Chương V. Bất đẳng thức, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

Khẳng định I: $a+c>b+d \Leftrightarrow (a-b)+(c-d)>0$, đúng vì $a-b>0$ và $c-d>0$. Khẳng định IV: $a-d>b-c \Leftrightarrow (a-b)+(c-d)>0$, cũng đúng (cùng lý do). Khẳng định II sai, chẳng hạn $a=1,b=0,c=5,d=2$: $a-c=-4$ không lớn hơn $b-d=-2$. Khẳng định III sai, chẳng hạn $a=-1,b=-2,c=-3,d=-4$: $ac=3$ không lớn hơn $bd=8$. Vậy có $2$ khẳng định đúng (I và IV).

Khẳng định II đúng: vì $x\le-7$ và $y\le-3$ nên $x+y\le-10$. Khẳng định I sai: vì $x,y$ đều âm với $|x|\ge7,|y|\ge3$ nên $xy=|x||y|\ge21$ (không phải $\le21$). Khẳng định III sai, chẳng hạn $x=-100,y=-3$: $x-y=-97<-4$ nhưng có thể chọn $x=-7,y=-100$ thì $x-y=93$ không $\le-4$. Khẳng định IV cũng sai với cách chọn tương tự. Vậy chỉ có $1$ khẳng định đúng.

$n^2-7n-8\le0 \Leftrightarrow (n+1)(n-8)\le0 \Leftrightarrow -1\le n\le8$. Các số nguyên thỏa mãn: $n\in\{-1,0,1,\ldots,8\}$, có tất cả $10$ số.

Ta có $x^2-6x+17=(x-3)^2+8\ge8>0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$, nên khẳng định này luôn đúng. Các khẳng định khác không đúng với mọi $x$ (chẳng hạn $x=-1$ làm sai A, B, D).

Ta có $\dfrac{1}{k(k+1)}=\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}$, nên $M=\left(1-\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right)+\cdots+\left(\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}\right)=1-\dfrac{1}{100}=\dfrac{99}{100}$. Vậy $0<M<1$.

Ta có $Q=\dfrac{1}{2}\left[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right]\ge0$ với mọi $a,b,c$. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$.

Ta có $P-Q=a^4+b^4-a^3b-ab^3=a^3(a-b)-b^3(a-b)=(a-b)(a^3-b^3)=(a-b)^2(a^2+ab+b^2)$. Vì $(a-b)^2\ge0$ và $a^2+ab+b^2=\left(a+\dfrac{b}{2}\right)^2+\dfrac{3b^2}{4}\ge0$, nên $P-Q\ge0$, tức $P\ge Q$.

Giả sử $a<0$. Vì $abc>0$ nên $bc<0$. Khi đó $ab+bc+ca=a(b+c)+bc$; mặt khác từ $a+b+c>0$ và $a<0$ suy ra $b+c>-a>0$, nên $a(b+c)<0$ (vì $a<0,\ b+c>0$). Do đó $ab+bc+ca=a(b+c)+bc<0+0=0$, mâu thuẫn với giả thiết $ab+bc+ca>0$. Vậy $a\ge0$; kết hợp $abc>0$ suy ra $a\ne0$, tức $a>0$. Lập luận tương tự cho $b,c$, ta được cả ba số đều dương.

Vì $0<a<1$ nên $9-a<9<9+a$, suy ra $\sqrt{9-a}<3<\sqrt{9+a}$. Lại có $48<49<50$ nên $\sqrt{48}<7<\sqrt{50}$. Do đó $N=\sqrt{48}+\sqrt{9-a}<7+3=10$ và $M=\sqrt{50}+\sqrt{9+a}>7+3=10$. Vậy $N<10<M$. Đáp án A.

Khẳng định I sai, chẳng hạn $a=0,b=-1$: $3a=0>2b=-2$ nhưng $9a^2=0$ không lớn hơn $4b^2=4$.
Khẳng định II đúng vì hàm $f(t)=t^3$ đồng biến trên $\mathbb{R}$, nên từ $3a>2b$ suy ra $(3a)^3>(2b)^3$, tức $27a^3>8b^3$.
Khẳng định III đúng vì cộng cùng một số vào hai vế của bất đẳng thức không làm đổi chiều.
Khẳng định IV sai, chẳng hạn $a=-1,b=-10$: $5a=-5>3b=-30$ nhưng $5a^2=5$ không lớn hơn $3ab=30$.
Vậy có $2$ khẳng định đúng (II và III). Đáp án B.

