Các bài toán về bất đẳng thức

Khẳng định I: $a+c>b+d \Leftrightarrow (a-b)+(c-d)>0$, đúng vì $a-b>0$ và $c-d>0$. Khẳng định IV: $a-d>b-c \Leftrightarrow (a-b)+(c-d)>0$, cũng đúng (cùng lý do). Khẳng định II sai, chẳng hạn $a=1,b=0,c=5,d=2$: $a-c=-4$ không lớn hơn $b-d=-2$. Khẳng định III sai, chẳng hạn $a=-1,b=-2,c=-3,d=-4$: $ac=3$ không lớn hơn $bd=8$. Vậy có $2$ khẳng định đúng (I và IV).

Khẳng định II đúng: vì $x\le-7$ và $y\le-3$ nên $x+y\le-10$. Khẳng định I sai: vì $x,y$ đều âm với $|x|\ge7,|y|\ge3$ nên $xy=|x||y|\ge21$ (không phải $\le21$). Khẳng định III sai, chẳng hạn $x=-100,y=-3$: $x-y=-97<-4$ nhưng có thể chọn $x=-7,y=-100$ thì $x-y=93$ không $\le-4$. Khẳng định IV cũng sai với cách chọn tương tự. Vậy chỉ có $1$ khẳng định đúng.

$n^2-7n-8\le0 \Leftrightarrow (n+1)(n-8)\le0 \Leftrightarrow -1\le n\le8$. Các số nguyên thỏa mãn: $n\in\{-1,0,1,\ldots,8\}$, có tất cả $10$ số.

Ta có $x^2-6x+17=(x-3)^2+8\ge8>0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$, nên khẳng định này luôn đúng. Các khẳng định khác không đúng với mọi $x$ (chẳng hạn $x=-1$ làm sai A, B, D).

Ta có $\dfrac{1}{k(k+1)}=\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}$, nên $M=\left(1-\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right)+\cdots+\left(\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}\right)=1-\dfrac{1}{100}=\dfrac{99}{100}$. Vậy $0<M<1$.

Ta có $Q=\dfrac{1}{2}\left[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right]\ge0$ với mọi $a,b,c$. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$.

Ta có $P-Q=a^4+b^4-a^3b-ab^3=a^3(a-b)-b^3(a-b)=(a-b)(a^3-b^3)=(a-b)^2(a^2+ab+b^2)$. Vì $(a-b)^2\ge0$ và $a^2+ab+b^2=\left(a+\dfrac{b}{2}\right)^2+\dfrac{3b^2}{4}\ge0$, nên $P-Q\ge0$, tức $P\ge Q$.

Giả sử $a<0$. Vì $abc>0$ nên $bc<0$. Khi đó $ab+bc+ca=a(b+c)+bc$; mặt khác từ $a+b+c>0$ và $a<0$ suy ra $b+c>-a>0$, nên $a(b+c)<0$ (vì $a<0,\ b+c>0$). Do đó $ab+bc+ca=a(b+c)+bc<0+0=0$, mâu thuẫn với giả thiết $ab+bc+ca>0$. Vậy $a\ge0$; kết hợp $abc>0$ suy ra $a\ne0$, tức $a>0$. Lập luận tương tự cho $b,c$, ta được cả ba số đều dương.

Vì $0<a<1$ nên $9-a<9<9+a$, suy ra $\sqrt{9-a}<3<\sqrt{9+a}$. Lại có $48<49<50$ nên $\sqrt{48}<7<\sqrt{50}$. Do đó $N=\sqrt{48}+\sqrt{9-a}<7+3=10$ và $M=\sqrt{50}+\sqrt{9+a}>7+3=10$. Vậy $N<10<M$. Đáp án A.

