Dạng 3: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$M=(a-3)^2+23\ge23$. Dấu bằng xảy ra khi $a=3$. Vậy $\min M=23$. Đáp án B.

Vì $x$ nguyên nên $2x+5$ là số nguyên lẻ. Với $2x+5<0$, biểu thức âm nhất khi $|2x+5|$ nhỏ nhất, tức $2x+5=-1\Leftrightarrow x=-3$. Khi đó $E=\dfrac{31}{-1}=-31$. Với $2x+5>0$ thì $E>0$, không cho giá trị nhỏ nhất. Vậy $\min E=-31$. Đáp án B.

$M=\sqrt{-(x^2-2x+1)+9}=\sqrt{9-(x-1)^2}\le\sqrt9=3$. Dấu bằng khi $x=1$. Vậy $\max M=3$. Đáp án B.

$P=\sqrt{(x+3)^2}+\sqrt{(x-7)^2}=|x+3|+|7-x|\ge|(x+3)+(7-x)|=10$. Dấu bằng xảy ra khi $-3\le x\le7$. Vậy $\min P=10$. Đáp án A.

$Q=(x+1)-2\sqrt{x+1}+1-7=\left(\sqrt{x+1}-1\right)^2-7\ge-7$. Dấu bằng khi $\sqrt{x+1}=1\Leftrightarrow x=0$. Vậy $\min Q=-7$. Đáp án D.

$S=\sqrt{\left(\sqrt{x-2}-1\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{x-2}+3\right)^2}=\left|\sqrt{x-2}-1\right|+\left(\sqrt{x-2}+3\right)$. Nếu $2\le x\le3$ thì $S=\left(1-\sqrt{x-2}\right)+\left(\sqrt{x-2}+3\right)=4$. Nếu $x>3$ thì $S=2\sqrt{x-2}+2>4$. Vậy $\min S=4$ khi $2\le x\le3$. Đáp án B.

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki: $M^2=\left(\sqrt{x-2}+\sqrt{y-3}\right)^2\le2\left[(x-2)+(y-3)\right]=2(x+y-5)=4\Rightarrow M\le2$. Dấu bằng xảy ra khi $\sqrt{x-2}=\sqrt{y-3}\Rightarrow x-2=y-3$, kết hợp $x+y=7\Rightarrow x=3,\ y=4$. Vậy $\max M=2$ khi $x=3,\ y=4\Rightarrow xy=12$. Đáp án C.

Ta có $(a-2)^2\ge0\Rightarrow a^2+4\ge4a\ (1)$; $(b-2)^2\ge0\Rightarrow b^2+4\ge4b\ (2)$; $(a-b)^2\ge0\Rightarrow2a^2+2b^2\ge4ab\ (3)$. Cộng $(1),(2),(3)$: $3(a^2+b^2)+8\ge4(a+b+ab)=32\Rightarrow a^2+b^2\ge8$. Vậy $\min Q=8$ khi $a=b=2$. Đáp án C.

Ta có $x^2-2x+4=(x-1)^2+3\ge3$ với mọi $x$.
Do đó $P=\dfrac{18}{(x-1)^2+3}\le\dfrac{18}{3}=6$.
Dấu bằng xảy ra khi $(x-1)^2=0\Leftrightarrow x=1$. Vậy $\max P=6$ khi $x=1$. Đáp án A.

Điều kiện $1-19x^2\ge0$. Khi đó $0\le\sqrt{1-19x^2}\le1$ nên $5\le5+\sqrt{1-19x^2}\le6$.
Suy ra $\dfrac{42}{5+\sqrt{1-19x^2}}\ge\dfrac{42}{6}=7$.
Dấu bằng xảy ra khi $\sqrt{1-19x^2}=1\Leftrightarrow x=0$. Vậy giá trị nhỏ nhất bằng $7$. Đáp án C.

Ta có $M=-\left(x^2-4x+4\right)-15=-(x-2)^2-15\le-15$ với mọi $x$.
Dấu bằng xảy ra khi $x=2$, khi đó $M=-15$; do đó khẳng định $M\le-16$ là sai, và $M$ có thể nhỏ hơn $-20$ (chẳng hạn $x=10$ cho $M=-79$) nên khẳng định D cũng sai. Đáp án B.

Ta có $x^4+18x^2+81=\left(x^2+9\right)^2$ nên $\sqrt{x^4+18x^2+81}=x^2+9$.
Do đó $M=\sqrt{24x+139+x^2+9}=\sqrt{x^2+24x+148}=\sqrt{(x+12)^2+4}\ge\sqrt4=2$.
Vậy $\min M=2$ khi $x=-12$. Đáp án B.

Ta có $x+y=\left(a-2\sqrt{ab}+b\right)+\left(c-2\sqrt{cd}+d\right)+a=\left(\sqrt a-\sqrt b\right)^2+\left(\sqrt c-\sqrt d\right)^2+a$.
Vì $a>0$ và hai bình phương đều không âm nên $x+y>0$.
Tổng hai số dương thực sự nên ít nhất một trong hai số $x,y$ phải dương, tức là $x>0$ hoặc $y>0$. Đáp án C.

Đặt $t=x^2-5x+5$; với $x$ nguyên thì $t$ nguyên và $t\ne0$.
Biểu thức $\dfrac{1372}{t}$ nhỏ nhất khi $t$ âm và $|t|$ nhỏ nhất, tức $t=-1$.
Giải $x^2-5x+5=-1\Leftrightarrow x^2-5x+6=0\Leftrightarrow x=2$ hoặc $x=3$; khi đó biểu thức bằng $-1372$.
Vậy có $2$ giá trị nguyên của $x$. Đáp án B.

Ta có $P=\sqrt{(a+5)^2}+\sqrt{(a-5)^2}=|a+5|+|5-a|$.
Theo bất đẳng thức $|u|+|v|\ge|u+v|$ ta được $P\ge|(a+5)+(5-a)|=10$.
Dấu bằng xảy ra khi $(a+5)(5-a)\ge0\Leftrightarrow-5\le a\le5$. Vậy $\min P=10$. Đáp án C.

Đặt $u=\sqrt{a-3}\ge0$, khi đó $a=u^2+3$.
Ta có $a-2-2\sqrt{a-3}=u^2-2u+1=(u-1)^2$ và $a+1-4\sqrt{a-3}=u^2-4u+4=(u-2)^2$.
Do đó $M=|u-1|-|u-2|$.
Nếu $u\ge2$ thì $M=(u-1)-(u-2)=1$; nếu $1\le u<2$ thì $M=(u-1)-(2-u)=2u-3<1$; nếu $0\le u<1$ thì $M=(1-u)-(2-u)=-1$.
Vậy $\max M=1$, đạt được khi $u\ge2$ tức $a\ge7$. Đáp án D.