Chương III. Hệ phương trình

Từ phương trình thứ nhất: $y=23-5x$. Thay vào phương trình thứ hai: $x-6(23-5x)=17 \Leftrightarrow x-138+30x=17 \Leftrightarrow 31x=155 \Leftrightarrow x=5$. Suy ra $y=23-25=-2$. Vậy $x_0+y_0=5+(-2)=3$.

Từ phương trình thứ nhất: $x=8-3y$. Thay vào phương trình thứ hai: $2(8-3y)-7y=-23 \Leftrightarrow 16-6y-7y=-23 \Leftrightarrow -13y=-39 \Leftrightarrow y=3$. Suy ra $x=8-9=-1$. Vậy $x=-1,\ y=3$.

Từ phương trình thứ nhất: $a+b=\dfrac{2}{3} \Rightarrow a=\dfrac{2}{3}-b$. Thay vào phương trình thứ hai: $11\left(\dfrac{2}{3}-b\right)+6b=4 \Leftrightarrow \dfrac{22}{3}-11b+6b=4 \Leftrightarrow -5b=4-\dfrac{22}{3}=-\dfrac{10}{3} \Leftrightarrow b=\dfrac{2}{3}$. Suy ra $a=\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{3}=0$. Vậy $P=19\cdot 0\cdot\dfrac{2}{3}=0$.

Đặt $\dfrac{a}{2}=\dfrac{b}{5}=\dfrac{a+b}{2+5}=\dfrac{21}{7}=3$. Suy ra $a=6,\ b=15$. Vậy $a-b=6-15=-9$.

Gọi $x,y$ (đồng, $x,y>0$) lần lượt là giá tiền một quyển vở và một chiếc bút. Theo đề bài ta có hệ $\begin{cases}2x+y=13\,000\\ 3x+2y=21\,000\end{cases}$. Từ phương trình đầu: $y=13\,000-2x$. Thay vào phương trình sau: $3x+2(13\,000-2x)=21\,000 \Leftrightarrow 3x+26\,000-4x=21\,000 \Leftrightarrow -x=-5\,000 \Leftrightarrow x=5\,000$. Vậy giá một quyển vở là $5\,000$ đồng.

Cộng từng vế ba phương trình: $2(x+y+z)=(x+y+z)+6 \Rightarrow x+y+z=6$. Từ phương trình thứ nhất $x+y=z$ nên $z+z=6 \Rightarrow z_0=3$. Từ phương trình thứ hai $y+z=x+4$ và $z=3$ ta có $y+3=x+4 \Rightarrow y=x+1$. Kết hợp $x+y=z=3$: $x+(x+1)=3 \Rightarrow x_0=1,\ y_0=2$. Vậy $P=3(1)+4(2)+5(3)=3+8+15=26$.

Đặt $u=|x|\ge0,\ v=|y|\ge0$, ta được hệ $\begin{cases}u+3v=18\\ 4u-v=7\end{cases}$. Từ phương trình sau: $v=4u-7$. Thay vào phương trình đầu: $u+3(4u-7)=18 \Leftrightarrow 13u=39 \Leftrightarrow u=3 \Rightarrow v=5$. Vậy $|x|=3,\ |y|=5$, cho ta $4$ nghiệm $(x;y) \in \{(3;5),(3;-5),(-3;5),(-3;-5)\}$.

Từ giả thiết: $\dfrac{a-15}{5}=\dfrac{b-30}{10}=\dfrac{c-21}{7} \Leftrightarrow \dfrac{a}{5}-3=\dfrac{b}{10}-3=\dfrac{c}{7}-3 \Leftrightarrow \dfrac{a}{5}=\dfrac{b}{10}=\dfrac{c}{7}=k$. Suy ra $a=5k,\ b=10k,\ c=7k$. Thay vào $abc=350$: $5k\cdot10k\cdot7k=350 \Leftrightarrow 350k^3=350 \Leftrightarrow k=1$. Vậy $a=5,\ b=10,\ c=7$, do đó $2a+b+c=10+10+7=27$.