Khẳng định I sai, chẳng hạn $a=0,b=-1$: $3a=0>2b=-2$ nhưng $9a^2=0$ không lớn hơn $4b^2=4$.
Khẳng định II đúng vì hàm $f(t)=t^3$ đồng biến trên $\mathbb{R}$, nên từ $3a>2b$ suy ra $(3a)^3>(2b)^3$, tức $27a^3>8b^3$.
Khẳng định III đúng vì cộng cùng một số vào hai vế của bất đẳng thức không làm đổi chiều.
Khẳng định IV sai, chẳng hạn $a=-1,b=-10$: $5a=-5>3b=-30$ nhưng $5a^2=5$ không lớn hơn $3ab=30$.
Vậy có $2$ khẳng định đúng (II và III). Đáp án B.

Đặt $t=n-2$, bất phương trình trở thành $t^2-8t-9\le0 \Leftrightarrow (t-9)(t+1)\le0 \Leftrightarrow -1\le t\le9 \Leftrightarrow 1\le n\le11$. Vậy có $11$ số nguyên $n$ thỏa mãn. Đáp án C.

$E=(a-4)^2+4\ge4>0$ với mọi $a$.
$F=\left(a-\dfrac52\right)^2+\dfrac{11}{4}\ge\dfrac{11}{4}>0$ với mọi $a$.
$G=(a-1)(a-6)$, chẳng hạn $a=3$ thì $G=-6<0$, không thỏa mãn.
Đặt $u=a^2+3\ge3$, ta có $H=u+\dfrac{4}{u}-4$. Vì hàm $u+\dfrac4u$ đồng biến khi $u\ge2$ nên với $u\ge3$, $H\ge3+\dfrac43-4=\dfrac13>0$.
Vậy có $3$ biểu thức không âm với mọi $a$ (là $E,F,H$). Đáp án D.

Với mọi số nguyên $k\ge3$: $\dfrac{1}{k^2}<\dfrac{1}{(k-1)k}=\dfrac{1}{k-1}-\dfrac1k$. Do đó $M<\left(\dfrac12-\dfrac13\right)+\left(\dfrac13-\dfrac14\right)+\cdots+\left(\dfrac{1}{n-1}-\dfrac1n\right)=\dfrac12-\dfrac1n<\dfrac12$. Mặt khác hiển nhiên $M>0$. Vậy $0<M<\dfrac12$. Đáp án A.

Áp dụng bất đẳng thức dạng $\dfrac{x^2}{a}+\dfrac{y^2}{b}\ge\dfrac{(x+y)^2}{a+b}$ với $x=1,y=2$ ta có $\dfrac1a+\dfrac4b\ge\dfrac{9}{a+b}$ với mọi $a,b>0$, dấu bằng xảy ra khi $b=2a$. Do đó bất đẳng thức đề bài đúng với $n\le9$. Với $n=10$, chọn $a=1,b=2$: $\dfrac1a+\dfrac4b=1+2=3<\dfrac{10}{3}$, bất đẳng thức sai. Vậy $n$ lớn nhất thỏa mãn là $9$. Đáp án C.

Ta có $\dfrac{3}{(3k-2)(3k+1)}=\dfrac{1}{3k-2}-\dfrac{1}{3k+1}$ với mọi $k$ nguyên dương, nên tổng đã cho bằng $1-\dfrac{1}{3n+1}$ theo tính chất triệt tiêu liên tiếp. Điều kiện trở thành $1-\dfrac{1}{3n+1}<\dfrac{2021}{2022} \Leftrightarrow \dfrac{1}{3n+1}>\dfrac{1}{2022} \Leftrightarrow 3n+1<2022 \Leftrightarrow n<673{,}67$. Do $n$ nguyên dương nên $n\in\{1;2;\ldots;673\}$. Trong các số đó, các số chẵn là $2;4;\ldots;672$, có $336$ số. Đáp án B.

$M+N=a^2+b^2-4a-4b=(a-2)^2+(b-2)^2-8$. Đặt $x=a-2,y=b-2$ thì $x+y=a+b-4\ge4>0$. Theo bất đẳng thức Bunhiacốpxki $2(x^2+y^2)\ge(x+y)^2\ge16 \Rightarrow x^2+y^2\ge8$. Do đó $M+N\ge0$. Nếu cả $M<0$ và $N<0$ thì $M+N<0$, mâu thuẫn. Vậy $M\ge0$ hoặc $N\ge0$. Đáp án D.