Đặt $t=n-2$, bất phương trình trở thành $t^2-8t-9\le0 \Leftrightarrow (t-9)(t+1)\le0 \Leftrightarrow -1\le t\le9 \Leftrightarrow 1\le n\le11$. Vậy có $11$ số nguyên $n$ thỏa mãn. Đáp án C.

$E=(a-4)^2+4\ge4>0$ với mọi $a$.
$F=\left(a-\dfrac52\right)^2+\dfrac{11}{4}\ge\dfrac{11}{4}>0$ với mọi $a$.
$G=(a-1)(a-6)$, chẳng hạn $a=3$ thì $G=-6<0$, không thỏa mãn.
Đặt $u=a^2+3\ge3$, ta có $H=u+\dfrac{4}{u}-4$. Vì hàm $u+\dfrac4u$ đồng biến khi $u\ge2$ nên với $u\ge3$, $H\ge3+\dfrac43-4=\dfrac13>0$.
Vậy có $3$ biểu thức không âm với mọi $a$ (là $E,F,H$). Đáp án D.

Với mọi số nguyên $k\ge3$: $\dfrac{1}{k^2}<\dfrac{1}{(k-1)k}=\dfrac{1}{k-1}-\dfrac1k$. Do đó $M<\left(\dfrac12-\dfrac13\right)+\left(\dfrac13-\dfrac14\right)+\cdots+\left(\dfrac{1}{n-1}-\dfrac1n\right)=\dfrac12-\dfrac1n<\dfrac12$. Mặt khác hiển nhiên $M>0$. Vậy $0<M<\dfrac12$. Đáp án A.

Áp dụng bất đẳng thức dạng $\dfrac{x^2}{a}+\dfrac{y^2}{b}\ge\dfrac{(x+y)^2}{a+b}$ với $x=1,y=2$ ta có $\dfrac1a+\dfrac4b\ge\dfrac{9}{a+b}$ với mọi $a,b>0$, dấu bằng xảy ra khi $b=2a$. Do đó bất đẳng thức đề bài đúng với $n\le9$. Với $n=10$, chọn $a=1,b=2$: $\dfrac1a+\dfrac4b=1+2=3<\dfrac{10}{3}$, bất đẳng thức sai. Vậy $n$ lớn nhất thỏa mãn là $9$. Đáp án C.

Ta có $\dfrac{3}{(3k-2)(3k+1)}=\dfrac{1}{3k-2}-\dfrac{1}{3k+1}$ với mọi $k$ nguyên dương, nên tổng đã cho bằng $1-\dfrac{1}{3n+1}$ theo tính chất triệt tiêu liên tiếp. Điều kiện trở thành $1-\dfrac{1}{3n+1}<\dfrac{2021}{2022} \Leftrightarrow \dfrac{1}{3n+1}>\dfrac{1}{2022} \Leftrightarrow 3n+1<2022 \Leftrightarrow n<673{,}67$. Do $n$ nguyên dương nên $n\in\{1;2;\ldots;673\}$. Trong các số đó, các số chẵn là $2;4;\ldots;672$, có $336$ số. Đáp án B.

$M+N=a^2+b^2-4a-4b=(a-2)^2+(b-2)^2-8$. Đặt $x=a-2,y=b-2$ thì $x+y=a+b-4\ge4>0$. Theo bất đẳng thức Bunhiacốpxki $2(x^2+y^2)\ge(x+y)^2\ge16 \Rightarrow x^2+y^2\ge8$. Do đó $M+N\ge0$. Nếu cả $M<0$ và $N<0$ thì $M+N<0$, mâu thuẫn. Vậy $M\ge0$ hoặc $N\ge0$. Đáp án D.

Ta có $M=x^2-6x+19=(x-3)^2+10\ge10$. Vậy $\min M=10$, đạt được khi $x=3$.