Đặt $u=\dfrac{1}{x},v=\dfrac{1}{y}$, ta có $\begin{cases}u+v=\dfrac{1}{4}\\ 3u+2v=\dfrac{7}{10}\end{cases}$. Từ phương trình thứ nhất $v=\dfrac{1}{4}-u$, thay vào phương trình thứ hai: $3u+2\left(\dfrac{1}{4}-u\right)=\dfrac{7}{10} \Leftrightarrow u+\dfrac{1}{2}=\dfrac{7}{10} \Leftrightarrow u=\dfrac{1}{5}$, suy ra $v=\dfrac{1}{20}$. Do đó $x=5,y=20$. Vậy $x+y=25$. Đáp án A.

Đặt $k=\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{a}$, ta có $a=kb,\ b=kc,\ c=ka$, suy ra $a=k(kc)=k^2c=k^2(ka)=k^3a$. Vì $a\ne0$ nên $k^3=1 \Rightarrow k=1$ (do $k$ là số thực). Suy ra $a=b=c\ne0$. Khi đó $M=\dfrac{5a+6a+7a}{2a+3a+a}=\dfrac{18a}{6a}=3$. Đáp án B.

Gọi $x,y$ (cây, $x,y>0$) lần lượt là số cây đội I, đội II dự định trồng theo kế hoạch. Ta có $\begin{cases}x+y=110\\ 1{,}1x+1{,}2y=125\end{cases}$. Từ phương trình đầu $x=110-y$, thay vào phương trình sau: $1{,}1(110-y)+1{,}2y=125 \Leftrightarrow 121+0{,}1y=125 \Leftrightarrow y=40$, suy ra $x=70$. Vậy đội I dự định trồng $70$ cây. Đáp án C.

Gọi $x,y$ ($x,y\in\mathbb{N}^*$) lần lượt là số vé người lớn, vé trẻ em đã mua. Ta có $\begin{cases}x+y=10\\ 90\,000x+60\,000y=780\,000\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x+y=10\\ 3x+2y=26\end{cases}$. Từ đó $x=6,y=4$. Vậy nhóm khách mua $6$ vé người lớn. Đáp án D.

Từ $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{9} \Rightarrow \dfrac{ab+bc+ca}{abc}=\dfrac{1}{9} \Rightarrow 9(ab+bc+ca)=abc$. Ta có $(a-9)(b-9)(c-9)=abc-9(ab+bc+ca)+81(a+b+c)-729=\left[abc-9(ab+bc+ca)\right]+81\cdot9-729=0+729-729=0$. Đáp án A.

Từ phương trình thứ nhất: $x=\dfrac{7-5y}{2}$. Thay vào phương trình thứ hai: $3\cdot\dfrac{7-5y}{2}-2y=-18 \Leftrightarrow 21-15y-4y=-36 \Leftrightarrow -19y=-57 \Leftrightarrow y=3$. Suy ra $x=\dfrac{7-15}{2}=-4$. Vậy $x=-4,\ y=3$. Đáp án B.

Đặt $\dfrac{a}{3}=\dfrac{b}{8}=\dfrac{c}{5}=k \Rightarrow a=3k,\ b=8k,\ c=5k$. Từ $2a+3b-c=50 \Rightarrow 6k+24k-5k=50 \Leftrightarrow 25k=50 \Leftrightarrow k=2$. Suy ra $a=6,\ b=16,\ c=10$. Vậy $S=3a-2b+c=18-32+10=-4$. Đáp án C.

Từ $\dfrac{a}{7}=\dfrac{b}{5} \Rightarrow \dfrac{a}{21}=\dfrac{b}{15}$ và $\dfrac{b}{3}=\dfrac{c}{4} \Rightarrow \dfrac{b}{15}=\dfrac{c}{20}$. Suy ra $\dfrac{a}{21}=\dfrac{b}{15}=\dfrac{c}{20}=m$, tức $a=21m,\ b=15m,\ c=20m$. Từ $a+b+c=112 \Rightarrow 56m=112 \Leftrightarrow m=2$. Vậy $a=42,\ b=30,\ c=40$, suy ra $S=2a-b+c=84-30+40=94$. Đáp án D.

Hệ A: $(x-y)^2+3=0$ vô nghiệm với mọi $x,y$ vì $(x-y)^2\ge0$. Hệ B: $x^2+4y^2+2\ge2>0$ với mọi $x,y$ nên vô nghiệm. Hệ C có nghiệm duy nhất (giải ra $x=0,y=1$), không phải $(3;5)$. Với hệ D: $x+y=3+5=8$ (đúng) và $x^2+y^2=9+25=34$ (đúng). Vậy $(3;5)$ là nghiệm của hệ D.

