Hệ thức lượng và cực trị liên quan đến đường tròn

Gọi $H$ là trung điểm cạnh $BC$, đường cao $AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$. Tâm đường tròn nội tiếp $O$ (đồng thời là trọng tâm) thỏa $OH=\dfrac{1}{3}AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$, đây chính là bán kính $r$ của đường tròn nội tiếp. Diện tích hình tròn nội tiếp là $\pi r^2=\pi\left(\dfrac{a\sqrt{3}}{6}\right)^2=\dfrac{\pi a^2}{12}$.

Hạ $OK\perp MN$, ta có $OK\le OH$, dấu "=" xảy ra khi $MN\perp OH$ tại $H$ — đây cũng là lúc $OK$ lớn nhất nên $MN$ nhỏ nhất. Khi đó $OK=OH=8cm$, nửa dây $=\sqrt{OM^2-OK^2}=\sqrt{100-64}=6cm$, vậy $MN$ nhỏ nhất bằng $12cm$.

Vì $EA, EC$ là hai tiếp tuyến từ $E$ nên $EA=EC$; tương tự $FB=FC$. Mặt khác $\widehat{EOF}=90°$ (do $OE, OF$ lần lượt là phân giác của hai góc kề bù $\widehat{AOC}, \widehat{COB}$) nên trong tam giác vuông $EOF$, $OC$ là đường cao ứng với cạnh huyền $EF$, suy ra $OC^2=EC.CF=EA.FB$. Vậy $AE.BF=OC^2=12^2=144$.

Đối với tam giác vuông, bán kính đường tròn nội tiếp thỏa $2r=MN+MP-NP$ (tổng hai cạnh góc vuông trừ cạnh huyền). Do đó $\dfrac{MN+MP-NP}{r}=2$.

Diện tích phần nằm giữa hai đường tròn đồng tâm bằng hiệu diện tích hai hình tròn: $\pi R^2-\pi r^2=\pi(R^2-r^2)$.

Vì $M$ thuộc nửa đường tròn đường kính $AB$ nên $\widehat{AMB}=90°$, suy ra $MA^2+MB^2=AB^2=4R^2$. Theo bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski: $(3MA+4MB)^2\le(3^2+4^2)(MA^2+MB^2)=25.4R^2=100R^2$, suy ra $3MA+4MB\le10R$.

Vì $C$ thuộc nửa đường tròn đường kính $AB$ nên tam giác $ABC$ vuông tại $C$. Bán kính đường tròn nội tiếp: $2r=CA+CB-AB=35-25=10\Rightarrow r=5cm$.

Gọi $A$ là điểm chính giữa cung lớn $BC$, khi đó tam giác $ABC$ đều (vì cung nhỏ $BC=120°$ nên $AB=AC=BC$, đều chắn cung $120°$). Theo định lí Ptô-lê-mê cho tứ giác nội tiếp $ABMC$: $MA=MB+MC$. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si: $\dfrac{1}{MB}+\dfrac{1}{MC}\ge\dfrac{2}{\sqrt{MB.MC}}\ge\dfrac{4}{MB+MC}=\dfrac{4}{MA}\ge\dfrac{4}{2R}=\dfrac{2}{R}$ (vì $MA$ là một dây cung nên $MA\le2R$). Vậy GTNN của $P$ là $\dfrac{2}{R}$.

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh $a$ là $r=\dfrac{a}{2\sqrt{3}}$. Với $a=6cm$: $r=\dfrac{6}{2\sqrt{3}}=\sqrt{3}cm$. Diện tích hình tròn nội tiếp là $\pi r^2=\pi\cdot3=3\pi cm^2$. Đáp án A.

Hạ $OK\perp MN$ thì $OK\le OI$, do đó $MN=2\sqrt{R^2-OK^2}$ nhỏ nhất khi $OK$ lớn nhất, tức $OK=OI=5cm$ (khi $MN\perp OI$). Khi đó $MN=2\sqrt{13^2-5^2}=2\cdot12=24cm$. Đáp án B.

$OC$ là đường cao của tam giác vuông $EOF$ (vì $OE, OF$ lần lượt là phân giác hai góc kề bù nên $\widehat{EOF}=90°$). Do đó $AE.BF=CE.CF=OC^2=15^2=225$. Đáp án C.

Với tam giác vuông tại $A$ ta có $2r=AB+AC-BC\Rightarrow AB+AC=2r+BC=10+26=36cm$. Chu vi tam giác $ABC=AB+AC+BC=36+26=62cm$. Đáp án D.

Diện tích hình vành khăn bằng $\pi\cdot15^2-\pi\cdot9^2=\pi(225-81)=144\pi cm^2$. Đáp án A.

Vì $M$ thuộc nửa đường tròn đường kính $AB$ nên $\widehat{AMB}=90°$, suy ra $MA^2+MB^2=AB^2=4R^2$. Theo bất đẳng thức Bunhiacốpxki: $(5MA+12MB)^2\le(5^2+12^2)(MA^2+MB^2)=169\cdot4R^2=676R^2\Rightarrow 5MA+12MB\le26R$. Đáp án B.

Tam giác $ABC$ vuông tại $C$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên $2r=CA+CB-AB=51-39=12\Rightarrow r=6cm$. Đáp án C.

$S_{MIN}=\dfrac{1}{2}IM.IN.\sin\widehat{MIN}\le\dfrac{1}{2}IM.IN=\dfrac{1}{2}\left(6\sqrt{2}\right)^2=\dfrac{1}{2}\cdot72=36cm^2$, dấu bằng xảy ra khi $\widehat{MIN}=90°$. Đáp án D.