Phương trình nghiệm nguyên

Ta có $P=\dfrac{5(2a-1)+21}{2a-1}=5+\dfrac{21}{2a-1}$. Để $P$ nguyên thì $(2a-1)$ phải là ước của $21$, tức $2a-1\in\{\pm1;\pm3;\pm7;\pm21\}$, cho $8$ giá trị nguyên của $a$.

Ta viết lại: $(x-3)^2+(y+1)^2=0$. Vì tổng hai bình phương bằng $0$ nên $x-3=0$ và $y+1=0$, suy ra $x=3,\,y=-1$. Vậy $P=2\cdot3-3\cdot(-1)=6+3=9$.

Phương trình tương đương $(x-1)(y-1)=3$. Vì $3$ có 4 cách phân tích thành tích hai số nguyên: $1\cdot3,\,3\cdot1,\,(-1)\cdot(-3),\,(-3)\cdot(-1)$, ta được 4 cặp nghiệm $(x;y)\in\{(2;4);(4;2);(0;-2);(-2;0)\}$.

Phương trình tương đương $x(x-1)+y(y-1)=217$. Với $x,y$ nguyên, mỗi tích $x(x-1)$ và $y(y-1)$ là tích của hai số nguyên liên tiếp nên luôn là số chẵn. Do đó vế trái luôn chẵn, trong khi $217$ là số lẻ — vô lí. Vậy phương trình không có nghiệm nguyên.

Viết lại: $(2x-y)^2+x^2=169$. Vì $169=13^2=5^2+12^2$, xét các trường hợp với $x>0$: $x=5,\,|2x-y|=12\Rightarrow y=-2$(loại) hoặc $y=22$; $x=12,\,|2x-y|=5\Rightarrow y=19$ hoặc $y=29$; $x=13,\,|2x-y|=0\Rightarrow y=26$. Vậy có 4 nghiệm nguyên dương: $(5;22),(12;19),(12;29),(13;26)$.

Nhóm $(x+1)(x+4)=x^2+5x+4$, $(x+2)(x+3)=x^2+5x+6$. Đặt $t=x^2+5x+5$, ta có $y^2=(t-1)(t+1)=t^2-1$, tức $(t-y)(t+y)=1$. Vì $t,y$ nguyên nên $t-y=t+y=1$ hoặc $t-y=t+y=-1$, cho $t=1,y=0$ hoặc $t=-1,y=0$. Với $t=1$: $x^2+5x+4=0\Rightarrow x=-1$ hoặc $x=-4$. Với $t=-1$: $x^2+5x+6=0\Rightarrow x=-2$ hoặc $x=-3$. Vậy có 4 cặp nghiệm: $(-1;0),(-4;0),(-2;0),(-3;0)$.

Với $x=y=z\ne0$, mỗi số hạng $\dfrac{xy}{z}=\dfrac{zx}{y}=\dfrac{yz}{x}=x$, nên đẳng thức trở thành $3x=3\Rightarrow x=1$. Vậy $x=y=z=1$, suy ra $T=1^2+2\cdot1^2+3\cdot1^2=6$. (Các bộ $(1,-1,-1)$ và hoán vị cũng thỏa mãn đẳng thức ban đầu và đều cho cùng $T=6$.)

Xem phương trình là bậc hai ẩn $x$, biến đổi được thành $(x-y-3)(x+3y+1)=-7$. Vì $-7$ có các cách phân tích $1\times(-7),(-1)\times7,7\times(-1),(-7)\times1$, giải các hệ tương ứng ta được các cặp $(x;y)\in\{(1;-3),(-3;1),(3;1),(7;-3)\}$ (có thể kiểm tra trực tiếp cả 4 cặp đều thỏa mãn phương trình ban đầu). Tính $xy$ cho từng cặp: $-3,\,-3,\,3,\,-21$. Vậy giá trị nhỏ nhất của $xy$ là $-21$.

