Bình phương một tổng$(a_1+a_2+\cdots+a_n)^2 = a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2 + 2a_1(a_2+a_3+\cdots+a_n)+2a_2(a_3+\cdots+a_n)+\cdots+2a_{n-1}a_n$
3
Tổng các lập phương$a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)$
4
Hiệu các lập phương$a^3-b^3=(a-b)^3+3ab(a-b)$
5
Tổng, hiệu hai lũy thừa cùng bậc$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+ba^{n-2}+\cdots+b^{n-1})$ và $a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-ba^{n-2}+\cdots+b^{n-1})$ với $n$ lẻ.
6
Căn bậc hai
Với $a,b\ge 0$ thì $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$
Nếu $b\ge 0$ thì $\sqrt{a^2b}=|a|\sqrt{b}$
Nếu $ab\ge 0$ thì $a\sqrt{\dfrac{b}{a}} = \sqrt{ab}$ khi $a>0$, và $=-\sqrt{ab}$ khi $a<0$
7
Lập phương của tổng – hiệu căn bậc ba
Nếu $x=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}$ thì $x^3=a+b+3\sqrt[3]{ab}\cdot x$
Nếu $x=\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}$ thì $x^3=a-b-3\sqrt[3]{ab}\cdot x$
Chú ý: học sinh thường mắc sai lầm ở các công thức 6, 7 khi áp dụng cho biểu thức chứa ẩn — cần kiểm tra điều kiện dấu trước khi biến đổi. Ví dụ $(x-9)\sqrt{\dfrac{x+3}{x-9}} = \sqrt{(x-9)(x+3)}$ chỉ đúng khi $x-9>0$.
💾 Đăng nhập để lưu tiến độ luyện tập vĩnh viễn vào tài khoản của bạn — nếu chưa đăng nhập, tiến độ vẫn được ghi nhớ tạm trên trình duyệt này.Đăng nhập ngay
Chọn dạng để luyện tập
Lựa chọn dạng phù hợp để bắt đầu luyện tập hiệu quả
Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức
20 câuChưa luyện
Bấm chọn đáp án để chấm ngay, bấm "Xem hướng dẫn giải" để đọc lời giải chi tiết.
Lời giải: Ta có $f(2)+f(-2) = (4a+2b+c)+(4a-2b+c) = 8a+2c$. Đáp án B.
Câu 2
Tính giá trị của biểu thức $M = \sqrt{4-2\sqrt3} - 31$.
Lời giải: Ta có $4-2\sqrt3 = (\sqrt3-1)^2$, nên $\sqrt{4-2\sqrt3} = |\sqrt3-1| = \sqrt3-1$ (vì $\sqrt3>1$). Vậy $M = (\sqrt3-1)-31 = \sqrt3-32$. Đáp án A.
Câu 3
$x_0 = \sqrt{5+2\sqrt6} - \sqrt{5-2\sqrt6}$ là nghiệm của phương trình nào sau đây?
Lời giải: Ta có $5\pm2\sqrt6 = (\sqrt3\pm\sqrt2)^2$, nên $x_0 = (\sqrt3+\sqrt2)-(\sqrt3-\sqrt2) = 2\sqrt2$. Thay vào: $x_0^2-2\sqrt2\,x_0 = 8-2\sqrt2\cdot2\sqrt2 = 8-8=0$. Đáp án B.
Câu 4
Cho $a\lt 0, b\lt 0$. Rút gọn biểu thức $P = \dfrac{\sqrt{ab}-\sqrt{b^2}}{b} - \sqrt{\dfrac{a}{b}}$.
Lời giải: Vì $a,b<0$ nên $\sqrt{ab} = \sqrt{(-a)(-b)} = \sqrt{-a}\cdot\sqrt{-b}$ và $\sqrt{b^2}=-b$. $P = \dfrac{\sqrt{-a}\sqrt{-b}+b}{b} - \sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{-a}}{\sqrt{-b}} + 1 - \sqrt{\dfrac{a}{b}}$. Mà $\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\sqrt{\dfrac{-a}{-b}}=\dfrac{\sqrt{-a}}{\sqrt{-b}}$, hai số hạng này triệt tiêu nhau. Vậy $P = 1$. Đáp án D.
Lời giải: Nhân liên hợp từng số hạng: $\dfrac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}} = \sqrt{k+1}-\sqrt{k}$. Các số hạng triệt tiêu theo kiểu "domino": $M = (\sqrt2-1)+(\sqrt3-\sqrt2)+\cdots+(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) = \sqrt{n+1}-1$. Đáp án D.
Câu 6
Nếu $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $a+b+c+11=6\sqrt{a-2}+4\sqrt{b-1}+2\sqrt{c}$ thì $a+b+c$ bằng
Lời giải: Biến đổi giả thiết thành tổng ba bình phương bằng $0$:
$$(a-2-6\sqrt{a-2}+9)+(b-1-4\sqrt{b-1}+4)+(c-2\sqrt{c}+1)=0$$
$$\Leftrightarrow \left(\sqrt{a-2}-3\right)^2+\left(\sqrt{b-1}-2\right)^2+\left(\sqrt{c}-1\right)^2=0$$
Suy ra $\sqrt{a-2}=3,\ \sqrt{b-1}=2,\ \sqrt{c}=1$, tức là $a=11,\ b=5,\ c=1$. Vậy $a+b+c=17$. Đáp án C.
Câu 7
Tính giá trị của biểu thức $a=\sqrt[3]{1+\dfrac{\sqrt{84}}{9}}+\sqrt[3]{1-\dfrac{\sqrt{84}}{9}}$
Lời giải: Đặt $x=1+\dfrac{\sqrt{84}}{9},\ y=1-\dfrac{\sqrt{84}}{9}$. Ta có $x+y=2$ và $xy=1-\dfrac{84}{81}=-\dfrac{1}{27}$.
Khi đó $a^3=x+y+3\sqrt[3]{xy}\cdot a=2+3a\cdot\left(-\dfrac13\right)=2-a$
$\Rightarrow a^3+a-2=0\Leftrightarrow(a-1)\left(a^2+a+2\right)=0$.
Vì $a^2+a+2=\left(a+\dfrac12\right)^2+\dfrac74>0$ nên $a=1$. Đáp án A.
Câu 8
Cho $a,b,c$ là các số thỏa mãn $abc\ne0$ và $a+b+c=0$. Tính giá trị của biểu thức
$$M=\dfrac{1}{b^2+c^2-a^2}+\dfrac{1}{c^2+a^2-b^2}+\dfrac{1}{a^2+b^2-c^2}$$
Lời giải: Từ $a+b+c=0\Rightarrow b+c=-a\Rightarrow(b+c)^2=a^2\Rightarrow b^2+c^2-a^2=-2bc$.
Tương tự $c^2+a^2-b^2=-2ac$ và $a^2+b^2-c^2=-2ab$.
Do đó $M=\dfrac{1}{-2bc}+\dfrac{1}{-2ac}+\dfrac{1}{-2ab}=\dfrac{-1}{2abc}(a+b+c)=0$ (vì $a+b+c=0$). Đáp án C.
Câu 9
Tính giá trị của biểu thức $P=1.2+2.3+3.4+\ldots+101.102$
Lời giải: Nhân cả hai vế với $3$ và viết $3=(n+2)-(n-1)$ cho từng số hạng $n(n+1)$ để rút gọn kiểu "domino":
$$3P=1.2.3+2.3.(4-1)+3.4.(5-2)+\ldots+101.102.(103-100)=101.102.103$$
$$\Rightarrow P=\dfrac{101.102.103}{3}=353702$$
Đáp án B.
