Bài tập tổng hợp

Ta có $M=\dfrac{7(a+3)+12}{a+3}=7+\dfrac{12}{a+3}$ (với $a\ne-3$). Để $M$ lớn nhất, cần $\dfrac{12}{a+3}$ lớn nhất với $a+3$ là số nguyên khác $0$; giá trị lớn nhất đạt được khi $a+3=1$ (ước dương nhỏ nhất của $12$), tức $a=-2$, khi đó $M=7+12=19$. Vậy $\max M=19$.

Ta có $P=(x^2-6x+9)+(4y^2+4y+1)+27-9-1=(x-3)^2+(2y+1)^2+17\ge17$. Vậy $\min P=17$, đạt được khi $x=3,\ y=-\dfrac{1}{2}$.

Ta có $E=(a-1)+\dfrac{1}{a-1}+17$. Vì $a>1$ nên $a-1>0$, áp dụng Cô-si: $(a-1)+\dfrac{1}{a-1}\ge2\sqrt{(a-1)\cdot\dfrac{1}{a-1}}=2$. Suy ra $E\ge2+17=19$. Vậy $\min E=19$, đạt được khi $a-1=1 \Leftrightarrow a=2$.

Ta có $Q=(a-1)^2+48$. Xét trên miền $a\ge3$: vì $(a-1)^2$ đồng biến với $a\ge1$, nên $(a-1)^2$ nhỏ nhất tại $a=3$: $(3-1)^2=4$. Vậy $\min Q=4+48=52$, đạt được khi $a=3$.

Xét từng biểu thức: $x^2-4x+22=(x-2)^2+18\ge18$, có GTNN bằng $18$. Trong khi đó $x^2-2x+20=(x-1)^2+19\ge19$ (GTNN là $19$); $-x^2-2x+19=-(x+1)^2+20\le20$ không có GTNN (chỉ có GTLN); $x^2-2x+18=(x-1)^2+17\ge17$ (GTNN là $17$). Vậy biểu thức có GTNN bằng $18$ là $x^2-4x+22$.

Với $a+b=1$ cố định, tổng các lũy thừa cùng bậc $a^8+b^8$ (hàm lũy thừa bậc chẵn là hàm lồi) đạt giá trị nhỏ nhất khi $a,b$ càng gần nhau càng tốt, tức khi $a=b=\dfrac{1}{2}$. Khi đó $a^8+b^8=2\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^8=\dfrac{2}{256}=\dfrac{1}{128}$. Có thể kiểm chứng đây là giá trị nhỏ nhất bằng cách xét hiệu với các giá trị $a,b$ khác (ví dụ $a\to1,b\to0$ cho tổng tiến về $1>\dfrac{1}{128}$).

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski: $\left[1\cdot(x-1)+1\cdot(y+2)\right]^2\le2\left[(x-1)^2+(y+2)^2\right]=4$. Suy ra $|x+y+1|\le2 \Leftrightarrow -2\le x+y+1\le2 \Leftrightarrow -3\le x+y\le1$. Vậy $\min(x+y)=-3$, đạt được khi $x=0,\ y=-3$ (kiểm tra: $(0-1)^2+(-3+2)^2=1+1=2$, thỏa mãn).

Nhóm cặp đối xứng: $(x+1)(x+7)=x^2+8x+7$ và $(x+3)(x+5)=x^2+8x+15$. Đặt $t=x^2+8x+11$ (số ở giữa $7$ và $15$), ta có $Q=(t-4)(t+4)=t^2-16\ge-16$. Vậy $\min Q=-16$, đạt được khi $t=0 \Leftrightarrow x^2+8x+11=0$.

$-a^2-b^2-4a+8b+10=-(a+2)^2+4-(b-4)^2+16+10=-(a+2)^2-(b-4)^2+30\le30$. Dấu bằng khi $a=-2,b=4$. Vậy $M=30$. Đáp án A.

Ta có $\dfrac{3x-11}{x-5}=\dfrac{3(x-5)+4}{x-5}=3+\dfrac{4}{x-5}$. Vì $x$ nguyên nên $x-5$ nguyên khác $0$; biểu thức đạt giá trị lớn nhất khi $x-5=1$ (tức $x=6$), khi đó $M=3+4=7$; đạt giá trị nhỏ nhất khi $x-5=-1$ (tức $x=4$), khi đó $m=3-4=-1$. Vậy $m+M=6$. Đáp án C.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si: $xy\le\left(\dfrac{x+y}{2}\right)^2=\dfrac94$, suy ra $M=\dfrac{45}{xy}\ge\dfrac{45}{9/4}=20$, dấu bằng khi $x=y=\dfrac32$. Vậy $\min M=20$. Đáp án B.

$M=(x+2)^2+(x-6)^2+9=2x^2-8x+40+9=2(x-2)^2+41\ge41$, dấu bằng khi $x=2$. Vậy $\min M=41$. Đáp án D.

$x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)=27-9xy$ (do $x+y=3$), nên $Q=27-9xy+3xy+20=47-6xy$. Vì $xy\le\left(\dfrac{x+y}{2}\right)^2=\dfrac94$ với mọi $x,y$ thực nên $Q\ge47-6\cdot\dfrac94=47-\dfrac{27}{2}=\dfrac{67}{2}$, dấu bằng khi $x=y=\dfrac32$. Vậy $\min Q=\dfrac{67}{2}$. Đáp án C.

Đặt $t=a^2-4a+14=(a-2)^2+10\ge10$. Ta có $a^2-4a+50=t+36$, do đó $Q=\dfrac{t+36}{t}=1+\dfrac{36}{t}$. Vì $t\ge10$ nên $Q\le1+\dfrac{36}{10}=\dfrac{23}{5}$, dấu bằng khi $t=10$, tức $a=2$. Vậy $\max Q=\dfrac{23}{5}$. Đáp án B.

Đặt $u=x^2-4x$. Ta có $u^2-16u=x^4-8x^3+64x$ (vì $u^2=x^4-8x^3+16x^2$ và $-16u=-16x^2+64x$, cộng lại được $x^4-8x^3+64x$). Do đó $E=u^2-16u+104=(u-8)^2+40\ge40$. Vì $u=(x-2)^2-4\ge-4$ và giá trị $u=8$ đạt được (nghiệm của $x^2-4x-8=0$ có $\Delta=48>0$), nên $\min E=40$. Đáp án A.

Đặt $t=a^2-2a$. Ta có $K=|t+3|+|t-4|\ge|(t+3)-(t-4)|=7$, dấu bằng khi $-3\le t\le4$. Vì $t=(a-1)^2-1\ge-1$, nên chọn $t=-1$ (khi $a=1$) thỏa mãn $-3\le-1\le4$. Vậy $\min K=7$. Đáp án D.