Phương trình không chứa căn thức

Đặt $t=x^2$ ($t\ge 0$), ta được $t^2+321t-975=0$. Vì $1\cdot(-975)<0$ nên phương trình bậc hai này có hai nghiệm trái dấu $t_1<0$ (loại) và $t_2>0$. Với $t_2>0$ ta được $x=\pm\sqrt{t_2}$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình đã cho. Vậy phương trình có 2 nghiệm.

Phương trình đã cho có tập nghiệm là $\{1;2;3;\ldots;12\}$. Tổng các nghiệm là $1+2+\cdots+12=\dfrac{12\cdot13}{2}=78$.

Với mỗi phương trình bậc hai $x^2-Sx+\ldots=0$, tổng hai nghiệm luôn bằng $S$ (theo định lí Vi-ét), không phụ thuộc vào các tham số còn lại. Tổng các nghiệm của các phương trình A, B, C, D lần lượt là $6;\,3;\,5;\,1$. Vậy tổng lớn nhất thuộc về phương trình A.

Theo định lí Vi-ét: $x_1+x_2=-2$, $x_1x_2=-\dfrac12$. Ta có $E=x_1x_2\left(x_1^2+x_2^2\right)=x_1x_2\left[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2\right]=\left(-\dfrac12\right)\left[4-2\left(-\dfrac12\right)\right]=\left(-\dfrac12\right)\cdot5=-\dfrac52$.

Phép biến đổi A sai vì thiếu điều kiện $x\ne3$ (mẫu thức khác 0). Phép biến đổi C sai vì $\sqrt{(x-3)^2}=|x-3|$ nên còn thiếu trường hợp $x-3=-4$. Phép biến đổi D sai vì đã chia hai vế cho $x+7$ mà chưa xét trường hợp $x+7=0$. Chỉ có phép biến đổi B (khai triển trị tuyệt đối) là đúng.

Nhóm $(x+1)(x+4)=x^2+5x+4$ và $(x+2)(x+3)=x^2+5x+6$. Đặt $t=x^2+5x+5$, phương trình trở thành $(t-1)(t+1)=24 \Leftrightarrow t^2=25 \Leftrightarrow t=\pm5$. Với $t=5$: $x^2+5x+5=5 \Leftrightarrow x^2+5x=0 \Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=-5$. Với $t=-5$: $x^2+5x+10=0$ có $\Delta=25-40<0$, vô nghiệm. Vậy phương trình có hai nghiệm $x=0$ và $x=-5$, tích các nghiệm bằng $0$.

Dễ thấy $x=9$ và $x=10$ đều là nghiệm (thay vào được $0+1=1$ và $1+0=1$). Nếu $x<9$ hoặc $x>10$ thì tổng hai số hạng lớn hơn $1$. Nếu $9<x<10$ thì $0<x-9<1$ và $0<10-x<1$ nên $|x-9|^{20}<x-9$ và $|x-10|^{37}<10-x$, suy ra tổng nhỏ hơn $1$. Vậy phương trình chỉ có đúng 2 nghiệm là $x=9$ và $x=10$.

Nhân hai vế với $-3$: $33x^3+3x^2-3x+1=0 \Leftrightarrow 34x^3=x^3-3x^2+3x-1=(x-1)^3$. Suy ra $x\sqrt[3]{34}=x-1 \Leftrightarrow x\left(\sqrt[3]{34}-1\right)=-1 \Leftrightarrow x=\dfrac{-1}{\sqrt[3]{34}-1}=\dfrac{1}{1-\sqrt[3]{34}}$.

Đặt $t=x^2$ ($t\ge0$), ta được $t^2+215t-616=0$. Vì $1\cdot(-616)<0$ nên phương trình này có hai nghiệm trái dấu $t_1<0$ (loại) và $t_2>0$. Với $t_2>0$ ta được $x=\pm\sqrt{t_2}$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình đã cho. Vậy phương trình có 2 nghiệm. Đáp án A.

Phương trình đã cho có tập nghiệm là $\{2;4;6;\ldots;20\}$ (gồm 10 số hạng). Tổng các nghiệm là $2+4+\cdots+20=\dfrac{(2+20)\cdot10}{2}=110$. Đáp án B.

Dễ thấy các phương trình đã cho đều có $\Delta>0$ nên có hai nghiệm phân biệt. Tổng các nghiệm của phương trình A, B, C, D lần lượt là $10;6;-4;1$. Tổng nhỏ nhất là $-4$, ứng với phương trình C. Đáp án C.

Theo định lí Viet ta có $x_1+x_2=-2$; $x_1x_2=-\dfrac23$. Ta có $E=x_1x_2(x_1+x_2)=\left(-\dfrac23\right)\cdot(-2)=\dfrac43$. Đáp án D.

Phép biến đổi B sai vì thiếu điều kiện $x\ne2$. Phép biến đổi C sai vì thiếu trường hợp $x-4=-9$. Phép biến đổi D sai vì đã chia hai vế của phương trình cho $x+5$, làm mất nghiệm $x=-5$. Phép biến đổi A là đúng vì đây là phép tách đúng của phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. Đáp án A.

Ta có $(x+2)(x+5)\cdot(x+3)(x+4)=15\Leftrightarrow (x^2+7x+10)(x^2+7x+12)=15$. Đặt $t=x^2+7x+11$, ta được $(t-1)(t+1)=15\Leftrightarrow t^2=16\Leftrightarrow t=\pm4$. Với $t=4$: $x^2+7x+7=0$ có $\Delta=49-28=21>0$, hai nghiệm với tích bằng $7$. Với $t=-4$: $x^2+7x+15=0$ có $\Delta=49-60=-11<0$, vô nghiệm. Vậy tích các nghiệm thực của phương trình là $7$. Đáp án B.

Dễ thấy $x=6$ hoặc $x=7$ là nghiệm. Nếu $x<6$ hoặc $x>7$ thì $|x-6|\ge1$ hoặc $|x-7|\ge1$ nên $|x-6|^{18}+|x-7|^{25}>1$. Nếu $6<x<7$ thì $0<x-6<1$ và $0<7-x<1$ nên $|x-6|^{18}<x-6$ và $|x-7|^{25}<7-x$, suy ra $|x-6|^{18}+|x-7|^{25}<(x-6)+(7-x)=1$. Vậy phương trình có đúng 2 nghiệm là $x=6$ và $x=7$. Đáp án C.

Nhân hai vế với $-3$ ta được $21x^3+3x^2-3x+1=0$. Mặt khác $x^3-3x^2+3x-1-22x^3=-21x^3-3x^2+3x-1=-(21x^3+3x^2-3x+1)$ nên phương trình tương đương $x^3-3x^2+3x-1=22x^3\Leftrightarrow (x-1)^3=22x^3\Leftrightarrow x-1=x\sqrt[3]{22}\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{1-\sqrt[3]{22}}$. Đáp án D.