Câu 10
Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn điều kiện $2a^2+2b^2+4c^2-4bc-4ac+2ab+2b-6a+10=0$. Tính giá trị của biểu thức
$$Q=(a-2)^{100}+(b+1)^{200}+(c-1)^{201}$$
Lời giải: Biến đổi vế trái thành tổng các bình phương bằng $0$:
$$(a+b-2c)^2+(a-3)^2+(b+1)^2=0$$
$$\Rightarrow \begin{cases}a+b-2c=0\\ a-3=0\\ b+1=0\end{cases}\Rightarrow a=3,\ b=-1,\ c=1$$
Vậy $Q=(3-2)^{100}+(-1+1)^{200}+(1-1)^{201}=1^{100}+0+0=1$. Đáp án C.
Câu 11
Giá trị của biểu thức $\dfrac{\sqrt{80}-\sqrt{125}+\sqrt{45}+\sqrt{20}}{2\sqrt5}$ là
Lời giải: Ta có $\sqrt{80}=4\sqrt5$; $\sqrt{125}=5\sqrt5$; $\sqrt{45}=3\sqrt5$; $\sqrt{20}=2\sqrt5$. Do đó tử số bằng $4\sqrt5-5\sqrt5+3\sqrt5+2\sqrt5=4\sqrt5$. Vậy giá trị của biểu thức là $\dfrac{4\sqrt5}{2\sqrt5}=2$. Đáp án C.
Câu 12
Cho $a\gt \dfrac75$. Tính giá trị của biểu thức $E=|a|-\sqrt{1-2a+a^2}$.
Lời giải: Vì $a>\dfrac75>0$ nên $|a|=a$. Lại có $1-2a+a^2=(a-1)^2$ nên $\sqrt{1-2a+a^2}=|a-1|=a-1$ (do $a>\dfrac75>1$). Vậy $E=a-(a-1)=1$. Đáp án D.
Câu 13
Tính giá trị của biểu thức $P=\sqrt{\dfrac{36}{\left(\sqrt3-2\right)^2}}-\sqrt{\dfrac{25}{\left(\sqrt3+2\right)^2}}$.
Lời giải: Ta có $P=\dfrac{6}{\left|\sqrt3-2\right|}-\dfrac{5}{\left|\sqrt3+2\right|}=\dfrac{6}{2-\sqrt3}-\dfrac{5}{2+\sqrt3}$ (vì $\sqrt3<2$). Trục căn thức ở mẫu: $\dfrac{6}{2-\sqrt3}=\dfrac{6\left(2+\sqrt3\right)}{4-3}=12+6\sqrt3$ và $\dfrac{5}{2+\sqrt3}=\dfrac{5\left(2-\sqrt3\right)}{4-3}=10-5\sqrt3$. Vậy $P=\left(12+6\sqrt3\right)-\left(10-5\sqrt3\right)=2+11\sqrt3$. Đáp án C.
Câu 14
Biết rằng $\sqrt{\left(2+\sqrt5\right)^2}+\sqrt{\left(2-\sqrt5\right)^2}=a+b\sqrt5$ với $a,b$ là các số nguyên. Tính $199a+3b$.
Lời giải: Ta có $\sqrt{\left(2+\sqrt5\right)^2}=\left|2+\sqrt5\right|=2+\sqrt5$ và $\sqrt{\left(2-\sqrt5\right)^2}=\left|2-\sqrt5\right|=\sqrt5-2$ (vì $\sqrt5>2$). Do đó tổng bằng $\left(2+\sqrt5\right)+\left(\sqrt5-2\right)=2\sqrt5=0+2\sqrt5$, suy ra $a=0,\ b=2$. Vậy $199a+3b=199\cdot0+3\cdot2=6$. Đáp án D.
Câu 15
Rút gọn biểu thức $M=\left(4+\sqrt{15}\right)\left(\sqrt{10}-\sqrt6\right)\sqrt{4-\sqrt{15}}$ ta được
Lời giải: Ta có $\sqrt{10}-\sqrt6=\sqrt2\left(\sqrt5-\sqrt3\right)$. Lại có $\left(4+\sqrt{15}\right)\sqrt{4-\sqrt{15}}=\sqrt{4+\sqrt{15}}\cdot\sqrt{\left(4+\sqrt{15}\right)\left(4-\sqrt{15}\right)}=\sqrt{4+\sqrt{15}}$ (vì $16-15=1$). Do đó $M=\sqrt2\cdot\sqrt{4+\sqrt{15}}\cdot\left(\sqrt5-\sqrt3\right)=\sqrt{8+2\sqrt{15}}\left(\sqrt5-\sqrt3\right)$. Mà $8+2\sqrt{15}=\left(\sqrt5+\sqrt3\right)^2$ nên $M=\left(\sqrt5+\sqrt3\right)\left(\sqrt5-\sqrt3\right)=5-3=2$. Đáp án B.
Câu 16
Cho $a=\sqrt5-\sqrt{17-4\sqrt{9+4\sqrt5}}$. Tính giá trị của biểu thức $P=a^4-3a^2+3a+20$.
Lời giải: Ta có $9+4\sqrt5=5+4\sqrt5+4=\left(\sqrt5+2\right)^2$ nên $\sqrt{9+4\sqrt5}=\sqrt5+2$. Khi đó $17-4\left(\sqrt5+2\right)=9-4\sqrt5=\left(\sqrt5-2\right)^2$, suy ra $\sqrt{17-4\sqrt{9+4\sqrt5}}=\sqrt5-2$. Do đó $a=\sqrt5-\left(\sqrt5-2\right)=2$. Vậy $P=2^4-3\cdot2^2+3\cdot2+20=16-12+6+20=30$. Đáp án A.
Câu 17
Rút gọn biểu thức $Q=\sqrt{\sqrt5-\sqrt{3-\sqrt{29-12\sqrt5}}}$.
Lời giải: Ta có $29-12\sqrt5=20-12\sqrt5+9=\left(2\sqrt5-3\right)^2$ nên $\sqrt{29-12\sqrt5}=2\sqrt5-3$ (vì $2\sqrt5>3$). Suy ra $3-\left(2\sqrt5-3\right)=6-2\sqrt5=\left(\sqrt5-1\right)^2$, do đó $\sqrt{3-\sqrt{29-12\sqrt5}}=\sqrt5-1$. Vậy $Q=\sqrt{\sqrt5-\left(\sqrt5-1\right)}=\sqrt1=1$. Đáp án B.
Câu 18
Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $\sqrt{a-3}+\sqrt{b-2}+\sqrt{c-1}=\dfrac{a+b+c-3}{2}$. Tính $S=a+2b+3c$.
Lời giải: Điều kiện $a\ge3,\ b\ge2,\ c\ge1$. Nhân hai vế với $2$ rồi chuyển vế, giả thiết trở thành $\left(a-3-2\sqrt{a-3}+1\right)+\left(b-2-2\sqrt{b-2}+1\right)+\left(c-1-2\sqrt{c-1}+1\right)=0$ $\Leftrightarrow\left(\sqrt{a-3}-1\right)^2+\left(\sqrt{b-2}-1\right)^2+\left(\sqrt{c-1}-1\right)^2=0$. Tổng ba số không âm bằng $0$ nên $\begin{cases}\sqrt{a-3}=1\\\sqrt{b-2}=1\\\sqrt{c-1}=1\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}a=4\\b=3\\c=2\end{cases}$ Vậy $S=4+2\cdot3+3\cdot2=16$. Đáp án A.
