Vị trí tương đối và tiếp tuyến của đường tròn

Hai đường tròn tiếp xúc ngoài luôn có đúng $3$ tiếp tuyến chung: hai tiếp tuyến chung ngoài và một tiếp tuyến chung tại tiếp điểm $I$ (vuông góc với đoạn nối tâm tại $I$).

Khi $(O),(O_2)$ ở ngoài nhau thì số tiếp tuyến chung của chúng là $4$ — nhiều nhất trong các trường hợp. Tiếp xúc ngoài có $3$, cắt nhau tại $2$ điểm có $2$, tiếp xúc trong có $1$ tiếp tuyến chung.

Theo hệ thức lượng (phương tích của điểm $M$): $MT^2=MA.MB=4.9=36\Rightarrow MT=6cm$.

Ta có $R_2-R=8-3=5cm>OO_2=2cm$, tức $OO_2<|R_2-R|$, nên $(O)$ nằm hoàn toàn trong $(O_2)$ mà không tiếp xúc — hai đường tròn đựng nhau.

Số tiếp tuyến chung của hai đường tròn là: $4$ (ở ngoài nhau), $3$ (tiếp xúc ngoài), $2$ (cắt nhau), $1$ (tiếp xúc trong), $0$ (đựng nhau). Có duy nhất $1$ tiếp tuyến chung ứng với trường hợp tiếp xúc trong.

Theo hệ thức lượng trong đường tròn: $MT^2=MA.MB\Leftrightarrow 3600=90.MB\Rightarrow MB=40cm$.

Vì $P\in(O)$ nằm trên đoạn $OO_2$ nên $OP=12cm$; vì $Q\in(O_2)$ nằm trên đoạn $OO_2$ nên $O_2Q=15cm$. Theo cách sắp xếp các điểm trên đoạn $OO_2$ (với $P, Q$ nằm giữa $O$ và $O_2$): $OO_2=OP+PQ+QO_2 - 2PQ$, hay đơn giản hơn $PQ=OP+O_2Q-OO_2=12+15-23=4cm$.

Gọi $I$ là tiếp điểm của $d$ với $(O;R)$, ta có $OI\perp d$ và $OI=R$. Vì $OI\perp PQ$ nên $I$ là trung điểm $PQ$. Xét tam giác vuông $OIP$: $IP=\sqrt{OP^2-OI^2}=\sqrt{(2R)^2-R^2}=R\sqrt{3}$. Vậy $PQ=2IP=2R\sqrt{3}$.

Tứ giác $OAIB$ có $\widehat{OAI}=\widehat{OBI}=90°$ (tiếp tuyến vuông góc bán kính) và $\widehat{AOB}=90°$ nên $OAIB$ là hình chữ nhật; lại có $IA=IB$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên $OAIB$ là hình vuông cạnh $R=7cm$. Vậy $OI=7\sqrt{2}cm$ (đường chéo hình vuông). Đáp án B.

Vì $OA=OM=R$ và $OE$ là phân giác $\widehat{AOM}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên $OE\perp AM$ tại trung điểm $P$ của $AM$. Tương tự $OF\perp BM$ tại trung điểm $Q$ của $BM$. Khi đó tứ giác $PMQO$ có ba góc vuông tại $P, M, Q$ nên là hình chữ nhật, suy ra $PQ=OM=R=9cm$. Đáp án A.

Ta có $R-R_2=20-8=12=OO_2$ nên $(O)$ và $(O_2)$ tiếp xúc trong với nhau. Đáp án C.

$(O),(O_2)$ ở ngoài nhau khi $OO_2>R+10$, tức là $15>R+10\Rightarrow R<5$. Kết hợp $R>0$ ta được $0<R<5$. Đáp án D.

Tam giác $OTM$ vuông tại $T$ (vì $MT$ là tiếp tuyến), có $\widehat{OMT}=45°$ nên tam giác $OTM$ vuông cân tại $T$. Suy ra $OM=OT\sqrt{2}=9\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=18cm$. Đáp án A.

$AM=BM=\sqrt{OM^2-OA^2}=\sqrt{15^2-9^2}=12cm$. Vì $EA=EI, FB=FI$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên chu vi $\triangle MEF=ME+EF+FM=(ME+EA)+(MF+FB)=MA+MB=24cm$. Đáp án B.

Vì $OO_2=OP+OQ-PQ$ (đoạn $OP, OQ$ chồng lên nhau một đoạn $PQ$) nên $PQ=OP+OQ-OO_2=9+12-15=6cm$. Đáp án D.

Gọi $H$ là tiếp điểm của $d$ với đường tròn bán kính $5cm$, ta có $OH\perp d$ và $OH=5cm$. Trong tam giác vuông $OHP$ (với $OP=13cm$): $HP=\sqrt{OP^2-OH^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12cm$. Vì $H$ là trung điểm $PQ$ nên $PQ=2HP=24cm$. Đáp án C.