Ta có $x^2-2x+6=(x-1)^2+5\ge5$, nên $E=\dfrac{60}{(x-1)^2+5}\le\dfrac{60}{5}=12$. Vậy $\max E=12$, đạt được khi $x=1$.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với $x>0$: $x+\dfrac{16}{x}\ge2\sqrt{x\cdot\dfrac{16}{x}}=2\sqrt{16}=8$. Suy ra $Q\ge8+5=13$. Vậy $\min Q=13$, đạt được khi $x=\dfrac{16}{x} \Leftrightarrow x=4$.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si: $\sqrt{ab}\le\dfrac{a+b}{2}=2 \Rightarrow ab\le4$. Vì $ab\le4$ nên $V=\dfrac{60}{ab}\ge\dfrac{60}{4}=15$. Vậy $\min V=15$, đạt được khi $a=b=2$.

Ta có $P=(a-2)^2+9$. Với $3\le a\le5$ thì $1\le a-2\le3$, suy ra $1\le(a-2)^2\le9$, do đó $10\le P\le18$. Vậy $m=10$ (khi $a=3$), $M=18$ (khi $a=5$), nên $m+M=28$.

Ta có $M=a^2+5+\dfrac{1}{a^2}=a^2+\dfrac{1}{a^2}+5$. Áp dụng Cô-si: $a^2+\dfrac{1}{a^2}\ge2\sqrt{a^2\cdot\dfrac{1}{a^2}}=2$. Suy ra $M\ge2+5=7$. Vậy $\min M=7$, đạt được khi $a^2=\dfrac{1}{a^2} \Leftrightarrow a^4=1 \Leftrightarrow a=\pm1$.

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski: $P^2=\left(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b+3}+\sqrt{b}\cdot\sqrt{a+3}\right)^2\le(a+b)\left[(b+3)+(a+3)\right]=(a+b)(a+b+6)$. Vì $0<a+b\le2$ và hàm $t(t+6)$ đồng biến với $t>0$, ta có $(a+b)(a+b+6)\le2\cdot8=16$, suy ra $P\le4$. Vậy $\max P=4$, đạt được khi $a=b=1$.

Áp dụng Bu-nhi-a-cốp-ski hai lần. Lần 1: $1^2=(1\cdot x+1\cdot y)^2\le2(x^2+y^2) \Rightarrow x^2+y^2\ge\dfrac{1}{2}$. Lần 2: $\left(x^2+y^2\right)^2=(1\cdot x^2+1\cdot y^2)^2\le2(x^4+y^4)$, kết hợp với $x^2+y^2\ge\dfrac{1}{2}$ suy ra $\dfrac{1}{4}\le2(x^4+y^4) \Rightarrow E\ge\dfrac{1}{8}$. Vậy $\min E=\dfrac{1}{8}$, đạt được khi $x=y=\dfrac{1}{2}$.

Vì $x$ nguyên nên $x-7$ là số nguyên khác $0$. $Q=\dfrac{72}{x-7}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $x-7$ là số nguyên âm gần $0$ nhất, tức $x-7=-1 \Leftrightarrow x=6$. Khi đó $Q=\dfrac{72}{-1}=-72$. Đáp án A.

Vì $a$ nguyên nên $3a-8\ne0$. Số nguyên $a$ làm $|3a-8|$ nhỏ nhất là $a=3$ (khi đó $3a-8=1$), nên $\min|3a-8|=1$. Vậy $\max E=2025-1=2024$ khi $a=3$. Đáp án C.

Để biểu thức có giá trị lớn nhất, mỗi số hạng phải bị chặn trên. Vì $E\ge3,F\ge4$ chỉ bị chặn dưới nên $E,F$ phải xuất hiện với hệ số âm; vì $G\le5,H\le6$ chỉ bị chặn trên nên $G,H$ phải xuất hiện với hệ số dương. Chỉ có biểu thức $-E-F+G+H$ thỏa mãn cả hai điều kiện: $-E\le-3,-F\le-4,G\le5,H\le6$ nên $-E-F+G+H\le-3-4+5+6=4$, dấu bằng khi $E=3,F=4,G=5,H=6$. Các biểu thức còn lại đều chứa số hạng không bị chặn trên nên không tồn tại giá trị lớn nhất. Đáp án D.

$S=|x-4|+|x+9|\ge|(x-4)-(x+9)|=13$. Dấu bằng xảy ra khi $-9\le x\le4$. Vậy $\min S=13$. Đáp án C.