Câu 19
Cho $a,b,c,x,y,z$ là các số thực khác $0$ thỏa mãn $\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}+\dfrac{c}{z}=0$ và $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$. Tính giá trị của biểu thức $Q=\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}$.
Lời giải: Bình phương đẳng thức thứ hai ta được $\left(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}\right)^2=Q+2\left(\dfrac{xy}{ab}+\dfrac{yz}{bc}+\dfrac{zx}{ca}\right)=1$. Mặt khác $\dfrac{xy}{ab}+\dfrac{yz}{bc}+\dfrac{zx}{ca}=\dfrac{xyz}{abc}\left(\dfrac{c}{z}+\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}\right)=\dfrac{xyz}{abc}\cdot0=0$. Vậy $Q=1$. Đáp án C.
Câu 20
Rút gọn biểu thức $Q=\dfrac{3}{\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}+1}-\dfrac{1}{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1}$.
Lời giải: Đặt $t=\sqrt[3]{2}$, khi đó $t^3=2$ và $\sqrt[3]{4}=t^2$. Vì $(t+1)\left(t^2-t+1\right)=t^3+1=3$ nên $\dfrac{3}{t^2-t+1}=t+1$. Vì $(t-1)\left(t^2+t+1\right)=t^3-1=1$ nên $\dfrac{1}{t^2+t+1}=t-1$. Vậy $Q=(t+1)-(t-1)=2$. Đáp án B.
Dạng 2: Biến đổi, rút gọn biểu thức
20 câuChưa luyện
Bấm chọn đáp án để chấm ngay, bấm "Xem hướng dẫn giải" để đọc lời giải chi tiết.
Rút gọn biểu thức $E=(2a+b-4c)-(a+2b-3c)+c$ ta được
Lời giải: $E=(2a+b-4c)-(a+2b-3c)+c=2a+b-4c-a-2b+3c+c=a-b$. Đáp án B.
Câu 2
Phép biến đổi nào dưới đây là SAI?
Lời giải: Biểu thức $\sqrt{(a-1)(a-3)}$ có tập xác định $a\le1$ hoặc $a\ge3$, còn $\sqrt{a-1}\cdot\sqrt{a-3}$ chỉ xác định khi $a\ge3$.
Hai tập xác định khác nhau nên phép biến đổi D làm thay đổi tập xác định — đây là phép biến đổi sai. Đáp án D.
Câu 3
Cho $a\lt 0,\ b\ne0$. Rút gọn biểu thức $E=\dfrac{\sqrt{64a^{10}b^{54}}}{\sqrt{256a^{12}b^{54}}}$
Lời giải: $E=\sqrt{\dfrac{64a^{10}b^{54}}{256a^{12}b^{54}}}=\sqrt{\dfrac{1}{4a^2}}=\dfrac{1}{2|a|}=\dfrac{1}{-2a}=\dfrac{-1}{2a}$ (vì $a<0$ nên $|a|=-a$). Đáp án B.
Câu 4
Cho $a\ne0,\ a\ne1,\ a\ne3$. Biểu thức $M=\dfrac{2a}{a^2-3a}+\dfrac{a}{a-1}+\dfrac{2a}{a^2-4a+3}$ sau khi rút gọn bằng
Lời giải: $M=\dfrac{2}{a-3}+\dfrac{a}{a-1}+\dfrac{2a}{(a-1)(a-3)}=\dfrac{2(a-1)+a(a-3)+2a}{(a-1)(a-3)}=\dfrac{a^2+a-2}{(a-1)(a-3)}=\dfrac{(a-1)(a+2)}{(a-1)(a-3)}=\dfrac{a+2}{a-3}$. Đáp án C.
Câu 5
Rút gọn biểu thức $P=\left(\dfrac{a+1}{a-1}-\dfrac{a-1}{a+1}\right):\left(\dfrac{2}{a^2-1}-\dfrac{a}{a-1}+\dfrac{1}{a+1}\right)$
Lời giải: $P=\dfrac{(a+1)^2-(a-1)^2}{a^2-1}:\dfrac{2-a(a+1)+(a-1)}{a^2-1}=\dfrac{4a}{a^2-1}\cdot\dfrac{a^2-1}{2-a(a+1)+a-1}=\dfrac{4a}{1-a^2}$. Đáp án C.
Câu 6
Rút gọn biểu thức $A=\sqrt{a+2\sqrt{a-1}}-\sqrt{a+8+6\sqrt{a-1}}$ (với $a\ge1$)
Lời giải: $A=\sqrt{(a-1)+2\sqrt{a-1}+1}-\sqrt{(a-1)+6\sqrt{a-1}+9}=\sqrt{\left(\sqrt{a-1}+1\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt{a-1}+3\right)^2}$
$=\left(\sqrt{a-1}+1\right)-\left(\sqrt{a-1}+3\right)=-2$. Đáp án A.
Câu 7
Cho $a,b,c,A,B,C$ là các số dương thỏa mãn $\dfrac{a}{A}=\dfrac{b}{B}=\dfrac{c}{C}$. Giá trị của biểu thức
$$P=\sqrt{aA}+\sqrt{bB}+\sqrt{cC}-\sqrt{(a+b+c)(A+B+C)}$$
bằng
Lời giải: Đặt $\dfrac{a}{A}=\dfrac{b}{B}=\dfrac{c}{C}=k\Rightarrow a=kA,\ b=kB,\ c=kC$.
$P=\sqrt{k}A+\sqrt{k}B+\sqrt{k}C-\sqrt{k(A+B+C)(A+B+C)}=\sqrt{k}(A+B+C)-\sqrt{k}(A+B+C)=0$. Đáp án C.
Câu 8
Rút gọn biểu thức $P=\left(1+\dfrac{1}{3}\right)\left(1+\dfrac{1}{8}\right)\cdots\left(1+\dfrac{1}{n^2+2n}\right),\ n\in\mathbb{N}^{*}$
Lời giải: Ta có $1+\dfrac{1}{k^2+2k}=\dfrac{(k+1)^2}{k(k+2)}$. Do đó
$$P=\dfrac{2^2}{1.3}\cdot\dfrac{3^2}{2.4}\cdots\dfrac{(n+1)^2}{n(n+2)}=\dfrac{2(n+1)}{n+2}$$
Đáp án B.
Câu 9
Cho $a,b,c$ là các số thực khác nhau. Biểu thức $Q=\sqrt{\dfrac{1}{(a-b)^2}+\dfrac{1}{(b-c)^2}+\dfrac{1}{(c-a)^2}}$ sau khi rút gọn bằng
Lời giải: Đặt $x=a-b,\ y=b-c,\ z=c-a\Rightarrow x+y+z=0$. Khi đó
$$\left(\dfrac1x+\dfrac1y+\dfrac1z\right)^2=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{2}{xyz}(x+y+z)=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}$$
$$\Rightarrow Q=\left|\dfrac1x+\dfrac1y+\dfrac1z\right|=\left|\dfrac{1}{a-b}+\dfrac{1}{b-c}+\dfrac{1}{c-a}\right|$$
Đáp án C.