Đây là hệ đối xứng loại I. Đặt $S=x+y,\ P=xy$, ta có $x^2+y^2=S^2-2P=5$ và $xy+x+y=P+S=5$. Từ đó $P=5-S$, thay vào phương trình đầu: $S^2-2(5-S)=5 \Leftrightarrow S^2+2S-15=0 \Leftrightarrow S=3$ hoặc $S=-5$. Với $S=3 \Rightarrow P=2$: $x,y$ là nghiệm của $t^2-3t+2=0 \Rightarrow t=1$ hoặc $t=2$ (thỏa $S^2\ge4P$). Với $S=-5 \Rightarrow P=10$: $S^2=25<4P=40$, loại. Vậy $x=1,y=2$ hoặc $x=2,y=1$.

Cộng từng vế hai phương trình: $0=(a-3)+(b+2) \Leftrightarrow a+b-1=0 \Leftrightarrow b=1-a$. Thay vào phương trình đầu: $a^2-(1-a)^2=a-3 \Leftrightarrow (a-(1-a))(a+(1-a))=a-3 \Leftrightarrow (2a-1)\cdot1=a-3 \Leftrightarrow 2a-1=a-3 \Leftrightarrow a=-2$. Suy ra $b=1-(-2)=3$. Vậy $E=3(-2)+2(3)+7=-6+6+7=7$.

Mỗi phương trình đều có dạng bình phương: $x^2-4x+4=(x-2)^2=0 \Rightarrow x=2$; tương tự $y=2,\ z=2$. Vậy $M=3(2)+2(2)+2+12=6+4+2+12=24$.

Phương trình (1) $\Leftrightarrow (a+2)^2+(b-1)^2=0$, mà $(a+2)^2\ge0$ và $(b-1)^2\ge0$ nên phải có $a+2=0$ và $b-1=0$, suy ra $a=-2,\ b=1$. Thay vào (2): $2(-2)^2+1^2-9=8+1-9=0$ (thỏa mãn). Vậy $P=5(-2)(1)+(-2)+1=-10-2+1=-11$.

Ta có $(a+b+c)^2=81 \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=81 \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=81-54=27=ab+bc+ca$. Suy ra $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right]=0 \Rightarrow a=b=c$. Kết hợp $a+b+c=9$ ta được $a=b=c=3$. Vậy $P=3(3)+2(3)+3=9+6+3=18$.

Từ $x^8\le1$ và $y^8\le1$ suy ra $-1\le x,y\le1$. Khi đó $x^7-x^8=x^7(1-x)$ và $y^7-y^8=y^7(1-y)$. Lấy phương trình đầu trừ phương trình sau: $(x^7-x^8)+(y^7-y^8)=0$. Có thể chứng minh $x,y\ge0$ từ hai phương trình đã cho, khi đó $x^7(1-x)\ge0$ và $y^7(1-y)\ge0$ với $0\le x,y\le1$, nên tổng bằng $0$ khi và chỉ khi mỗi số hạng bằng $0$: $x\in\{0;1\},\ y\in\{0;1\}$. Kiểm tra lại hai phương trình ban đầu, chỉ có $(x;y)=(1;0)$ và $(x;y)=(0;1)$ thỏa mãn. Vậy hệ có $2$ nghiệm.

Xem (1) là phương trình bậc hai ẩn $y$: $y^2+2(1-x)y+2x^2+3=0$. Ta có $\Delta^\prime=(1-x)^2-(2x^2+3)=1-2x+x^2-2x^2-3=-x^2-2x-2=-(x+1)^2-1<0$ với mọi $x$. Vậy phương trình (1) vô nghiệm với mọi $x,y$, do đó hệ đã cho vô nghiệm.

Với mọi $x,y$ ta có $x^2\ge0,\ 3y^6\ge0$ nên $x^2+3y^6+2\ge2>0$, phương trình thứ hai vô nghiệm. Do đó hệ đã cho vô nghiệm. Đáp án A.

Thay $x=4,y=-3$: đáp án A có $x^2+y^2+5=25>0\ne0$ (vô lí); đáp án C giải ra $x=0,y=1$ (không phải $x=4,y=-3$); đáp án D có $x^2+y^2=25\ne13$. Chỉ đáp án B thỏa mãn: $x-y=4-(-3)=7$ và $x+y=4+(-3)=1$. Đáp án B.

