Bài tập tổng hợp

$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{18^2+24^2}=\sqrt{900}=30cm$. Vì $AM$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên $AM=\dfrac{1}{2}BC=15cm$.

Áp dụng công thức góc tạo bởi hai đường phân giác trong tại $B, C$: $\widehat{BIC}=90°+\dfrac{\widehat{A}}{2}=90°+\dfrac{62°}{2}=90°+31°=121°$.

$S_{MNP}=\dfrac{1}{2}MN.MP=\dfrac{1}{2}.24.30=360cm^2$. Trọng tâm $G$ chia $\triangle MNP$ thành ba tam giác $MNG, NPG, PMG$ có diện tích bằng nhau, mỗi tam giác bằng $\dfrac{1}{3}S_{MNP}$. Vậy $S_{NGP}=\dfrac{360}{3}=120cm^2$.

Với bộ số $15;17;33$ ta có $15+17=32<33$, vi phạm bất đẳng thức tam giác. Các bộ số còn lại đều thỏa mãn (tổng hai cạnh nhỏ lớn hơn cạnh lớn nhất).

Vì $E$ đối xứng với $H$ qua đường thẳng $AB$ và $A$ nằm trên $AB$ nên $AE=AH$ (phép đối xứng trục giữ nguyên khoảng cách từ một điểm trên trục đến ảnh và tạo ảnh). Tương tự, $F$ đối xứng với $H$ qua $AC$ và $A\in AC$ nên $AF=AH$. Vậy $AE=AF=AH$, suy ra $\dfrac{AE}{AF}=1$.

$M=\sin^4\alpha+\cos^4\alpha=(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)^2-2\sin^2\alpha\cos^2\alpha=1-2\sin^2\alpha\cos^2\alpha$ (vì $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$).

Áp dụng hệ thức lượng: $AH^2=BH.CH\Rightarrow 16^2=8.CH\Rightarrow CH=32cm$. Vậy $BC=BH+CH=8+32=40cm$.

Xét phép quay tâm $A$ góc $90°$ biến $B$ thành $D$ (do $ABCD$ là hình vuông nên $AB=AD, \widehat{BAD}=90°$); phép quay này biến tia $AM$ (với $M$ trên $BC$) thành một tia xuất phát từ $A$ vuông góc với $AM$ (đúng bằng tia $AN$) và biến $M$ thành một điểm trên đường thẳng $CD$, chính là $N$ (vì góc và khoảng cách được bảo toàn, đưa cạnh $BC$ về đường thẳng chứa $CD$). Do phép quay bảo toàn độ dài nên $AM=AN$, suy ra $\dfrac{AM}{AN}=1$.

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $AB^2+AC^2=BC^2$, do đó vế phải bằng $1$. Phương trình trở thành $m^2-10m=1\Leftrightarrow m^2-10m-1=0$, có $\Delta=100+4=104>0$ nên phương trình có $2$ giá trị $m$ phân biệt thỏa mãn. Đáp án C.

Gọi $a, b$ là các kích thước của hình chữ nhật, $ab=324$. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si: $a+b\ge 2\sqrt{ab}=2\sqrt{324}=36$, suy ra chu vi $=2\left(a+b\right)\ge 72cm$. Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=18cm$. Đáp án B.

Vì $\widehat B=30°$ nên cạnh đối diện $AC=\dfrac12 BC\Rightarrow BC=2AC\Rightarrow a^2+17=2\left(4a+1\right)=8a+2\Leftrightarrow a^2-8a+15=0\Leftrightarrow \left(a-3\right)\left(a-5\right)=0\Rightarrow a=3$ hoặc $a=5$. Cả hai giá trị đều cho $AC, BC$ dương và thỏa mãn $BC=2AC$. Vậy có $2$ giá trị của $a$. Đáp án C.

Vì $\dfrac{OM}{AM}=\dfrac{S_{\triangle OBC}}{S_{\triangle ABC}}$, $\dfrac{ON}{BN}=\dfrac{S_{\triangle OCA}}{S_{\triangle ABC}}$, $\dfrac{OP}{CP}=\dfrac{S_{\triangle OAB}}{S_{\triangle ABC}}$ (các cặp tam giác có chung đáy nên tỉ số diện tích bằng tỉ số chiều cao) nên cộng từng vế được $\dfrac{OM}{AM}+\dfrac{ON}{BN}+\dfrac{OP}{CP}=\dfrac{S_{OBC}+S_{OCA}+S_{OAB}}{S_{ABC}}=1$. Đáp án D.

Hạ $BH\perp CD$. Trong tam giác vuông $BHC$: $BH=BC.\sin60°=10.\dfrac{\sqrt3}{2}=5\sqrt3\,cm$, $CH=BC.\cos60°=5cm$. Vì $ABCD$ là hình thang cân nên $CD=AB+2CH=10+2.5=20cm$. Diện tích $S=\dfrac{\left(AB+CD\right).BH}{2}=\dfrac{\left(10+20\right).5\sqrt3}{2}=75\sqrt3\,cm^2$. Đáp án A.

Ta có $9^2+12^2=81+144=225=15^2$ nên tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Khi đó $BH=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{81}{15}=5,4cm$, $CH=\dfrac{AC^2}{BC}=\dfrac{144}{15}=9,6cm$. Vậy $CH-BH=9,6-5,4=4,2cm$. Đáp án B.

Vì $\widehat A=90°$ nên trong tam giác vuông $ABD$: $BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{36a^2+64a^2}=10a$. Vì $AB\parallel DC$ (cùng vuông góc với $AD$) nên $\widehat{ABD}=\widehat{BDC}$ (so le trong). Kết hợp với $\widehat{BAD}=\widehat{DBC}=90°$ suy ra $\triangle ABD\backsim\triangle BDC\ (g.g)$, do đó $\dfrac{BC}{AD}=\dfrac{BD}{AB}\Rightarrow BC=\dfrac{AD.BD}{AB}=\dfrac{8a.10a}{6a}=\dfrac{40a}{3}$. Đáp án D.

Vì $\cos\alpha\ne0$ nên chia cả tử và mẫu cho $\cos\alpha$: $Q=\dfrac{3\tan\alpha+4}{5-2\tan\alpha}=\dfrac{3.2+4}{5-2.2}=\dfrac{10}{1}=10$. Đáp án C.