Câu 10
Cho $n$ là số nguyên dương. Rút gọn biểu thức $P=\dfrac{3}{(1.2)^2}+\dfrac{5}{(2.3)^2}+\ldots+\dfrac{2n+1}{[n(n+1)]^2}$
Lời giải: Với mỗi số hạng, $\dfrac{2k+1}{[k(k+1)]^2}=\dfrac{(k+1)^2-k^2}{k^2(k+1)^2}=\dfrac{1}{k^2}-\dfrac{1}{(k+1)^2}$.
Do đó $P=\left(\dfrac{1}{1^2}-\dfrac{1}{2^2}\right)+\left(\dfrac{1}{2^2}-\dfrac{1}{3^2}\right)+\ldots+\left(\dfrac{1}{n^2}-\dfrac{1}{(n+1)^2}\right)=1-\dfrac{1}{(n+1)^2}=\dfrac{n^2+2n}{(n+1)^2}$. Đáp án D.
Câu 11
Cho $a\le5$. Giá trị của biểu thức $E=\sqrt{a^2-10a+25}-2a+3$ bằng
Lời giải: Ta có $a^2-10a+25=(a-5)^2$ nên $\sqrt{a^2-10a+25}=|a-5|=5-a$ (do $a\le5$). Vậy $E=(5-a)-2a+3=8-3a$. Đáp án A.
Câu 12
Cho $a\lt 0\lt b$. Biểu thức $\dfrac{-1}{3}ab^5\sqrt{\dfrac{81a^2}{b^{10}}}$ bằng
Lời giải: Vì $b>0$ nên $b^5>0$, do đó $\sqrt{\dfrac{81a^2}{b^{10}}}=\dfrac{9|a|}{b^5}=\dfrac{-9a}{b^5}$ (vì $a<0$ nên $|a|=-a$). Vậy biểu thức bằng $\dfrac{-1}{3}ab^5\cdot\dfrac{-9a}{b^5}=3a^2$. Đáp án B.
Câu 13
Rút gọn biểu thức $E=\left(\dfrac{a}{a-1}-\dfrac{a+1}{a}\right):\left(\dfrac{a}{a+1}-\dfrac{a-1}{a}\right)$ với $a\ne0,\ a\ne\pm1$.
Lời giải: Ta có $\dfrac{a}{a-1}-\dfrac{a+1}{a}=\dfrac{a^2-\left(a^2-1\right)}{a(a-1)}=\dfrac{1}{a(a-1)}$. Tương tự $\dfrac{a}{a+1}-\dfrac{a-1}{a}=\dfrac{a^2-\left(a^2-1\right)}{a(a+1)}=\dfrac{1}{a(a+1)}$. Vậy $E=\dfrac{1}{a(a-1)}\cdot\dfrac{a(a+1)}{1}=\dfrac{a+1}{a-1}$. Đáp án C.
Câu 14
Nếu $\sqrt{a+42}-\sqrt{a-42}=4$ thì $\sqrt{a+42}+\sqrt{a-42}$ bằng bao nhiêu?
Lời giải: Điều kiện $a\ge42$. Đặt $S=\sqrt{a+42}+\sqrt{a-42}>0$. Ta có $\left(\sqrt{a+42}-\sqrt{a-42}\right)\left(\sqrt{a+42}+\sqrt{a-42}\right)=(a+42)-(a-42)=84$. Suy ra $4S=84$, do đó $S=21$. Đáp án D.
Câu 15
Cho $P=\sqrt{2-\sqrt3}-\sqrt{2+\sqrt3}$. Khẳng định nào dưới đây là đúng?
Lời giải: Nhân hai vế với $\sqrt2$ ta được $\sqrt2P=\sqrt{4-2\sqrt3}-\sqrt{4+2\sqrt3}=\sqrt{\left(\sqrt3-1\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt3+1\right)^2}=\left(\sqrt3-1\right)-\left(\sqrt3+1\right)=-2$. Suy ra $P=\dfrac{-2}{\sqrt2}=-\sqrt2$. Vì $1<\sqrt2<2$ nên $-2<-\sqrt2<-1$, tức là $-2\le P\le-1$. Đáp án B.
Câu 16
Cho $x\gt 5$, rút gọn biểu thức $E=\dfrac{12\sqrt{x-1-2\sqrt{x-2}}}{\sqrt{x-2}-1}$.
Lời giải: Ta có $x-1-2\sqrt{x-2}=(x-2)-2\sqrt{x-2}+1=\left(\sqrt{x-2}-1\right)^2$. Vì $x>5$ nên $\sqrt{x-2}>\sqrt3>1$, do đó $\sqrt{x-1-2\sqrt{x-2}}=\left|\sqrt{x-2}-1\right|=\sqrt{x-2}-1$. Vậy $E=\dfrac{12\left(\sqrt{x-2}-1\right)}{\sqrt{x-2}-1}=12$. Đáp án C.
Câu 17
Rút gọn biểu thức $M=\left(\dfrac{\sqrt a+2}{a+2\sqrt a+1}-\dfrac{\sqrt a-2}{a-1}\right)\cdot\dfrac{\sqrt a+1}{\sqrt a}$ với $a\gt 0,\ a\ne1$.
Lời giải: Đặt $t=\sqrt a$ ($t>0,\ t\ne1$). Ta có $a+2\sqrt a+1=(t+1)^2$ và $a-1=(t-1)(t+1)$. $M=\left[\dfrac{t+2}{(t+1)^2}-\dfrac{t-2}{(t-1)(t+1)}\right]\cdot\dfrac{t+1}{t}=\dfrac{(t+2)(t-1)-(t-2)(t+1)}{(t+1)^2(t-1)}\cdot\dfrac{t+1}{t}$. Mà $(t+2)(t-1)-(t-2)(t+1)=\left(t^2+t-2\right)-\left(t^2-t-2\right)=2t$. Do đó $M=\dfrac{2t}{(t+1)^2(t-1)}\cdot\dfrac{t+1}{t}=\dfrac{2}{(t+1)(t-1)}=\dfrac{2}{t^2-1}=\dfrac{2}{a-1}$. Đáp án D.
Câu 18
Rút gọn biểu thức $Q=\left(\dfrac{\sqrt a}{3+\sqrt a}+\dfrac{2a}{9-a}\right):\left(\dfrac{\sqrt a-1}{a-3\sqrt a}-\dfrac{2}{\sqrt a}\right)$ với $a\gt 0,\ a\ne9,\ a\ne25$.
Lời giải: Đặt $t=\sqrt a$. Khi đó $9-a=(3-t)(3+t)$ và $a-3\sqrt a=t(t-3)$. Ngoặc thứ nhất: $\dfrac{t}{3+t}+\dfrac{2t^2}{(3-t)(3+t)}=\dfrac{t(3-t)+2t^2}{(3-t)(3+t)}=\dfrac{t^2+3t}{(3-t)(3+t)}=\dfrac{t(t+3)}{(3-t)(3+t)}=\dfrac{t}{3-t}$. Ngoặc thứ hai: $\dfrac{t-1}{t(t-3)}-\dfrac{2}{t}=\dfrac{(t-1)-2(t-3)}{t(t-3)}=\dfrac{5-t}{t(t-3)}$. Do đó $Q=\dfrac{t}{3-t}\cdot\dfrac{t(t-3)}{5-t}=\dfrac{-t^2}{5-t}=\dfrac{t^2}{t-5}=\dfrac{a}{\sqrt a-5}$. Đáp án B.