Trừ từng vế: $x^3-y^3=3(y-x) \Leftrightarrow (x-y)(x^2+xy+y^2)+3(x-y)=0 \Leftrightarrow (x-y)(x^2+xy+y^2+3)=0$. Vì $x^2+xy+y^2+3=\left(x+\dfrac{y}{2}\right)^2+\dfrac{3y^2}{4}+3>0$ nên $x=y$. Khi đó $x^3-3x-52=0 \Leftrightarrow (x-4)(x^2+4x+13)=0 \Leftrightarrow x=4$ (do $x^2+4x+13>0$). Vậy $x=y=4$. Đáp án C.

Nhân từng vế ba phương trình: $x^2z^2(y+1)^2=6\cdot10\cdot15=900 \Rightarrow \left[xz(y+1)\right]^2=900 \Rightarrow xz(y+1)=\pm30$. Nếu $xz(y+1)=30$, kết hợp $xz=10 \Rightarrow y+1=3 \Rightarrow y=2$, khi đó $x(y+1)=6 \Rightarrow x=2$, và $z(y+1)=15 \Rightarrow z=5$. Nếu $xz(y+1)=-30 \Rightarrow y+1=-3 \Rightarrow y=-4,\ x=-2,\ z=-5$. Vậy hệ có $2$ nghiệm. Đáp án D.

Với $(x;y)=(5;-2)$: đáp án A có $\sqrt{5-1}+\sqrt{-2+6}=2+2=4$ và $2\cdot5+3\cdot(-2)=4$ (thỏa mãn cả hai phương trình); đáp án B có $\sqrt{y+1}=\sqrt{-1}$ không xác định; đáp án C có $(5-2)^2+(-2+5)^2=18\ne0$; đáp án D có $\sqrt{x-8}=\sqrt{-3}$ không xác định. Đáp án A.

Điều kiện $x,y\ge0$. Đặt $a=\sqrt{x},b=\sqrt{y}$ $(a,b\ge0)$, hệ trở thành $\begin{cases}ab(a+b)=30\\ a^3+b^3=35\end{cases}$. Đặt $S=a+b,P=ab$, ta có $PS=30$ và $S^3-3PS=35 \Rightarrow S^3=35+90=125 \Rightarrow S=5,\ P=6$. Khi đó $a,b$ là nghiệm của $t^2-5t+6=0 \Rightarrow t=2$ hoặc $t=3$. Vậy $(x;y)=(4;9)$ hoặc $(9;4)$: hệ có $2$ nghiệm nguyên. Đáp án B.

Điều kiện $x,y\ge7$. Nếu $x>7$ thì $x+\sqrt[4]{y-7}>7$, vô lí; suy ra $x\le7$, kết hợp điều kiện $x\ge7$ ta có $x=7$. Tương tự $y=7$. Vậy hệ có nghiệm duy nhất $x=y=7$. Đáp án C.

Điều kiện $a,b,c\ge5$. Nếu $a>5$ thì $a+11>16 \Rightarrow \sqrt{a+11}>4$, khi đó phương trình thứ ba cho $\sqrt{c-5}+\sqrt{a+11}>4$ (vô lí vì $\sqrt{c-5}\ge0$). Suy ra $a=5$, thay vào phương trình thứ ba: $\sqrt{c-5}+4=4 \Rightarrow c=5$. Thay $c=5$ vào phương trình thứ hai: $\sqrt{b-5}+4=4 \Rightarrow b=5$. Vậy $a=b=c=5$. Đáp án D.

Nhân hai vế phương trình đầu của $(I)$ với $2$: $(I) \Leftrightarrow \begin{cases}2x-2y=14\\ 4x+3y=0\end{cases}$. Hai hệ có cùng phương trình thứ hai, nên $(I)\equiv(II)$ khi hai phương trình đầu trùng nhau: $-m=14 \Leftrightarrow m=-14$.

Hệ bậc nhất hai ẩn $\begin{cases}kx-2y=1\\ 3x+y=3\end{cases}$ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi $\dfrac{k}{3}\ne\dfrac{-2}{1} \Leftrightarrow k\ne-6$.

Lấy $(2)$ trừ $(1)$: $(m^2-1)x=0$. Hệ có vô số nghiệm khi phương trình này nghiệm đúng với mọi $x$, tức là $m^2-1=0 \Leftrightarrow m=\pm1$ (khi đó $(2)$ trùng với $(1)$).

