Dạng 4: Điều kiện để biểu thức thỏa mãn điều kiện cho trước

Vì $x^2+1>0$ với mọi $x$, và $x^2-x+7=\left(x-\dfrac12\right)^2+\dfrac{27}{4}>0$ với mọi $x$, nên $$P=0\Leftrightarrow x^2-16=0\Leftrightarrow x=\pm4$$ Có $2$ giá trị của $x$. Đáp án B.

$E$ có nghĩa khi $\begin{cases}x-3\ge0\\12-x\ge0\end{cases}\Leftrightarrow3\le x\le12$ (số hạng $\sqrt{x^2+1}$ luôn có nghĩa vì $x^2+1>0$). Đáp án C.

$M$ có nghĩa khi $\dfrac{-192}{15-a}\ge0\Leftrightarrow15-a<0\Leftrightarrow a>15$. Vì $a$ nguyên nên số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn là $a=16$. Đáp án A.

Ta có $x^2-2x+7=(x-1)^2+6>0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$, nên mẫu số ở đáp án D luôn khác $0$ và biểu thức luôn xác định. Các đáp án còn lại đều có điều kiện xác định bị giới hạn (A, B cần biểu thức trong căn không âm; C cần $x\ne\pm2$). Đáp án D.

Với $x\ge0,\ x\ne1$: $M=\dfrac{2(\sqrt{x}-1)+13}{\sqrt{x}-1}=2+\dfrac{13}{\sqrt{x}-1}$. $M$ nguyên $\Leftrightarrow\sqrt{x}-1$ là ước của $13$, tức $\sqrt{x}-1\in\{\pm1;\pm13\}\Rightarrow\sqrt{x}\in\{2;0;14;-12(\text{loại})\}\Rightarrow x\in\{4;0;196\}$. Có $3$ giá trị nguyên của $x$. Đáp án C.

$M=\dfrac{(a^2-1)(a^2-4)}{(a^2-1)(a^2-9)}=\dfrac{a^2-4}{a^2-9}$ với $a\ne\pm1,\pm3$. Từ $|2a-1|=7\Rightarrow2a-1=\pm7\Rightarrow a=4$ hoặc $a=-3$ (loại vì $a\ne-3$). Với $a=4$: $M=\dfrac{16-4}{16-9}=\dfrac{12}{7}$. Đáp án D.

Giả sử $n+20=p^2$ và $n-39=q^2$ ($p,q\in\mathbb{N}$). Khi đó $p^2-q^2=(n+20)-(n-39)=59\Leftrightarrow(p-q)(p+q)=59$. Vì $59$ là số nguyên tố và $p+q>p-q>0$ nên $\begin{cases}p-q=1\\p+q=59\end{cases}\Rightarrow p=30,\ q=29\Rightarrow n=p^2-20=880$. Có duy nhất $1$ số tự nhiên $n=880$ thỏa mãn. Đáp án B.

Ta có $1+\dfrac{1}{k(k+2)}=\dfrac{(k+1)^2}{k(k+2)}=\dfrac{k+1}{k}\cdot\dfrac{k+1}{k+2}$. Cho $k$ chạy từ $1$ đến $n$ rồi rút gọn kiểu tích "domino" (kết hợp với hệ số $\dfrac12$ ở đầu), ta được tích bằng $\dfrac{n+1}{n+2}$. Do đó $\dfrac{n+1}{n+2}=\dfrac{2020}{2021}\Rightarrow n=2019$. Đáp án D.

Thay $x=3$ vào các mẫu thức: $2x+6=12\ne0$; $x^2+2x-3=9+6-3=12\ne0$; $x^2-3=9-3=6\ne0$.
Riêng $x^2-2x-3=(x+1)(x-3)$ bằng $0$ khi $x=3$.
Vậy $x=3$ không thuộc tập xác định của $\dfrac{9}{x^2-2x-3}$. Đáp án D.

$P$ có nghĩa khi $\begin{cases}x-7\ge0\\x^2-16\ne0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x\ge7\\x\ne\pm4\end{cases}$
Vì điều kiện $x\ge7$ đã kéo theo $x\ne\pm4$ nên tập xác định là $x\ge7$. Đáp án B.