Câu 19
Rút gọn biểu thức $Q=\sqrt{6-2\sqrt{\sqrt2+\sqrt{12}+\sqrt{18-\sqrt{128}}}}$.
Lời giải: Ta có $\sqrt{128}=8\sqrt2$ và $18-8\sqrt2=16-8\sqrt2+2=\left(4-\sqrt2\right)^2$ nên $\sqrt{18-\sqrt{128}}=4-\sqrt2$. Khi đó $\sqrt2+\sqrt{12}+\left(4-\sqrt2\right)=2\sqrt3+4=\left(\sqrt3+1\right)^2$, suy ra $\sqrt{\sqrt2+\sqrt{12}+\sqrt{18-\sqrt{128}}}=\sqrt3+1$. Vậy $Q=\sqrt{6-2\left(\sqrt3+1\right)}=\sqrt{4-2\sqrt3}=\sqrt{\left(\sqrt3-1\right)^2}=\sqrt3-1$. Đáp án A.
Câu 20
Cho các số thực $x,y,z$ khác $0$ thỏa mãn $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{x+y+z}$. Khi đó biểu thức $Q=\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{z^3}$ sau khi biến đổi bằng
Lời giải: Từ giả thiết ta có $\dfrac{xy+yz+zx}{xyz}=\dfrac{1}{x+y+z}\Leftrightarrow(x+y+z)(xy+yz+zx)=xyz$. Khai triển và rút gọn ta được $(x+y)(y+z)(z+x)=0$. Nếu $x+y=0$ thì $y=-x$, suy ra $\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}=0$ nên $Q=\dfrac{1}{z^3}$; đồng thời $x^3+y^3+z^3=z^3$ nên $Q=\dfrac{1}{x^3+y^3+z^3}$. Hai trường hợp $y+z=0$ và $z+x=0$ cho kết quả tương tự. Đáp án C.
Dạng 3: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
16 câuChưa luyện
Bấm chọn đáp án để chấm ngay, bấm "Xem hướng dẫn giải" để đọc lời giải chi tiết.
Lời giải: $M=(a-3)^2+23\ge23$. Dấu bằng xảy ra khi $a=3$. Vậy $\min M=23$. Đáp án B.
Câu 2
Khi $x\in\mathbb{Z}$ thì giá trị nhỏ nhất của biểu thức $E=\dfrac{31}{2x+5}$ là
Lời giải: Vì $x$ nguyên nên $2x+5$ là số nguyên lẻ. Với $2x+5<0$, biểu thức âm nhất khi $|2x+5|$ nhỏ nhất, tức $2x+5=-1\Leftrightarrow x=-3$.
Khi đó $E=\dfrac{31}{-1}=-31$. Với $2x+5>0$ thì $E>0$, không cho giá trị nhỏ nhất. Vậy $\min E=-31$. Đáp án B.
Câu 3
Giá trị lớn nhất của biểu thức $M=\sqrt{8+2x-x^2}$ là
Lời giải: $M=\sqrt{-(x^2-2x+1)+9}=\sqrt{9-(x-1)^2}\le\sqrt9=3$. Dấu bằng khi $x=1$. Vậy $\max M=3$. Đáp án B.
Câu 4
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\sqrt{x^2+6x+9}+\sqrt{x^2-14x+49}$
Lời giải: $P=\sqrt{(x+3)^2}+\sqrt{(x-7)^2}=|x+3|+|7-x|\ge|(x+3)+(7-x)|=10$.
Dấu bằng xảy ra khi $-3\le x\le7$. Vậy $\min P=10$. Đáp án A.
Câu 5
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q=x-2\sqrt{x+1}-5$
Lời giải: $Q=(x+1)-2\sqrt{x+1}+1-7=\left(\sqrt{x+1}-1\right)^2-7\ge-7$. Dấu bằng khi $\sqrt{x+1}=1\Leftrightarrow x=0$. Vậy $\min Q=-7$. Đáp án D.
Câu 6
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=\sqrt{x-2\sqrt{x-2}-1}+\sqrt{x+6\sqrt{x-2}+7}$ (với $x\ge2$)
Lời giải: $S=\sqrt{\left(\sqrt{x-2}-1\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{x-2}+3\right)^2}=\left|\sqrt{x-2}-1\right|+\left(\sqrt{x-2}+3\right)$.
Nếu $2\le x\le3$ thì $S=\left(1-\sqrt{x-2}\right)+\left(\sqrt{x-2}+3\right)=4$. Nếu $x>3$ thì $S=2\sqrt{x-2}+2>4$.
Vậy $\min S=4$ khi $2\le x\le3$. Đáp án B.
Câu 7
Cho $x\ge2,\ y\ge3$ và $x+y=7$. Khi đó $M=\sqrt{x-2}+\sqrt{y-3}$ đạt giá trị lớn nhất thì $xy$ bằng
Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki: $M^2=\left(\sqrt{x-2}+\sqrt{y-3}\right)^2\le2\left[(x-2)+(y-3)\right]=2(x+y-5)=4\Rightarrow M\le2$.
Dấu bằng xảy ra khi $\sqrt{x-2}=\sqrt{y-3}\Rightarrow x-2=y-3$, kết hợp $x+y=7\Rightarrow x=3,\ y=4$.
Vậy $\max M=2$ khi $x=3,\ y=4\Rightarrow xy=12$. Đáp án C.
Câu 8
Cho $a+b+ab=8$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q=a^2+b^2$ là
Lời giải: Ta có $(a-2)^2\ge0\Rightarrow a^2+4\ge4a\ (1)$; $(b-2)^2\ge0\Rightarrow b^2+4\ge4b\ (2)$; $(a-b)^2\ge0\Rightarrow2a^2+2b^2\ge4ab\ (3)$.
Cộng $(1),(2),(3)$: $3(a^2+b^2)+8\ge4(a+b+ab)=32\Rightarrow a^2+b^2\ge8$. Vậy $\min Q=8$ khi $a=b=2$. Đáp án C.
Câu 9
Tìm giá trị của $x$ để biểu thức $P=\dfrac{18}{x^2-2x+4}$ đạt giá trị lớn nhất.
Lời giải: Ta có $x^2-2x+4=(x-1)^2+3\ge3$ với mọi $x$. Do đó $P=\dfrac{18}{(x-1)^2+3}\le\dfrac{18}{3}=6$. Dấu bằng xảy ra khi $(x-1)^2=0\Leftrightarrow x=1$. Vậy $\max P=6$ khi $x=1$. Đáp án A.
Câu 10
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\dfrac{42}{5+\sqrt{1-19x^2}}$ là
Lời giải: Điều kiện $1-19x^2\ge0$. Khi đó $0\le\sqrt{1-19x^2}\le1$ nên $5\le5+\sqrt{1-19x^2}\le6$. Suy ra $\dfrac{42}{5+\sqrt{1-19x^2}}\ge\dfrac{42}{6}=7$. Dấu bằng xảy ra khi $\sqrt{1-19x^2}=1\Leftrightarrow x=0$. Vậy giá trị nhỏ nhất bằng $7$. Đáp án C.