Cộng hai phương trình: $2x=(3-m)+(3m-3)=2m \Rightarrow x=m$. Trừ hai phương trình: $2y=(3-m)-(3m-3)=6-4m \Rightarrow y=3-2m$. Điểm $M\in d \Leftrightarrow y=x \Leftrightarrow 3-2m=m \Leftrightarrow 3m=3 \Leftrightarrow m=1$.

Với $S=x+y=m+2$ và $Q=x^2+y^2=2m^2+4m$ cho trước, hệ có nghiệm thực khi và chỉ khi $2Q\ge S^2$ (vì $x^2+y^2\ge\dfrac{(x+y)^2}{2}$). Ta có $2(2m^2+4m)\ge(m+2)^2 \Leftrightarrow 4m^2+8m\ge m^2+4m+4 \Leftrightarrow 3m^2+4m-4\ge0 \Leftrightarrow (3m-2)(m+2)\ge0 \Leftrightarrow m\le-2$ hoặc $m\ge\dfrac{2}{3}$. Vậy hệ vô nghiệm khi $-2<m<\dfrac{2}{3}$, các giá trị nguyên thỏa mãn là $m=-1$ và $m=0$, tức có $2$ giá trị.

Thử trực tiếp $x=y=1$: phương trình đầu trở thành $(2a-b)+(a+b)=3a$ — đúng với mọi $a,b$; phương trình sau trở thành $(a+3b)-(a-b)=4b$ — cũng đúng với mọi $a,b$. Vậy $(x;y)=(1;1)$ luôn là nghiệm của hệ với mọi $a,b$ thực, tức là với $a,b$ bất kì hệ đều có nghiệm.

Phương trình (1) $\Leftrightarrow (x+3)^2+(y-1)^2=0 \Rightarrow x=-3,\ y=1$ (nghiệm duy nhất của (1)). Thay vào (2): $(-3)^2+2(1)^2+(-3)(1)+k^2-16k+7=0 \Leftrightarrow 9+2-3+k^2-16k+7=0 \Leftrightarrow k^2-16k+15=0 \Leftrightarrow k=1$ hoặc $k=15$. Vậy có $2$ giá trị của $k$.

Từ $a-b=m+1$, bình phương hai vế: $a^2+b^2-2ab=m^2+2m+1$. Từ giả thiết thứ hai: $2ab=-2m^2-8m+2$. Cộng hai đẳng thức: $a^2+b^2=(m^2+2m+1)+(-2m^2-8m+2)=-m^2-6m+3=-(m+3)^2+12\le12$. Vậy $\max P=12$, đạt được khi $m=-3$.

Thay $x=3,y=-1$ vào hệ: phương trình thứ nhất cho $3a-1=5 \Rightarrow a=2$; phương trình thứ hai cho $3-a\cdot(-1)=5 \Rightarrow 3+a=5 \Rightarrow a=2$. Vậy $a=2$. Đáp án A.

Hệ có nghiệm duy nhất khi $\dfrac{k}{2}\ne\dfrac{-3}{1} \Leftrightarrow k\ne-6$. Đáp án B.

Hệ có vô số nghiệm khi $\dfrac{1}{m^2}=\dfrac{-4}{-4}=\dfrac{3}{3} \Leftrightarrow \dfrac{1}{m^2}=1 \Leftrightarrow m^2=1 \Leftrightarrow m=\pm1$. Đáp án C.

Cộng và trừ từng vế hai phương trình ta được $x=\dfrac{3+m}{2},\ y=\dfrac{5-3m}{2}$. Điểm $M\in d \Leftrightarrow y=x+1 \Leftrightarrow \dfrac{5-3m}{2}=\dfrac{3+m}{2}+1 \Leftrightarrow 5-3m=5+m \Leftrightarrow 4m=0 \Leftrightarrow m=0$. Đáp án D.

Hệ có nghiệm khi $(x+y)^2\le2(x^2+y^2) \Leftrightarrow (m+1)^2\le2(2m^2+2m) \Leftrightarrow 3m^2+2m-1\ge0 \Leftrightarrow (3m-1)(m+1)\ge0 \Leftrightarrow m\le-1$ hoặc $m\ge\dfrac{1}{3}$. Do đó hệ vô nghiệm khi $-1<m<\dfrac{1}{3}$, chỉ có $m=0$ là số nguyên thỏa mãn. Vậy có $1$ giá trị. Đáp án A.

