2\right)=2t$.
Do đó $M=\dfrac{2t}{(t+1)^2(t-1)}\cdot\dfrac{t+1}{t}=\dfrac{2}{(t+1)(t-1)}=\dfrac{2}{t^2-1}=\dfrac{2}{a-1}$. Đáp án D.

Đặt $t=\sqrt a$. Khi đó $9-a=(3-t)(3+t)$ và $a-3\sqrt a=t(t-3)$.
Ngoặc thứ nhất: $\dfrac{t}{3+t}+\dfrac{2t^2}{(3-t)(3+t)}=\dfrac{t(3-t)+2t^2}{(3-t)(3+t)}=\dfrac{t^2+3t}{(3-t)(3+t)}=\dfrac{t(t+3)}{(3-t)(3+t)}=\dfrac{t}{3-t}$.
Ngoặc thứ hai: $\dfrac{t-1}{t(t-3)}-\dfrac{2}{t}=\dfrac{(t-1)-2(t-3)}{t(t-3)}=\dfrac{5-t}{t(t-3)}$.
Do đó $Q=\dfrac{t}{3-t}\cdot\dfrac{t(t-3)}{5-t}=\dfrac{-t^2}{5-t}=\dfrac{t^2}{t-5}=\dfrac{a}{\sqrt a-5}$. Đáp án B.

Ta có $\sqrt{128}=8\sqrt2$ và $18-8\sqrt2=16-8\sqrt2+2=\left(4-\sqrt2\right)^2$ nên $\sqrt{18-\sqrt{128}}=4-\sqrt2$.
Khi đó $\sqrt2+\sqrt{12}+\left(4-\sqrt2\right)=2\sqrt3+4=\left(\sqrt3+1\right)^2$, suy ra $\sqrt{\sqrt2+\sqrt{12}+\sqrt{18-\sqrt{128}}}=\sqrt3+1$.
Vậy $Q=\sqrt{6-2\left(\sqrt3+1\right)}=\sqrt{4-2\sqrt3}=\sqrt{\left(\sqrt3-1\right)^2}=\sqrt3-1$. Đáp án A.

Từ giả thiết ta có $\dfrac{xy+yz+zx}{xyz}=\dfrac{1}{x+y+z}\Leftrightarrow(x+y+z)(xy+yz+zx)=xyz$.
Khai triển và rút gọn ta được $(x+y)(y+z)(z+x)=0$.
Nếu $x+y=0$ thì $y=-x$, suy ra $\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}=0$ nên $Q=\dfrac{1}{z^3}$; đồng thời $x^3+y^3+z^3=z^3$ nên $Q=\dfrac{1}{x^3+y^3+z^3}$.
Hai trường hợp $y+z=0$ và $z+x=0$ cho kết quả tương tự. Đáp án C.