Phương trình vô tỉ

Điều kiện xác định: $x\ge5$. Phương trình tương đương $\sqrt{x-5}=0$ hoặc $x^2-11x+28=0$. Trường hợp 1: $x=5$ (thỏa điều kiện). Trường hợp 2: $x^2-11x+28=0 \Leftrightarrow x=4$ hoặc $x=7$; kết hợp điều kiện $x\ge5$ chỉ nhận $x=7$. Vậy phương trình có 2 nghiệm là $x=5$ và $x=7$.

Điều kiện $x>5$. Khi đó $\dfrac{\sqrt{x^2-25}}{\sqrt{x-5}}=\dfrac{\sqrt{(x-5)(x+5)}}{\sqrt{x-5}}=\sqrt{x+5}$. Phương trình trở thành $\sqrt{x+5}=3\sqrt{x+5}-8 \Leftrightarrow 2\sqrt{x+5}=8 \Leftrightarrow \sqrt{x+5}=4 \Leftrightarrow x=11$ (thỏa điều kiện). Vậy phương trình có đúng 1 nghiệm.

Ta có $\sqrt{x^2-14x+49}=\sqrt{(x-7)^2}=|x-7|=20$, suy ra $x-7=20$ (tức $x=27$) hoặc $x-7=-20$ (tức $x=-13$). Nghiệm lớn nhất là $x=27$.

Phương trình tương đương với hệ $x-5\ge0$ và $6x-x^2-5=(x-5)^2$. Từ phương trình thứ hai: $6x-x^2-5=x^2-10x+25 \Leftrightarrow 2x^2-16x+30=0 \Leftrightarrow x^2-8x+15=0 \Leftrightarrow x=3$ hoặc $x=5$. Kết hợp điều kiện $x\ge5$, chỉ nhận $x=5$. Vậy phương trình có đúng 1 nghiệm.

Điều kiện $x\ge1$. Hàm số $f(x)=\sqrt{x+3}+\sqrt{x-1}$ đồng biến trên $[1;+\infty)$ (tổng hai hàm đồng biến), mà $f(1)=\sqrt4+\sqrt0=2$ nên $x=1$ là nghiệm duy nhất của phương trình.

Lập phương hai vế: $x_0^3=(\sqrt5+2)-(\sqrt5-2)-3\sqrt[3]{(\sqrt5+2)(\sqrt5-2)}\cdot x_0=4-3x_0$. Suy ra $x_0^3+3x_0-4=0 \Leftrightarrow (x_0-1)\left(x_0^2+x_0+4\right)=0$. Vì $x_0^2+x_0+4>0$ với mọi $x_0$ nên $x_0=1$. Thay $x=1$ vào phương án A: $\sqrt{0}+\sqrt{1}=0+1=1$, đúng. Vậy $x_0$ là nghiệm của phương trình ở đáp án A.

Lập phương hai vế: $(x+36)-(x-1)-3\sqrt[3]{(x+36)(x-1)}\left[\sqrt[3]{x+36}-\sqrt[3]{x-1}\right]=1 \Leftrightarrow 37-3\sqrt[3]{(x+36)(x-1)}=1 \Leftrightarrow \sqrt[3]{(x+36)(x-1)}=12 \Leftrightarrow (x+36)(x-1)=1728$. Khai triển: $x^2+35x-36=1728 \Leftrightarrow x^2+35x-1764=0$, có $\Delta=35^2+4\cdot1764=8281=91^2$, cho $x=\dfrac{-35\pm91}{2}$, tức $x=28$ hoặc $x=-63$. Thử lại cả hai vào phương trình ban đầu đều thỏa mãn. Vậy phương trình có 2 nghiệm.

Đặt $a=\sqrt{x-2},\,b=\sqrt{y-1},\,c=\sqrt{z-4}$ ($a,b,c\ge0$), suy ra $x=a^2+2,\,y=b^2+1,\,z=c^2+4$. Phương trình trở thành $a+b+c=\dfrac12\left(a^2+b^2+c^2+7\right)-2$, tức $2a+2b+2c=a^2+b^2+c^2+3$, hay $(a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2=0$. Suy ra $a=b=c=1$, do đó $x=3,\,y=2,\,z=5$. Vậy $P=3\cdot3+2\cdot2+5=18$.