Với $-\sqrt3\le a\le\sqrt3$ thì $a+\sqrt3\ge0$, do đó $Q+2\sqrt3=2(a+\sqrt3)+\sqrt{6-2a^2}\ge0$ (tổng hai số không âm), suy ra $Q\ge-2\sqrt3$. Dấu bằng xảy ra khi $a+\sqrt3=0$ và $6-2a^2=0$, tức $a=-\sqrt3$. Vậy $\min Q=-2\sqrt3$. Đáp án B.

$ab=\dfrac{(a+b)^2-(a-b)^2}{4}=\dfrac{2601-(a-b)^2}{4}$. Vì $a+b=51$ lẻ nên $a-b$ cũng lẻ, do đó $(a-b)^2\ge1$, suy ra $ab\le\dfrac{2601-1}{4}=650$, dấu bằng khi $a=25,b=26$ (hoặc ngược lại). Vậy $\max P=650-20=630$. Đáp án D.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si: $4x+\dfrac{25}{x}\ge2\sqrt{4x\cdot\dfrac{25}{x}}=2\sqrt{100}=20$, dấu bằng khi $4x=\dfrac{25}{x}\Leftrightarrow x=\dfrac52$. Vậy $\min P=20$. Đáp án B.

$Q=(a-1)(a-10)\cdot(a-4)(a-7)=(a^2-11a+10)(a^2-11a+28)$. Đặt $t=a^2-11a+19$ (trung bình cộng của $10$ và $28$), ta có $Q=(t-9)(t+9)=t^2-81\ge-81$. Dấu bằng xảy ra khi $t=0$, tức $a^2-11a+19=0$ (phương trình có nghiệm thực vì $\Delta=121-76=45>0$). Vậy $\min Q=-81$. Đáp án A.

Ta có $M=\dfrac{7(a+3)+12}{a+3}=7+\dfrac{12}{a+3}$ (với $a\ne-3$). Để $M$ lớn nhất, cần $\dfrac{12}{a+3}$ lớn nhất với $a+3$ là số nguyên khác $0$; giá trị lớn nhất đạt được khi $a+3=1$ (ước dương nhỏ nhất của $12$), tức $a=-2$, khi đó $M=7+12=19$. Vậy $\max M=19$.

Ta có $P=(x^2-6x+9)+(4y^2+4y+1)+27-9-1=(x-3)^2+(2y+1)^2+17\ge17$. Vậy $\min P=17$, đạt được khi $x=3,\ y=-\dfrac{1}{2}$.

Ta có $E=(a-1)+\dfrac{1}{a-1}+17$. Vì $a>1$ nên $a-1>0$, áp dụng Cô-si: $(a-1)+\dfrac{1}{a-1}\ge2\sqrt{(a-1)\cdot\dfrac{1}{a-1}}=2$. Suy ra $E\ge2+17=19$. Vậy $\min E=19$, đạt được khi $a-1=1 \Leftrightarrow a=2$.

Ta có $Q=(a-1)^2+48$. Xét trên miền $a\ge3$: vì $(a-1)^2$ đồng biến với $a\ge1$, nên $(a-1)^2$ nhỏ nhất tại $a=3$: $(3-1)^2=4$. Vậy $\min Q=4+48=52$, đạt được khi $a=3$.

Xét từng biểu thức: $x^2-4x+22=(x-2)^2+18\ge18$, có GTNN bằng $18$. Trong khi đó $x^2-2x+20=(x-1)^2+19\ge19$ (GTNN là $19$); $-x^2-2x+19=-(x+1)^2+20\le20$ không có GTNN (chỉ có GTLN); $x^2-2x+18=(x-1)^2+17\ge17$ (GTNN là $17$). Vậy biểu thức có GTNN bằng $18$ là $x^2-4x+22$.

Với $a+b=1$ cố định, tổng các lũy thừa cùng bậc $a^8+b^8$ (hàm lũy thừa bậc chẵn là hàm lồi) đạt giá trị nhỏ nhất khi $a,b$ càng gần nhau càng tốt, tức khi $a=b=\dfrac{1}{2}$. Khi đó $a^8+b^8=2\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^8=\dfrac{2}{256}=\dfrac{1}{128}$. Có thể kiểm chứng đây là giá trị nhỏ nhất bằng cách xét hiệu với các giá trị $a,b$ khác (ví dụ $a\to1,b\to0$ cho tổng tiến về $1>\dfrac{1}{128}$).