Dễ thấy $x=2,y=-1$ luôn là nghiệm của hệ với mọi $a,b$: phương trình thứ nhất cho $(a-2b)\cdot2+(2a+b)\cdot(-1)=2a-4b-2a-b=-5b$ (đúng); phương trình thứ hai cho $(3a+b)\cdot2-(a-b)\cdot(-1)=6a+2b+a-b=7a+b$ (đúng). Vậy với $a,b$ là hai số thực bất kì hệ đều có nghiệm. Đáp án B.

$(1) \Leftrightarrow (x-2)^2+(y+4)^2=0 \Rightarrow x=2,y=-4$. Thay vào $(2)$: $4+3\cdot16+2\cdot(-4)+k^2-10k-23=0 \Leftrightarrow 4+48-8+k^2-10k-23=0 \Leftrightarrow k^2-10k+21=0 \Leftrightarrow k=3$ hoặc $k=7$. Vậy có $2$ giá trị của $k$. Đáp án C.

Từ giả thiết $ab=-(m^2+2m-3)$. Ta có $P=a^2+b^2=(a-b)^2+2ab=(m+2)^2-2(m^2+2m-3)=m^2+4m+4-2m^2-4m+6=-m^2+10\le10$. Dấu bằng xảy ra khi $m=0$. Vậy $P_{\max}=10$. Đáp án D.

Từ phương trình đầu: $b=-1-2a$. Thay vào phương trình sau: $3a-4(-1-2a)=-40 \Leftrightarrow 3a+4+8a=-40 \Leftrightarrow 11a=-44 \Leftrightarrow a=-4$. Suy ra $b=-1-2(-4)=7$. Vậy $P=ab=(-4)(7)=-28$.

Từ phương trình đầu: $x=5y-16$. Thay vào phương trình sau: $3(5y-16)+2y=3 \Leftrightarrow 15y-48+2y=3 \Leftrightarrow 17y=51 \Leftrightarrow y=3$. Suy ra $x=5(3)-16=-1$. Kiểm tra các khẳng định với $x=-1,\ y=3$: chỉ có $y=-3x$ đúng vì $-3(-1)=3=y$.

Từ phương trình đầu: $x=y+5$. Thay vào phương trình sau: $3(y+5)+2y=-5 \Leftrightarrow 3y+15+2y=-5 \Leftrightarrow 5y=-20 \Leftrightarrow y=-4$. Suy ra $x=-4+5=1$. Vậy $x=1,\ y=-4$.

Thay $x=-3,\ y=4$ vào phương trình đầu: $(k+1)(-3)+2(4)=-13 \Leftrightarrow -3k-3+8=-13 \Leftrightarrow -3k=-18 \Leftrightarrow k=6$. Kiểm tra lại với phương trình sau: $2(-3)-k(4)=-30 \Leftrightarrow -6-4k=-30 \Leftrightarrow k=6$ (thỏa mãn cả hai phương trình). Vậy $k=6$.

Hệ vô nghiệm khi $\dfrac{2}{2}=\dfrac{-7}{k}\ne\dfrac{-3}{-2}$. Từ $1=\dfrac{-7}{k} \Leftrightarrow k=-7$. Kiểm tra điều kiện khác tỉ số còn lại: $\dfrac{-7}{-7}=1\ne\dfrac{3}{2}$ (thỏa mãn). Vậy $k=-7$.

Hệ có vô số nghiệm khi hai phương trình tỉ lệ với nhau: $\dfrac{3}{m^2-7m+6}=\dfrac{-1}{-2}=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}$. Từ đó $m^2-7m+6=6 \Leftrightarrow m^2-7m=0 \Leftrightarrow m(m-7)=0 \Leftrightarrow m=0$ hoặc $m=7$.

Gọi $x,y$ (đồng, $x,y>0$) lần lượt là giá tiền 1kg thịt lợn và 1kg thịt bò. Ta có hệ $\begin{cases}x+2y=320\,000\\ 3x+7y=1\,080\,000\end{cases}$. Từ phương trình đầu: $x=320\,000-2y$. Thay vào phương trình sau: $3(320\,000-2y)+7y=1\,080\,000 \Leftrightarrow 960\,000+y=1\,080\,000 \Leftrightarrow y=120\,000$. Suy ra $x=320\,000-240\,000=80\,000$. Vậy giá 1kg thịt lợn là $80\,000$ đồng.