Điều kiện $x>8$, khi đó $\dfrac{\sqrt{x^2-64}}{\sqrt{x-8}}=\dfrac{\sqrt{(x-8)(x+8)}}{\sqrt{x-8}}=\sqrt{x+8}$. Phương trình trở thành $\sqrt{x+8}=4\sqrt{x+8}-15\Leftrightarrow 3\sqrt{x+8}=15\Leftrightarrow \sqrt{x+8}=5\Leftrightarrow x=17$ (thỏa mãn $x>8$). Vậy phương trình có 1 nghiệm. Đáp án A.

Ta có $\sqrt{x^2-18x+81}=\sqrt{(x-9)^2}=|x-9|=24\Leftrightarrow \begin{cases}x-9=24\Rightarrow x=33\\x-9=-24\Rightarrow x=-15\end{cases}$. Nghiệm lớn nhất là $x=33$. Đáp án B.

Phương trình tương đương với $\begin{cases}x-7\ge0\\8x-x^2-7=(x-7)^2\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x\ge7\\x^2-11x+28=0\end{cases}$. Phương trình $x^2-11x+28=0$ có hai nghiệm $x=4$ và $x=7$, kết hợp điều kiện $x\ge7$ chỉ nhận $x=7$. Vậy phương trình có 1 nghiệm. Đáp án C.

Điều kiện $x\ge3$. Xét hàm số $f(x)=\sqrt{x+5}+\sqrt{x-3}$ đồng biến trên $[3;+\infty)$ nên với mọi $x\ge3$ ta có $f(x)\ge f(3)=\sqrt8+0=2\sqrt2>2$. Do đó phương trình đã cho vô nghiệm. Đáp án D.

Đặt $a=\sqrt[3]{x+40}$, $b=\sqrt[3]{x+3}$ thì $a-b=1$ và $a^3-b^3=37$. Vì $a^3-b^3=(a-b)^3+3ab(a-b)=1+3ab$ nên $1+3ab=37\Leftrightarrow ab=12\Leftrightarrow (x+40)(x+3)=1728$. Suy ra $x^2+43x-1608=0$ có $\Delta=1849+6432=8281=91^2$, cho $x=\dfrac{-43\pm91}{2}$, tức $x=24$ hoặc $x=-67$. Thử lại, cả hai đều thỏa mãn phương trình ban đầu. Vậy phương trình có 2 nghiệm. Đáp án A.

Đặt $t=\sqrt{8-x}+\sqrt{8+x}$ ($t\ge0$, $-8\le x\le8$). Ta có $t^2=16+2\sqrt{64-x^2}\Rightarrow \sqrt{64-x^2}=\dfrac{t^2-16}{2}$. Phương trình trở thành $t+\dfrac{t^2-16}{2}=4\Leftrightarrow t^2+2t-24=0\Leftrightarrow t=4$ (nhận, do $t\ge0$) hoặc $t=-6$ (loại). Với $t=4$ ta cần $\dfrac{t^2-16}{2}=0\ge0$ (thỏa), suy ra $\sqrt{64-x^2}=0\Leftrightarrow x=\pm8$. Vậy phương trình có 2 nghiệm nguyên. Đáp án B.

Điều kiện $x\ge-31$. Hàm số $y=f(x)=\sqrt[3]{x+70}+\sqrt{x+31}$ đồng biến trên $[-31;+\infty)$. Ta có $f(-6)=\sqrt[3]{64}+\sqrt{25}=4+5=9$ nên $x=-6$ là nghiệm duy nhất của phương trình. Đáp án C.

Ta có vế trái $=\sqrt{(x-3)^2+9}+\sqrt{(x-3)^2+1}\ge3+1=4$, dấu bằng xảy ra khi $x=3$. Vế phải $=-x^2+6x-5=-(x-3)^2+4\le4$, dấu bằng xảy ra khi $x=3$. Do đó vế trái $\ge4\ge$ vế phải với mọi $x$, hai vế cùng bằng $4$ chỉ khi $x=3$. Vậy phương trình có đúng 1 nghiệm. Đáp án D.