Dạng 5: Bài tập tổng hợp chương

Vì $x^2+3>0$ với mọi $x$, nên $P=0\Leftrightarrow(x^2-16)(x^2-8x+15)=0$. $x^2-16=0\Rightarrow x=\pm4$. $x^2-8x+15=0\Leftrightarrow(x-3)(x-5)=0\Rightarrow x=3$ hoặc $x=5$. Vậy $x\in\{-4;3;4;5\}$, có $4$ giá trị. Đáp án D.

$x^2+3x-18=x^2+6x-3x-18=x(x+6)-3(x+6)=(x-3)(x+6)$. Đáp án A.

$\sqrt{a+3}$ có nghĩa khi $a\ge-3$. $\sqrt{25-a^2}$ có nghĩa khi $-5\le a\le5$. $\sqrt{a^2-2a+9}=\sqrt{(a-1)^2+8}$ luôn có nghĩa vì $(a-1)^2+8>0$ với mọi $a$. Kết hợp các điều kiện: $-3\le a\le5$. Đáp án C.

$14-6\sqrt5=9-6\sqrt5+5=(3-\sqrt5)^2$ và $14+6\sqrt5=(3+\sqrt5)^2$. $\Rightarrow x_0=\left|3-\sqrt5\right|+\left|3+\sqrt5\right|=(3-\sqrt5)+(3+\sqrt5)=6$ (vì $\sqrt5<3$). Thay $x=6$ vào đáp án D: $6^2-6.6=0$ (đúng). Đáp án D.

$\dfrac{1}{k(k+1)}=\dfrac1k-\dfrac{1}{k+1}$. Do đó $F=\left(1-\dfrac12\right)+\left(\dfrac12-\dfrac13\right)+\ldots+\left(\dfrac1n-\dfrac{1}{n+1}\right)=1-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{n}{n+1}$. Đáp án D.

$E^2=(3-\sqrt5)+(3+\sqrt5)-2\sqrt{(3-\sqrt5)(3+\sqrt5)}=6-2\sqrt{9-5}=6-4=2$. Vì $3-\sqrt5<3+\sqrt5$ nên $E<0$, do đó $E=-\sqrt2$. Đáp án D.

$19\pm8\sqrt3=16\pm8\sqrt3+3=(4\pm\sqrt3)^2\Rightarrow a=\sqrt{(4+\sqrt3)^2}+\sqrt{(4-\sqrt3)^2}=(4+\sqrt3)+(4-\sqrt3)=8$. Thay $a=8$: $a^4-3a^2-3a-2020=4096-192-24-2020=1860$. Đáp án A.

Từ $\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c=2\Rightarrow\left(\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c\right)^2=4$ $$\Leftrightarrow\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+2\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ac}\right)=4\Leftrightarrow2+2\cdot\dfrac{a+b+c}{abc}=4\Rightarrow a+b+c=abc$$ Vậy $E=a+b+c-abc=0$. Đáp án D.

Ta có $a^3+12a^2+48a+64=(a+4)^3$ nên $P=(a+4)^3+2020$.
Với $a=-4$ thì $(a+4)^3=0$.
Vậy $P=2020$. Đáp án C.

Phân tích thành nhân tử: $M=a^3-a^2+2a^2-2a+3a-3=a^2(a-1)+2a(a-1)+3(a-1)=(a-1)\left(a^2+2a+3\right)$.
Mà $a^2+2a+3=(a+1)^2+2>0$ với mọi $a$.
Do đó $M>0\Leftrightarrow a-1>0\Leftrightarrow a>1$. Đáp án B.

Ta có $37-20\sqrt3=25-20\sqrt3+12=\left(5-2\sqrt3\right)^2$.
Vì $5=\sqrt{25}>\sqrt{12}=2\sqrt3$ nên $\sqrt{37-20\sqrt3}=5-2\sqrt3$, suy ra $a=5,\ b=-2$.
Vậy $3a+2b=3\cdot5+2\cdot(-2)=11$. Đáp án D.

Đặt $S=\sqrt{87+4\sqrt{83}}+\sqrt{87-4\sqrt{83}}>0$.
Ta có $S^2=\left(87+4\sqrt{83}\right)+\left(87-4\sqrt{83}\right)+2\sqrt{87^2-16\cdot83}=174+2\sqrt{7569-1328}=174+2\sqrt{6241}$.
Vì $\sqrt{6241}=79$ nên $S^2=174+158=332$, suy ra $S=\sqrt{332}=2\sqrt{83}$.
Vậy $P=\dfrac{36\sqrt{83}}{2\sqrt{83}}=18$. Đáp án A.

Ta có $9+4\sqrt2=1+4\sqrt2+8=\left(1+2\sqrt2\right)^2$ nên $\sqrt{9+4\sqrt2}=1+2\sqrt2$.
Khi đó $2+\left(1+2\sqrt2\right)=3+2\sqrt2=\left(1+\sqrt2\right)^2$, suy ra $\sqrt{2+\sqrt{9+4\sqrt2}}=1+\sqrt2$.
Do đó $M=\sqrt{13+30\left(1+\sqrt2\right)}=\sqrt{43+30\sqrt2}$.
Mà $43+30\sqrt2=25+30\sqrt2+18=\left(5+3\sqrt2\right)^2$ nên $M=5+3\sqrt2$. Đáp án D.

Khai triển từng bình phương:
$(2a+2b-c)^2=4a^2+4b^2+c^2+8ab-4ac-4bc$;
$(2b+2c-a)^2=a^2+4b^2+4c^2+8bc-4ab-4ac$;
$(2c+2a-b)^2=4a^2+b^2+4c^2+8ac-4ab-4bc$.
Cộng ba đẳng thức: hệ số của $a^2,\ b^2,\ c^2$ đều bằng $4+1+4=9$; hệ số của $ab,\ bc,\ ca$ đều bằng $8-4-4=0$.
Vậy $P=9\left(a^2+b^2+c^2\right)=9\cdot9=81$. Đáp án C.

Ta có $\left(a+\dfrac1a\right)^2=a^2+\dfrac{1}{a^2}+2=9$; vì $a>0$ nên $a+\dfrac1a=3$.
$a^3+\dfrac{1}{a^3}=\left(a+\dfrac1a\right)^3-3\left(a+\dfrac1a\right)=27-9=18$.
Lại có $\left(a^2+\dfrac{1}{a^2}\right)\left(a^3+\dfrac{1}{a^3}\right)=a^5+\dfrac{1}{a^5}+a+\dfrac1a$.
Suy ra $a^5+\dfrac{1}{a^5}=7\cdot18-3=123$. Đáp án A.

Ta có $a+b=2$ và $ab=\left(1+\sqrt2\right)\left(1-\sqrt2\right)=-1$, nên $a,b$ là hai nghiệm của phương trình $x^2-2x-1=0$.
Đặt $S_n=a^n+b^n$; từ $x^2=2x+1$ suy ra $S_n=2S_{n-1}+S_{n-2}$ với $S_0=2,\ S_1=2$.
Lần lượt tính: $S_2=6$; $S_3=14$; $S_4=34$; $S_5=82$; $S_6=198$; $S_7=2\cdot198+82=478$.
Vậy $a^7+b^7=478$. Đáp án B.