Các bài toán về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

Ta có $M=x^2-6x+19=(x-3)^2+10\ge10$. Vậy $\min M=10$, đạt được khi $x=3$.

Ta có $x^2-2x+6=(x-1)^2+5\ge5$, nên $E=\dfrac{60}{(x-1)^2+5}\le\dfrac{60}{5}=12$. Vậy $\max E=12$, đạt được khi $x=1$.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với $x>0$: $x+\dfrac{16}{x}\ge2\sqrt{x\cdot\dfrac{16}{x}}=2\sqrt{16}=8$. Suy ra $Q\ge8+5=13$. Vậy $\min Q=13$, đạt được khi $x=\dfrac{16}{x} \Leftrightarrow x=4$.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si: $\sqrt{ab}\le\dfrac{a+b}{2}=2 \Rightarrow ab\le4$. Vì $ab\le4$ nên $V=\dfrac{60}{ab}\ge\dfrac{60}{4}=15$. Vậy $\min V=15$, đạt được khi $a=b=2$.

Ta có $P=(a-2)^2+9$. Với $3\le a\le5$ thì $1\le a-2\le3$, suy ra $1\le(a-2)^2\le9$, do đó $10\le P\le18$. Vậy $m=10$ (khi $a=3$), $M=18$ (khi $a=5$), nên $m+M=28$.

Ta có $M=a^2+5+\dfrac{1}{a^2}=a^2+\dfrac{1}{a^2}+5$. Áp dụng Cô-si: $a^2+\dfrac{1}{a^2}\ge2\sqrt{a^2\cdot\dfrac{1}{a^2}}=2$. Suy ra $M\ge2+5=7$. Vậy $\min M=7$, đạt được khi $a^2=\dfrac{1}{a^2} \Leftrightarrow a^4=1 \Leftrightarrow a=\pm1$.

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski: $P^2=\left(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b+3}+\sqrt{b}\cdot\sqrt{a+3}\right)^2\le(a+b)\left[(b+3)+(a+3)\right]=(a+b)(a+b+6)$. Vì $0<a+b\le2$ và hàm $t(t+6)$ đồng biến với $t>0$, ta có $(a+b)(a+b+6)\le2\cdot8=16$, suy ra $P\le4$. Vậy $\max P=4$, đạt được khi $a=b=1$.

Áp dụng Bu-nhi-a-cốp-ski hai lần. Lần 1: $1^2=(1\cdot x+1\cdot y)^2\le2(x^2+y^2) \Rightarrow x^2+y^2\ge\dfrac{1}{2}$. Lần 2: $\left(x^2+y^2\right)^2=(1\cdot x^2+1\cdot y^2)^2\le2(x^4+y^4)$, kết hợp với $x^2+y^2\ge\dfrac{1}{2}$ suy ra $\dfrac{1}{4}\le2(x^4+y^4) \Rightarrow E\ge\dfrac{1}{8}$. Vậy $\min E=\dfrac{1}{8}$, đạt được khi $x=y=\dfrac{1}{2}$.

Vì $x$ nguyên nên $x-7$ là số nguyên khác $0$. $Q=\dfrac{72}{x-7}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $x-7$ là số nguyên âm gần $0$ nhất, tức $x-7=-1 \Leftrightarrow x=6$. Khi đó $Q=\dfrac{72}{-1}=-72$. Đáp án A.

Vì $a$ nguyên nên $3a-8\ne0$. Số nguyên $a$ làm $|3a-8|$ nhỏ nhất là $a=3$ (khi đó $3a-8=1$), nên $\min|3a-8|=1$. Vậy $\max E=2025-1=2024$ khi $a=3$. Đáp án C.

Để biểu thức có giá trị lớn nhất, mỗi số hạng phải bị chặn trên. Vì $E\ge3,F\ge4$ chỉ bị chặn dưới nên $E,F$ phải xuất hiện với hệ số âm; vì $G\le5,H\le6$ chỉ bị chặn trên nên $G,H$ phải xuất hiện với hệ số dương. Chỉ có biểu thức $-E-F+G+H$ thỏa mãn cả hai điều kiện: $-E\le-3,-F\le-4,G\le5,H\le6$ nên $-E-F+G+H\le-3-4+5+6=4$, dấu bằng khi $E=3,F=4,G=5,H=6$. Các biểu thức còn lại đều chứa số hạng không bị chặn trên nên không tồn tại giá trị lớn nhất. Đáp án D.

$S=|x-4|+|x+9|\ge|(x-4)-(x+9)|=13$. Dấu bằng xảy ra khi $-9\le x\le4$. Vậy $\min S=13$. Đáp án C.

Với $-\sqrt3\le a\le\sqrt3$ thì $a+\sqrt3\ge0$, do đó $Q+2\sqrt3=2(a+\sqrt3)+\sqrt{6-2a^2}\ge0$ (tổng hai số không âm), suy ra $Q\ge-2\sqrt3$. Dấu bằng xảy ra khi $a+\sqrt3=0$ và $6-2a^2=0$, tức $a=-\sqrt3$. Vậy $\min Q=-2\sqrt3$. Đáp án B.

$ab=\dfrac{(a+b)^2-(a-b)^2}{4}=\dfrac{2601-(a-b)^2}{4}$. Vì $a+b=51$ lẻ nên $a-b$ cũng lẻ, do đó $(a-b)^2\ge1$, suy ra $ab\le\dfrac{2601-1}{4}=650$, dấu bằng khi $a=25,b=26$ (hoặc ngược lại). Vậy $\max P=650-20=630$. Đáp án D.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si: $4x+\dfrac{25}{x}\ge2\sqrt{4x\cdot\dfrac{25}{x}}=2\sqrt{100}=20$, dấu bằng khi $4x=\dfrac{25}{x}\Leftrightarrow x=\dfrac52$. Vậy $\min P=20$. Đáp án B.

$Q=(a-1)(a-10)\cdot(a-4)(a-7)=(a^2-11a+10)(a^2-11a+28)$. Đặt $t=a^2-11a+19$ (trung bình cộng của $10$ và $28$), ta có $Q=(t-9)(t+9)=t^2-81\ge-81$. Dấu bằng xảy ra khi $t=0$, tức $a^2-11a+19=0$ (phương trình có nghiệm thực vì $\Delta=121-76=45>0$). Vậy $\min Q=-81$. Đáp án A.