Biểu thức xác định khi $\begin{cases}169-x^2\ge0\\x^2-169\ge0\end{cases}\Leftrightarrow x^2-169=0\Leftrightarrow x=\pm13$.
Vậy có $2$ giá trị của $x$ là $x=13$ và $x=-13$. Đáp án C.

Ta có $x^2-12x+36=(x-6)^2$ nên $Q=\sqrt{x-|x-6|}$.
Nếu $x\ge6$ thì $x-|x-6|=x-(x-6)=6>0$, biểu thức luôn có nghĩa.
Nếu $x<6$ thì $x-|x-6|=x-(6-x)=2x-6\ge0\Leftrightarrow x\ge3$.
Kết hợp hai trường hợp, $Q$ có nghĩa khi $x\ge3$. Đáp án C.

Ta có $m^2+3>0$ và $m^2-m+4=\left(m-\dfrac12\right)^2+\dfrac{15}{4}>0$ với mọi $m$.
Do đó $-\left(m^2+3\right)\left(m^2-m+4\right)<0$ với mọi $m$.
Biểu thức dưới dấu căn không âm khi mẫu $7-m<0\Leftrightarrow m>7$. Đáp án D.

Đặt $t=\sqrt a>1$. Ta có $a^2+\sqrt a=t^4+t=t\left(t^3+1\right)=t(t+1)\left(t^2-t+1\right)$ và $a-\sqrt a+1=t^2-t+1$.
Do đó $\dfrac{a^2+\sqrt a}{a-\sqrt a+1}=t(t+1)=t^2+t$.
Lại có $\dfrac{2a+\sqrt a}{\sqrt a}=\dfrac{2t^2+t}{t}=2t+1$.
Suy ra $P=\left(t^2+t\right)-(2t+1)+1=t^2-t=\sqrt a\left(\sqrt a-1\right)>0$ (vì $a>1$).
Vì $P>0$ nên $P=|P|$. Đáp án C.

Điều kiện $x\ge0,\ x\ne1$. Ta có $x\sqrt x+\sqrt x-x-1=\sqrt x(x+1)-(x+1)=(x+1)\left(\sqrt x-1\right)$.
Ngoặc thứ hai: $\dfrac{1}{\sqrt x-1}-\dfrac{2\sqrt x}{(x+1)\left(\sqrt x-1\right)}=\dfrac{x+1-2\sqrt x}{(x+1)\left(\sqrt x-1\right)}=\dfrac{\left(\sqrt x-1\right)^2}{(x+1)\left(\sqrt x-1\right)}=\dfrac{\sqrt x-1}{x+1}$.
Ngoặc thứ nhất: $1+\dfrac{\sqrt x}{x+1}=\dfrac{x+\sqrt x+1}{x+1}$.
Do đó $P=\dfrac{x+\sqrt x+1}{x+1}\cdot\dfrac{x+1}{\sqrt x-1}-1=\dfrac{x+\sqrt x+1-\sqrt x+1}{\sqrt x-1}=\dfrac{x+2}{\sqrt x-1}$.
$P=-4\Leftrightarrow x+2=-4\left(\sqrt x-1\right)\Leftrightarrow x+4\sqrt x-2=0$. Đặt $t=\sqrt x\ge0$ ta có $t^2+4t-2=0$, cho $t=-2+\sqrt6>0$ (nghiệm $t=-2-\sqrt6<0$ bị loại).
Vậy có đúng $1$ giá trị của $x$. Đáp án A.

Xét $n$ theo số dư khi chia cho $3$.
Nếu $n=3k+1$ thì $n+17=3k+18$ chia hết cho $3$ và lớn hơn $3$, không là số nguyên tố.
Nếu $n=3k+2$ thì $n+13=3k+15$ chia hết cho $3$ và lớn hơn $3$, không là số nguyên tố.
Nếu $n=3k$ thì $n+3=3(k+1)$ chia hết cho $3$, chỉ là số nguyên tố khi $k=0$, tức $n=0$. Khi đó $3,\ 13,\ 17$ đều là số nguyên tố.
Vậy chỉ có $1$ giá trị $n=0$ thỏa mãn. Đáp án A.