Câu 11
Cho $M=-x^2+4x-19$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Lời giải: Ta có $M=-\left(x^2-4x+4\right)-15=-(x-2)^2-15\le-15$ với mọi $x$. Dấu bằng xảy ra khi $x=2$, khi đó $M=-15$; do đó khẳng định $M\le-16$ là sai, và $M$ có thể nhỏ hơn $-20$ (chẳng hạn $x=10$ cho $M=-79$) nên khẳng định D cũng sai. Đáp án B.
Câu 12
Tìm giá trị của $x$ để biểu thức $M=\sqrt{24x+139+\sqrt{x^4+18x^2+81}}$ nhận giá trị nhỏ nhất.
Lời giải: Ta có $x^4+18x^2+81=\left(x^2+9\right)^2$ nên $\sqrt{x^4+18x^2+81}=x^2+9$. Do đó $M=\sqrt{24x+139+x^2+9}=\sqrt{x^2+24x+148}=\sqrt{(x+12)^2+4}\ge\sqrt4=2$. Vậy $\min M=2$ khi $x=-12$. Đáp án B.
Câu 13
Cho $a,b,c,d$ là các số dương thay đổi và $x=2a+b-2\sqrt{cd}$, $y=c+d-2\sqrt{ab}$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Lời giải: Ta có $x+y=\left(a-2\sqrt{ab}+b\right)+\left(c-2\sqrt{cd}+d\right)+a=\left(\sqrt a-\sqrt b\right)^2+\left(\sqrt c-\sqrt d\right)^2+a$. Vì $a>0$ và hai bình phương đều không âm nên $x+y>0$. Tổng hai số dương thực sự nên ít nhất một trong hai số $x,y$ phải dương, tức là $x>0$ hoặc $y>0$. Đáp án C.
Câu 14
Có bao nhiêu giá trị nguyên của $x$ để biểu thức $\dfrac{1372}{x^2-5x+5}$ nhận giá trị nhỏ nhất?
Lời giải: Đặt $t=x^2-5x+5$; với $x$ nguyên thì $t$ nguyên và $t\ne0$. Biểu thức $\dfrac{1372}{t}$ nhỏ nhất khi $t$ âm và $|t|$ nhỏ nhất, tức $t=-1$. Giải $x^2-5x+5=-1\Leftrightarrow x^2-5x+6=0\Leftrightarrow x=2$ hoặc $x=3$; khi đó biểu thức bằng $-1372$. Vậy có $2$ giá trị nguyên của $x$. Đáp án B.
Câu 15
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\sqrt{a^2+10a+25}+\sqrt{a^2-10a+25}$.
Lời giải: Ta có $P=\sqrt{(a+5)^2}+\sqrt{(a-5)^2}=|a+5|+|5-a|$. Theo bất đẳng thức $|u|+|v|\ge|u+v|$ ta được $P\ge|(a+5)+(5-a)|=10$. Dấu bằng xảy ra khi $(a+5)(5-a)\ge0\Leftrightarrow-5\le a\le5$. Vậy $\min P=10$. Đáp án C.
Câu 16
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $M=\sqrt{a-2-2\sqrt{a-3}}-\sqrt{a+1-4\sqrt{a-3}}$ (với $a\ge3$).
Lời giải: Đặt $u=\sqrt{a-3}\ge0$, khi đó $a=u^2+3$. Ta có $a-2-2\sqrt{a-3}=u^2-2u+1=(u-1)^2$ và $a+1-4\sqrt{a-3}=u^2-4u+4=(u-2)^2$. Do đó $M=|u-1|-|u-2|$. Nếu $u\ge2$ thì $M=(u-1)-(u-2)=1$; nếu $1\le u<2$ thì $M=(u-1)-(2-u)=2u-3<1$; nếu $0\le u<1$ thì $M=(1-u)-(2-u)=-1$. Vậy $\max M=1$, đạt được khi $u\ge2$ tức $a\ge7$. Đáp án D.
Dạng 4: Điều kiện để biểu thức thỏa mãn điều kiện cho trước
16 câuChưa luyện
Bấm chọn đáp án để chấm ngay, bấm "Xem hướng dẫn giải" để đọc lời giải chi tiết.
Cho $P=\dfrac{(x^2-16)(x^2-x+7)}{x^2+1}$, có bao nhiêu giá trị của $x$ để $P=0$?
Lời giải: Vì $x^2+1>0$ với mọi $x$, và $x^2-x+7=\left(x-\dfrac12\right)^2+\dfrac{27}{4}>0$ với mọi $x$, nên
$$P=0\Leftrightarrow x^2-16=0\Leftrightarrow x=\pm4$$
Có $2$ giá trị của $x$. Đáp án B.
Câu 2
Biểu thức $E=\sqrt{x-3}+\sqrt{12-x}+\sqrt{x^2+1}$ có nghĩa khi
Lời giải: $E$ có nghĩa khi $\begin{cases}x-3\ge0\\12-x\ge0\end{cases}\Leftrightarrow3\le x\le12$ (số hạng $\sqrt{x^2+1}$ luôn có nghĩa vì $x^2+1>0$). Đáp án C.
Câu 3
Tìm số nguyên $a$ nhỏ nhất để biểu thức $M=\sqrt{\dfrac{-192}{15-a}}$ có nghĩa
Lời giải: $M$ có nghĩa khi $\dfrac{-192}{15-a}\ge0\Leftrightarrow15-a<0\Leftrightarrow a>15$. Vì $a$ nguyên nên số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn là $a=16$. Đáp án A.
Câu 4
Biểu thức nào sau đây xác định với mọi giá trị của $x$?
Lời giải: Ta có $x^2-2x+7=(x-1)^2+6>0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$, nên mẫu số ở đáp án D luôn khác $0$ và biểu thức luôn xác định.
Các đáp án còn lại đều có điều kiện xác định bị giới hạn (A, B cần biểu thức trong căn không âm; C cần $x\ne\pm2$). Đáp án D.
Câu 5
Có bao nhiêu giá trị nguyên của $x$ để biểu thức $M=\dfrac{2\sqrt{x}+11}{\sqrt{x}-1}$ nhận giá trị nguyên?
Lời giải: Với $x\ge0,\ x\ne1$: $M=\dfrac{2(\sqrt{x}-1)+13}{\sqrt{x}-1}=2+\dfrac{13}{\sqrt{x}-1}$.
$M$ nguyên $\Leftrightarrow\sqrt{x}-1$ là ước của $13$, tức $\sqrt{x}-1\in\{\pm1;\pm13\}\Rightarrow\sqrt{x}\in\{2;0;14;-12(\text{loại})\}\Rightarrow x\in\{4;0;196\}$.
Có $3$ giá trị nguyên của $x$. Đáp án C.
Câu 6
Nếu $|2a-1|=7$ thì $M=\dfrac{a^4-5a^2+4}{a^4-10a^2+9}$ bằng
Lời giải: $M=\dfrac{(a^2-1)(a^2-4)}{(a^2-1)(a^2-9)}=\dfrac{a^2-4}{a^2-9}$ với $a\ne\pm1,\pm3$.
Từ $|2a-1|=7\Rightarrow2a-1=\pm7\Rightarrow a=4$ hoặc $a=-3$ (loại vì $a\ne-3$). Với $a=4$: $M=\dfrac{16-4}{16-9}=\dfrac{12}{7}$. Đáp án D.
Câu 7
Có bao nhiêu số tự nhiên $n$ để $n+20$ và $n-39$ đồng thời là số chính phương?