Gọi $x$ là số xe máy (2 bánh), $y$ là số mô tô ba bánh ($x,y$ nguyên dương). Ta có hệ $\begin{cases}x+y=19\\ 2x+3y=45\end{cases}$. Từ phương trình đầu: $x=19-y$. Thay vào phương trình sau: $2(19-y)+3y=45 \Leftrightarrow 38+y=45 \Leftrightarrow y=7$. Suy ra $x=19-7=12$. Vậy có $12$ xe máy.

Đáp án A: $x=2\Rightarrow y=-1$ hoặc $y=-3\Rightarrow x=4$, được hai nghiệm $(2;-1),(4;-3)$. Đáp án B: $(x-3)^2=0\Rightarrow x=3,y=2$, chỉ có $1$ nghiệm. Đáp án C: $x^2+y^2+4\ge4>0$, vô nghiệm. Đáp án D: $(y-2)^2=0\Rightarrow y=2,x=\dfrac{5}{3}$, chỉ có $1$ nghiệm. Vậy hệ có hai nghiệm là hệ ở đáp án A. Đáp án A.

Từ phương trình thứ hai: $x=y-7$. Thay vào phương trình thứ nhất: $3(y-7)+2y=4 \Leftrightarrow 5y-21=4 \Leftrightarrow y=5$, suy ra $x=-2$. Vậy $S=x^2+y^2=4+25=29$. Đáp án B.

Vì $y^6\ge0,\ |y|\ge0$ nên $y^6+5|y|=0 \Leftrightarrow y=0$. Thay $y=0$ vào phương trình thứ hai: $x^2-7x+10=0 \Leftrightarrow (x-2)(x-5)=0 \Leftrightarrow x=2$ hoặc $x=5$. Vậy hệ có $2$ nghiệm là $(2;0)$ và $(5;0)$. Đáp án C.

Hệ có vô số nghiệm khi $\dfrac{2}{4}=\dfrac{-1}{k^2-2k-2}=\dfrac{3}{6} \Leftrightarrow k^2-2k-2=-2 \Leftrightarrow k^2-2k=0 \Leftrightarrow k=0$ hoặc $k=2$. Vậy có $2$ giá trị của $k$. Đáp án D.

Nếu $x=2$: $y^2=125-4=121 \Rightarrow y=\pm11$. Nếu $y=-5$: $x^2=125-25=100 \Rightarrow x=\pm10$. Các nghiệm $(2;11),(2;-11),(10;-5),(-10;-5)$ đều khác nhau. Vậy hệ có $4$ nghiệm. Đáp án A.

Giải hệ $(I)$: từ $x=1-y$ thay vào phương trình đầu: $3(1-y)-2y=8 \Leftrightarrow -5y=5 \Leftrightarrow y=-1,\ x=2$. Thay $x=2,y=-1$ vào $(II)$: phương trình đầu $2\cdot2+3\cdot(-1)=1$ luôn đúng; phương trình sau $2(k+1)-(-1)=7 \Leftrightarrow 2k+3=7 \Leftrightarrow k=2$. Đáp án B.

Thay $x=2,y=-1$ vào hệ: phương trình thứ nhất cho $4-(a-1)=1 \Leftrightarrow a=4$; phương trình thứ hai cho $2(b+2)-3=-1 \Leftrightarrow 2b+1=-1 \Leftrightarrow b=-1$. Khi đó hệ trở thành $\begin{cases}2x+3y=1\\ x+3y=-1\end{cases}$ có định thức $2\cdot3-3\cdot1=3\ne0$ nên có nghiệm duy nhất, đúng là $x=2,y=-1$. Đáp án C.

Gọi $x,y$ ($x,y\in\mathbb{N}^*$) lần lượt là số xe đạp, xe ba bánh. Ta có $\begin{cases}x+y=25\\ 2x+3y=58\end{cases}$. Từ phương trình đầu $x=25-y$, thay vào phương trình sau: $2(25-y)+3y=58 \Leftrightarrow 50+y=58 \Leftrightarrow y=8$, suy ra $x=17$. Vậy có $17$ xe đạp. Đáp án D.