Phương trình chứa tham số

Theo định lí Vi-ét, tổng hai nghiệm $x_1+x_2=5$. Vì $x_1=1$ nên $x_2=5-1=4$.

Phương trình vô nghiệm khi $\Delta^\prime=m^2+5m-6<0 \Leftrightarrow (m-1)(m+6)<0 \Leftrightarrow -6<m<1$. Các giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn là $\{-5;-4;-3;-2;-1;0\}$, có tất cả $6$ giá trị.

Vì $1$ và $-(m^4+5)$ trái dấu với mọi $m$ nên phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu. Theo Vi-ét: $x_1+x_2=m^2-2m+17=(m-1)^2+16\ge16$. Vậy giá trị nhỏ nhất bằng $16$, đạt tại $m=1$.

Xét $x^2-7x+41=0$ có $\Delta=49-164<0$ nên vô nghiệm, do đó phương trình thứ nhất có nghiệm duy nhất $x=2$. Thay $x=2$ vào phương trình thứ hai: $4-2m+m^2-5m+8=0 \Leftrightarrow m^2-7m+12=0 \Leftrightarrow m=3$ hoặc $m=4$. Vậy có 2 giá trị của $m$.

Theo Vi-ét: $x_1+x_2=23$, $x_1x_2=-(m^2+14)$. Vậy $P=23-(m^2+14)=9-m^2\le9$. Giá trị lớn nhất $P=9$ đạt được khi $m=0$.

Theo Vi-ét: $x_1+x_2=2a-5$ và $x_1x_2=4a-14$. Từ $x_1+x_2=2a-5$ suy ra $2a=x_1+x_2+5$. Thay vào $x_1x_2=2(2a)-14=2(x_1+x_2+5)-14=2(x_1+x_2)-4$. Vậy $2(x_1+x_2)-x_1x_2=4$.

Thử $x=1$: $1-(k-4)+k-5=0$ đúng với mọi $k$, nên $x=1$ luôn là một nghiệm. Theo Vi-ét, $x_1x_2=k-5$ nên nghiệm còn lại $x_2=k-5$. Để có hai nghiệm dương phân biệt, cần $x_2>0$ và $x_2\ne x_1=1$, tức $k-5>0$ và $k-5\ne1$, hay $k>5$ và $k\ne6$.

Phương trình có vô số nghiệm khi hệ số của $x$ và hạng tử tự do đồng thời bằng $0$: $(m-2)(m^2+m)=0$ và $m(m^2-5m+6)=0$. Từ điều kiện thứ nhất: $m\in\{2;0;-1\}$. Từ điều kiện thứ hai: $m\in\{0;2;3\}$. Giá trị $m$ thỏa mãn cả hai điều kiện: $m=0$ và $m=2$. Vậy có $2$ giá trị của $m$.

Theo định lí Viet ta có $x_1+x_2=7$. Với $x_1=2\Rightarrow x_2=7-2=5$. Đáp án A.

$\Delta^\prime=(m+1)^2-(3m+7)=m^2-m-6=(m-3)(m+2)$. Phương trình vô nghiệm khi $\Delta^\prime<0\Leftrightarrow -2<m<3$. Các giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn là $-1;0;1;2$. Vậy có 4 giá trị. Đáp án B.

Do $1$ và $-(m^4+11)$ trái dấu với mọi $m$ nên phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu $x_1,x_2$. Theo định lí Viet: $x_1+x_2=m^2-6m+30=(m-3)^2+21\ge21$. Dấu bằng xảy ra khi $m=3$. Đáp án C.

Phương trình $x^2-9x+50=0$ có $\Delta=81-200=-119<0$ nên phương trình đầu có nghiệm thực duy nhất $x=3$. Thay $x=3$ vào phương trình sau: $9-3m+m^2-8m+15=0\Leftrightarrow m^2-11m+24=0\Leftrightarrow m=3$ hoặc $m=8$. Vậy có 2 giá trị của $m$. Đáp án D.

Ta có $\Delta^\prime=(m+3)^2-(6m-m^2)=2m^2+9>0$ với mọi $m$ nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. $P^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=4(m+3)^2-4(6m-m^2)=8m^2+36\ge36\Rightarrow P\ge6$. Dấu bằng xảy ra khi $m=0$. Đáp án A.

Vì (1) có tích hai nghiệm bằng $-\dfrac32<0$ và (2) có tích hai nghiệm bằng $-\dfrac23<0$ nên mỗi phương trình có hai nghiệm trái dấu, do đó $\alpha>0,\beta>0$ tồn tại duy nhất. Từ $2\alpha^2+a\alpha-3=0$, chia hai vế cho $\alpha^2$ ta được $-3\cdot\dfrac{1}{\alpha^2}+a\cdot\dfrac1\alpha+2=0$, tức $\dfrac1\alpha$ là nghiệm của (2). Vì (2) có hai nghiệm trái dấu và $\dfrac1\alpha>0$ nên $\beta=\dfrac1\alpha$. Vậy $\alpha+\beta=\alpha+\dfrac1\alpha\ge2$ theo bất đẳng thức Cô-si (dấu bằng khi $\alpha=1$, ứng với $a=1$). Đáp án B.

Ta có $x_1+x_2=-4$; $x_1x_2=\dfrac{-2m}{m^2+1}$ nên $x_1^2+x_2^2=16+\dfrac{4m}{m^2+1}$. Vì $(m-1)^2\ge0\Leftrightarrow m^2+1\ge2m$ và $(m+1)^2\ge0\Leftrightarrow m^2+1\ge-2m$ nên $-\dfrac12\le\dfrac{m}{m^2+1}\le\dfrac12$ với mọi $m$, do đó $x_1^2+x_2^2\le16+4\cdot\dfrac12=18$. Dấu bằng xảy ra khi $m=1$. Đáp án C.

Giả sử $x_0$ là nghiệm chung của hai phương trình. Trừ vế theo vế: $2x_0+a-5-(a-1)x_0-4=0\Leftrightarrow (3-a)x_0+(a-9)=0$. Thay vào phương trình đầu và rút gọn dẫn tới $(a-6)(a-5)(a+3)=0\Leftrightarrow a=6$ hoặc $a=5$ hoặc $a=-3$. Thử lại: với $a=6$ hai phương trình có nghiệm chung $x=-1$; với $a=5$ có nghiệm chung $x=-2$; với $a=-3$ có nghiệm chung $x=2$. Vậy có 3 giá trị của $a$ thỏa mãn. Đáp án D.