Lời giải: Giả sử $n+20=p^2$ và $n-39=q^2$ ($p,q\in\mathbb{N}$). Khi đó $p^2-q^2=(n+20)-(n-39)=59\Leftrightarrow(p-q)(p+q)=59$.
Vì $59$ là số nguyên tố và $p+q>p-q>0$ nên $\begin{cases}p-q=1\\p+q=59\end{cases}\Rightarrow p=30,\ q=29\Rightarrow n=p^2-20=880$.
Có duy nhất $1$ số tự nhiên $n=880$ thỏa mãn. Đáp án B.
Câu 8
Tìm số nguyên dương $n$ thỏa mãn $\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{1}{1.3}\right)\left(1+\dfrac{1}{2.4}\right)\left(1+\dfrac{1}{3.5}\right)\cdots\left(1+\dfrac{1}{n(n+2)}\right)=\dfrac{2020}{2021}$
Lời giải: Ta có $1+\dfrac{1}{k(k+2)}=\dfrac{(k+1)^2}{k(k+2)}=\dfrac{k+1}{k}\cdot\dfrac{k+1}{k+2}$. Cho $k$ chạy từ $1$ đến $n$ rồi rút gọn kiểu tích "domino" (kết hợp với hệ số $\dfrac12$ ở đầu), ta được tích bằng $\dfrac{n+1}{n+2}$.
Do đó $\dfrac{n+1}{n+2}=\dfrac{2020}{2021}\Rightarrow n=2019$. Đáp án D.
Câu 9
$x=3$ không thuộc tập xác định của biểu thức nào dưới đây?
Lời giải: Thay $x=3$ vào các mẫu thức: $2x+6=12\ne0$; $x^2+2x-3=9+6-3=12\ne0$; $x^2-3=9-3=6\ne0$. Riêng $x^2-2x-3=(x+1)(x-3)$ bằng $0$ khi $x=3$. Vậy $x=3$ không thuộc tập xác định của $\dfrac{9}{x^2-2x-3}$. Đáp án D.
Câu 10
Biểu thức $P=\dfrac{\sqrt{x-7}}{x^2-16}$ có nghĩa khi
Lời giải: $P$ có nghĩa khi $\begin{cases}x-7\ge0\\x^2-16\ne0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x\ge7\\x\ne\pm4\end{cases}$ Vì điều kiện $x\ge7$ đã kéo theo $x\ne\pm4$ nên tập xác định là $x\ge7$. Đáp án B.
Câu 11
Có bao nhiêu giá trị nguyên của $x$ để biểu thức $\sqrt{169-x^2}+\sqrt{x^2-169}$ được xác định?
Lời giải: Biểu thức xác định khi $\begin{cases}169-x^2\ge0\\x^2-169\ge0\end{cases}\Leftrightarrow x^2-169=0\Leftrightarrow x=\pm13$. Vậy có $2$ giá trị của $x$ là $x=13$ và $x=-13$. Đáp án C.
Câu 12
Biểu thức $Q=\sqrt{x-\sqrt{x^2-12x+36}}$ có nghĩa khi
Lời giải: Ta có $x^2-12x+36=(x-6)^2$ nên $Q=\sqrt{x-|x-6|}$. Nếu $x\ge6$ thì $x-|x-6|=x-(x-6)=6>0$, biểu thức luôn có nghĩa. Nếu $x<6$ thì $x-|x-6|=x-(6-x)=2x-6\ge0\Leftrightarrow x\ge3$. Kết hợp hai trường hợp, $Q$ có nghĩa khi $x\ge3$. Đáp án C.
Câu 13
Cho biểu thức $\sqrt{\dfrac{-\left(m^2+3\right)\left(m^2-m+4\right)}{7-m}}$. Biểu thức có nghĩa khi
Lời giải: Ta có $m^2+3>0$ và $m^2-m+4=\left(m-\dfrac12\right)^2+\dfrac{15}{4}>0$ với mọi $m$. Do đó $-\left(m^2+3\right)\left(m^2-m+4\right)<0$ với mọi $m$. Biểu thức dưới dấu căn không âm khi mẫu $7-m<0\Leftrightarrow m>7$. Đáp án D.
Câu 14
Cho $a\gt 1$ và $P=\dfrac{a^2+\sqrt a}{a-\sqrt a+1}-\dfrac{2a+\sqrt a}{\sqrt a}+1$. Khẳng định nào dưới đây là đúng?
Lời giải: Đặt $t=\sqrt a>1$. Ta có $a^2+\sqrt a=t^4+t=t\left(t^3+1\right)=t(t+1)\left(t^2-t+1\right)$ và $a-\sqrt a+1=t^2-t+1$. Do đó $\dfrac{a^2+\sqrt a}{a-\sqrt a+1}=t(t+1)=t^2+t$. Lại có $\dfrac{2a+\sqrt a}{\sqrt a}=\dfrac{2t^2+t}{t}=2t+1$. Suy ra $P=\left(t^2+t\right)-(2t+1)+1=t^2-t=\sqrt a\left(\sqrt a-1\right)>0$ (vì $a>1$). Vì $P>0$ nên $P=|P|$. Đáp án C.
Câu 15
Cho $P=\left(1+\dfrac{\sqrt x}{x+1}\right):\left(\dfrac{1}{\sqrt x-1}-\dfrac{2\sqrt x}{x\sqrt x+\sqrt x-x-1}\right)-1$. Có bao nhiêu giá trị của $x$ để $P=-4$?
Lời giải: Điều kiện $x\ge0,\ x\ne1$. Ta có $x\sqrt x+\sqrt x-x-1=\sqrt x(x+1)-(x+1)=(x+1)\left(\sqrt x-1\right)$. Ngoặc thứ hai: $\dfrac{1}{\sqrt x-1}-\dfrac{2\sqrt x}{(x+1)\left(\sqrt x-1\right)}=\dfrac{x+1-2\sqrt x}{(x+1)\left(\sqrt x-1\right)}=\dfrac{\left(\sqrt x-1\right)^2}{(x+1)\left(\sqrt x-1\right)}=\dfrac{\sqrt x-1}{x+1}$. Ngoặc thứ nhất: $1+\dfrac{\sqrt x}{x+1}=\dfrac{x+\sqrt x+1}{x+1}$. Do đó $P=\dfrac{x+\sqrt x+1}{x+1}\cdot\dfrac{x+1}{\sqrt x-1}-1=\dfrac{x+\sqrt x+1-\sqrt x+1}{\sqrt x-1}=\dfrac{x+2}{\sqrt x-1}$. $P=-4\Leftrightarrow x+2=-4\left(\sqrt x-1\right)\Leftrightarrow x+4\sqrt x-2=0$. Đặt $t=\sqrt x\ge0$ ta có $t^2+4t-2=0$, cho $t=-2+\sqrt6>0$ (nghiệm $t=-2-\sqrt6<0$ bị loại). Vậy có đúng $1$ giá trị của $x$. Đáp án A.
Câu 16
Có bao nhiêu số tự nhiên $n$ để $n+3,\ n+13,\ n+17$ đồng thời là các số nguyên tố?
