Bài tập tổng hợp

Đường tròn có duy nhất một tâm đối xứng là chính tâm $O$ của nó.

Một đa giác đều bất kì (trong đó có lục giác đều) luôn nội tiếp được trong một đường tròn. Ngược lại, hình thang chỉ nội tiếp được khi là hình thang cân, hình bình hành chỉ nội tiếp được khi là hình chữ nhật, và hình thoi chỉ nội tiếp được khi là hình vuông — tức không phải mọi hình thuộc các loại này đều nội tiếp được.

Ta có $R+R_2=42cm, |R_2-R|=6cm$. Vì $6<30<42$ nên $|R_2-R|<OO_2<R+R_2$, do đó $(O),(O_2)$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

Điều kiện để hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt là $|R-8|<OO_2<R+8$, tức $|R-8|<20<R+8$. Từ $20<R+8$ ta có $R>12$; từ $|R-8|<20$ ta có $-20<R-8<20\Rightarrow R<28$ (kết hợp $R>12>0$ nên vế trái luôn đúng). Vậy $12<R<28$.

Vì $AB$ là đường kính nên tam giác $AMB$ vuông tại $M$, $MK$ là đường cao ứng với cạnh huyền. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: (1) đúng ($MK^2=AK.BK$), (2) đúng ($MB^2=BK.BA$), (3) đúng ($\dfrac{1}{MK^2}=\dfrac{1}{MA^2}+\dfrac{1}{MB^2}$). Khẳng định (4) sai vì hệ thức đúng phải là dạng bình phương như ở (3), không phải dạng bậc nhất. Vậy có $3$ khẳng định đúng.

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $C$ nên $AB$ là đường kính của $(O)$, tức $O$ là trung điểm $AB$. Vì $D$ là điểm chính giữa cung nhỏ $BC$ nên $OD\perp BC$ tại trung điểm của $BC$, tức $I$ là trung điểm $BC$. Khi đó $OI$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ (nối trung điểm $AB$ và $BC$), song song và bằng nửa $AC$: $\dfrac{OI}{AC}=\dfrac{1}{2}$.

Mỗi cạnh của lục giác đều cùng với tâm $O$ tạo thành một tam giác đều cạnh $R$ (vì góc ở tâm chắn mỗi cạnh bằng $60°$ và hai cạnh bên bằng $R$). Khoảng cách từ $O$ đến cạnh chính là đường cao của tam giác đều cạnh $R$, bằng $\dfrac{R\sqrt{3}}{2}$.

Ta có $MN^2+MP^2=16^2+12^2=400=20^2=NP^2$ nên tam giác $MNP$ vuông tại $M$. Bán kính đường tròn nội tiếp: $2r=MN+MP-NP=16+12-20=8\Rightarrow r=4cm$.

Mọi đường thẳng đi qua tâm $O$ đều là trục đối xứng của đường tròn nên đường tròn có vô số trục đối xứng. Đáp án A.

Một đường thẳng cắt một đường tròn tại nhiều nhất $2$ điểm. Hình bình hành có $4$ cạnh nên đường tròn cắt các cạnh của nó tại nhiều nhất $4\cdot2=8$ điểm. Đáp án B.

Ta có $R_2-R=31<OO_2=41<R+R_2=49$ nên $(O),(O_2)$ cắt nhau tại $2$ điểm phân biệt. Đáp án C.

$(O),(O_2)$ tiếp xúc ngoài khi $OO_2=R+12$, tức $15=R+12\Rightarrow R=3cm$. Đáp án D.

Vì $\widehat{AMB}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên $(2)$ đúng (định lí Pytago). Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $AMB$ với đường cao $MK$: $(1)$ $MA^2=AK.AB$ đúng; $(3)$ $MK.AB=MA.MB$ đúng (cùng bằng hai lần diện tích tam giác $AMB$). Khẳng định $(4)$ sai vì $MK^2=AK.KB$ chứ không phải $MA^2+MB^2$. Vậy có $3$ khẳng định đúng. Đáp án A.

Bán kính $R=13cm$. Hạ $OH\perp AB$ tại $H$ thì $H$ là trung điểm $AB$ nên $HA=12cm$. Trong tam giác vuông $OHA$: $OH=\sqrt{OA^2-HA^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5cm$. Đáp án B.

Cạnh lục giác đều nội tiếp bằng bán kính $R=10cm$ nên tam giác $OAB$ (với $A,B$ là hai đỉnh liên tiếp) đều cạnh $10cm$. Khoảng cách từ $O$ đến cạnh $AB$ là đường cao của tam giác đều đó: $\dfrac{10\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}cm$. Đáp án C.

Nửa chu vi $p=\dfrac{13+14+15}{2}=21cm$. Diện tích $S=\sqrt{p(p-MN)(p-MP)(p-NP)}=\sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6}=\sqrt{7056}=84cm^2$. Bán kính nội tiếp $r=\dfrac{S}{p}=\dfrac{84}{21}=4cm$. Đáp án D.