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski: $\left[1\cdot(x-1)+1\cdot(y+2)\right]^2\le2\left[(x-1)^2+(y+2)^2\right]=4$. Suy ra $|x+y+1|\le2 \Leftrightarrow -2\le x+y+1\le2 \Leftrightarrow -3\le x+y\le1$. Vậy $\min(x+y)=-3$, đạt được khi $x=0,\ y=-3$ (kiểm tra: $(0-1)^2+(-3+2)^2=1+1=2$, thỏa mãn).

Nhóm cặp đối xứng: $(x+1)(x+7)=x^2+8x+7$ và $(x+3)(x+5)=x^2+8x+15$. Đặt $t=x^2+8x+11$ (số ở giữa $7$ và $15$), ta có $Q=(t-4)(t+4)=t^2-16\ge-16$. Vậy $\min Q=-16$, đạt được khi $t=0 \Leftrightarrow x^2+8x+11=0$.

$-a^2-b^2-4a+8b+10=-(a+2)^2+4-(b-4)^2+16+10=-(a+2)^2-(b-4)^2+30\le30$. Dấu bằng khi $a=-2,b=4$. Vậy $M=30$. Đáp án A.

Ta có $\dfrac{3x-11}{x-5}=\dfrac{3(x-5)+4}{x-5}=3+\dfrac{4}{x-5}$. Vì $x$ nguyên nên $x-5$ nguyên khác $0$; biểu thức đạt giá trị lớn nhất khi $x-5=1$ (tức $x=6$), khi đó $M=3+4=7$; đạt giá trị nhỏ nhất khi $x-5=-1$ (tức $x=4$), khi đó $m=3-4=-1$. Vậy $m+M=6$. Đáp án C.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si: $xy\le\left(\dfrac{x+y}{2}\right)^2=\dfrac94$, suy ra $M=\dfrac{45}{xy}\ge\dfrac{45}{9/4}=20$, dấu bằng khi $x=y=\dfrac32$. Vậy $\min M=20$. Đáp án B.

$M=(x+2)^2+(x-6)^2+9=2x^2-8x+40+9=2(x-2)^2+41\ge41$, dấu bằng khi $x=2$. Vậy $\min M=41$. Đáp án D.

$x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)=27-9xy$ (do $x+y=3$), nên $Q=27-9xy+3xy+20=47-6xy$. Vì $xy\le\left(\dfrac{x+y}{2}\right)^2=\dfrac94$ với mọi $x,y$ thực nên $Q\ge47-6\cdot\dfrac94=47-\dfrac{27}{2}=\dfrac{67}{2}$, dấu bằng khi $x=y=\dfrac32$. Vậy $\min Q=\dfrac{67}{2}$. Đáp án C.

Đặt $t=a^2-4a+14=(a-2)^2+10\ge10$. Ta có $a^2-4a+50=t+36$, do đó $Q=\dfrac{t+36}{t}=1+\dfrac{36}{t}$. Vì $t\ge10$ nên $Q\le1+\dfrac{36}{10}=\dfrac{23}{5}$, dấu bằng khi $t=10$, tức $a=2$. Vậy $\max Q=\dfrac{23}{5}$. Đáp án B.

Đặt $u=x^2-4x$. Ta có $u^2-16u=x^4-8x^3+64x$ (vì $u^2=x^4-8x^3+16x^2$ và $-16u=-16x^2+64x$, cộng lại được $x^4-8x^3+64x$). Do đó $E=u^2-16u+104=(u-8)^2+40\ge40$. Vì $u=(x-2)^2-4\ge-4$ và giá trị $u=8$ đạt được (nghiệm của $x^2-4x-8=0$ có $\Delta=48>0$), nên $\min E=40$. Đáp án A.

Đặt $t=a^2-2a$. Ta có $K=|t+3|+|t-4|\ge|(t+3)-(t-4)|=7$, dấu bằng khi $-3\le t\le4$. Vì $t=(a-1)^2-1\ge-1$, nên chọn $t=-1$ (khi $a=1$) thỏa mãn $-3\le-1\le4$. Vậy $\min K=7$. Đáp án D.