Ta có $P=\dfrac{4a+17}{2a-3}=2+\dfrac{23}{2a-3}$. Vì $23$ là số nguyên tố và $2a-3$ luôn là số lẻ nên $P\in\mathbb Z\Leftrightarrow 2a-3$ là ước lẻ của $23\Leftrightarrow 2a-3\in\{\pm1;\pm23\}$, cho $a\in\{2;1;13;-10\}$. Vậy có 4 giá trị nguyên của $a$. Đáp án A.

Từ giả thiết ta có $(x+4)^2+(y-2)^2=0\Leftrightarrow \begin{cases}x+4=0\\y-2=0\end{cases}\Rightarrow x=-4;y=2$. Vậy $P=3\cdot(-4)-2\cdot2=-16$. Đáp án B.

Phương trình tương đương với $x(y+2)-3(y+2)=5\Leftrightarrow (x-3)(y+2)=5$. Do $5$ là số nguyên tố nên $(x-3;y+2)\in\{(1;5);(5;1);(-1;-5);(-5;-1)\}$, tương ứng $(x;y)\in\{(4;3);(8;-1);(2;-7);(-2;-3)\}$. Vậy phương trình có 4 nghiệm nguyên. Đáp án C.

Phương trình đã cho tương đương với $x(x-1)+y(y-1)=301$. Khi $x,y\in\mathbb Z$, mỗi số $x(x-1)$ và $y(y-1)$ là tích của hai số nguyên liên tiếp nên luôn là số chẵn, do đó vế trái chia hết cho $2$. Trong khi đó $301$ là số lẻ. Vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên. Đáp án D.

Phương trình tương đương với $(x-y)^2+y^2=25$. Với $y=3$: $(x-y)^2=16\Rightarrow x-y=\pm4\Rightarrow x=7$ (nhận) hoặc $x=-1$ (loại). Với $y=4$: $(x-y)^2=9\Rightarrow x-y=\pm3\Rightarrow x=7$ hoặc $x=1$ (đều nhận). Với $y=5$: $(x-y)^2=0\Rightarrow x=5$ (nhận). Vậy các nghiệm nguyên dương là $(7;3),(7;4),(1;4),(5;5)$, tức có 4 nghiệm. Đáp án A.

Đặt $t=y^2$ ($t\ge0$), ta có $x^2=(t+2)^2-t=t^2+3t+4$. Nhân $4$ hai vế: $4x^2=4t^2+12t+16=(2t+3)^2+7\Leftrightarrow (2x-2t-3)(2x+2t+3)=7$. Vì $7$ là số nguyên tố, xét các trường hợp ta chỉ nhận được $t=0,x=\pm2$ (các trường hợp còn lại cho $t<0$, loại). Với $t=0\Rightarrow y=0$. Vậy phương trình có 2 nghiệm nguyên $(x;y)=(2;0),(-2;0)$. Đáp án B.

Phương trình tương đương với $x^2+2x+4=y^2+4y+4=(y+2)^2\Leftrightarrow (x+1)^2+3=(y+2)^2\Leftrightarrow (y+2-x-1)(y+2+x+1)=3\Leftrightarrow (y-x+1)(y+x+3)=3$. Với $x,y$ nguyên dương thì $y+x+3\ge5>3$, mà $3$ chỉ có các ước là $\pm1,\pm3$, mâu thuẫn. Vậy phương trình không có nghiệm nguyên dương. Đáp án C.

Xem phương trình là phương trình bậc hai ẩn $y$: $y^2-2x^3y+2x^6-729=0$. Ta có $\Delta^\prime=x^6-(2x^6-729)=729-x^6\ge0\Leftrightarrow x^6\le3^6\Leftrightarrow |x|\le3\Rightarrow x\in\{0;\pm1;\pm2;\pm3\}$. Với $x=0$: $\Delta^\prime=729=27^2\Rightarrow y=\pm27$ (nhận). Với $x=\pm1$: $\Delta^\prime=728$ không là số chính phương. Với $x=\pm2$: $\Delta^\prime=665$ không là số chính phương. Với $x=\pm3$: $\Delta^\prime=0\Rightarrow y=x^3$, tức $x=3\Rightarrow y=27$ và $x=-3\Rightarrow y=-27$. Vậy có 4 cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn: $(0;27),(0;-27),(3;27),(-3;-27)$. Đáp án D.