Lời giải: Xét $n$ theo số dư khi chia cho $3$. Nếu $n=3k+1$ thì $n+17=3k+18$ chia hết cho $3$ và lớn hơn $3$, không là số nguyên tố. Nếu $n=3k+2$ thì $n+13=3k+15$ chia hết cho $3$ và lớn hơn $3$, không là số nguyên tố. Nếu $n=3k$ thì $n+3=3(k+1)$ chia hết cho $3$, chỉ là số nguyên tố khi $k=0$, tức $n=0$. Khi đó $3,\ 13,\ 17$ đều là số nguyên tố. Vậy chỉ có $1$ giá trị $n=0$ thỏa mãn. Đáp án A.
Dạng 5: Bài tập tổng hợp chương
16 câuChưa luyện
Bấm chọn đáp án để chấm ngay, bấm "Xem hướng dẫn giải" để đọc lời giải chi tiết.
Cho $P=\dfrac{(x^2-16)(x^2-8x+15)}{x^2+3}$, có bao nhiêu giá trị của $x$ để $P=0$?
Lời giải: Vì $x^2+3>0$ với mọi $x$, nên $P=0\Leftrightarrow(x^2-16)(x^2-8x+15)=0$.
$x^2-16=0\Rightarrow x=\pm4$. $x^2-8x+15=0\Leftrightarrow(x-3)(x-5)=0\Rightarrow x=3$ hoặc $x=5$.
Vậy $x\in\{-4;3;4;5\}$, có $4$ giá trị. Đáp án D.
Câu 2
Phân tích đa thức $x^2+3x-18$ thành nhân tử ta được
Lời giải: $x^2+3x-18=x^2+6x-3x-18=x(x+6)-3(x+6)=(x-3)(x+6)$. Đáp án A.
Câu 3
Biểu thức $S=\sqrt{a+3}+\sqrt{25-a^2}+\sqrt{a^2-2a+9}$ có nghĩa khi
Lời giải: $\sqrt{a+3}$ có nghĩa khi $a\ge-3$. $\sqrt{25-a^2}$ có nghĩa khi $-5\le a\le5$.
$\sqrt{a^2-2a+9}=\sqrt{(a-1)^2+8}$ luôn có nghĩa vì $(a-1)^2+8>0$ với mọi $a$.
Kết hợp các điều kiện: $-3\le a\le5$. Đáp án C.
Câu 4
$x_0=\sqrt{14-6\sqrt{5}}+\sqrt{14+6\sqrt{5}}$ là nghiệm của phương trình nào sau đây?
Lời giải: $14-6\sqrt5=9-6\sqrt5+5=(3-\sqrt5)^2$ và $14+6\sqrt5=(3+\sqrt5)^2$.
$\Rightarrow x_0=\left|3-\sqrt5\right|+\left|3+\sqrt5\right|=(3-\sqrt5)+(3+\sqrt5)=6$ (vì $\sqrt5<3$).
Thay $x=6$ vào đáp án D: $6^2-6.6=0$ (đúng). Đáp án D.
Câu 5
Rút gọn biểu thức $F=\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+\ldots+\dfrac{1}{n(n+1)}$
Lời giải: $\dfrac{1}{k(k+1)}=\dfrac1k-\dfrac{1}{k+1}$. Do đó $F=\left(1-\dfrac12\right)+\left(\dfrac12-\dfrac13\right)+\ldots+\left(\dfrac1n-\dfrac{1}{n+1}\right)=1-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{n}{n+1}$. Đáp án D.
Câu 6
Rút gọn biểu thức $E=\sqrt{3-\sqrt5}-\sqrt{3+\sqrt5}$
Lời giải: $E^2=(3-\sqrt5)+(3+\sqrt5)-2\sqrt{(3-\sqrt5)(3+\sqrt5)}=6-2\sqrt{9-5}=6-4=2$.
Vì $3-\sqrt5<3+\sqrt5$ nên $E<0$, do đó $E=-\sqrt2$. Đáp án D.
Câu 7
Cho $a=\sqrt{19+8\sqrt3}+\sqrt{19-8\sqrt3}$, giá trị của biểu thức $a^4-3a^2-3a-2020$ là
Lời giải: $19\pm8\sqrt3=16\pm8\sqrt3+3=(4\pm\sqrt3)^2\Rightarrow a=\sqrt{(4+\sqrt3)^2}+\sqrt{(4-\sqrt3)^2}=(4+\sqrt3)+(4-\sqrt3)=8$.
Thay $a=8$: $a^4-3a^2-3a-2020=4096-192-24-2020=1860$. Đáp án A.
Câu 8
Cho các số $a,b,c$ thỏa mãn $\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}=2$. Tính $E=a+b+c-abc$
Lời giải: Từ $\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c=2\Rightarrow\left(\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c\right)^2=4$
$$\Leftrightarrow\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+2\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ac}\right)=4\Leftrightarrow2+2\cdot\dfrac{a+b+c}{abc}=4\Rightarrow a+b+c=abc$$
Vậy $E=a+b+c-abc=0$. Đáp án D.
Câu 9
Khi $a=-4$ thì giá trị của biểu thức $P=a^3+12a^2+48a+2084$ bằng
Lời giải: Ta có $a^3+12a^2+48a+64=(a+4)^3$ nên $P=(a+4)^3+2020$. Với $a=-4$ thì $(a+4)^3=0$. Vậy $P=2020$. Đáp án C.
Câu 10
Với giá trị nào của $a$ thì đa thức $M=a^3+a^2+a-3$ nhận giá trị dương?
Lời giải: Phân tích thành nhân tử: $M=a^3-a^2+2a^2-2a+3a-3=a^2(a-1)+2a(a-1)+3(a-1)=(a-1)\left(a^2+2a+3\right)$. Mà $a^2+2a+3=(a+1)^2+2>0$ với mọi $a$. Do đó $M>0\Leftrightarrow a-1>0\Leftrightarrow a>1$. Đáp án B.
Câu 11
Nếu $\sqrt{37-20\sqrt3}=a+b\sqrt3$ với $a,b\in\mathbb{Z}$ thì $3a+2b$ bằng
Lời giải: Ta có $37-20\sqrt3=25-20\sqrt3+12=\left(5-2\sqrt3\right)^2$. Vì $5=\sqrt{25}>\sqrt{12}=2\sqrt3$ nên $\sqrt{37-20\sqrt3}=5-2\sqrt3$, suy ra $a=5,\ b=-2$. Vậy $3a+2b=3\cdot5+2\cdot(-2)=11$. Đáp án D.
Câu 12
Rút gọn biểu thức $P=\dfrac{36\sqrt{83}}{\sqrt{87+4\sqrt{83}}+\sqrt{87-4\sqrt{83}}}$.
Lời giải: Đặt $S=\sqrt{87+4\sqrt{83}}+\sqrt{87-4\sqrt{83}}>0$. Ta có $S^2=\left(87+4\sqrt{83}\right)+\left(87-4\sqrt{83}\right)+2\sqrt{87^2-16\cdot83}=174+2\sqrt{7569-1328}=174+2\sqrt{6241}$. Vì $\sqrt{6241}=79$ nên $S^2=174+158=332$, suy ra $S=\sqrt{332}=2\sqrt{83}$. Vậy $P=\dfrac{36\sqrt{83}}{2\sqrt{83}}=18$. Đáp án A.
Câu 13
Rút gọn biểu thức $M=\sqrt{13+30\sqrt{2+\sqrt{9+4\sqrt2}}}$.
Lời giải: Ta có $9+4\sqrt2=1+4\sqrt2+8=\left(1+2\sqrt2\right)^2$ nên $\sqrt{9+4\sqrt2}=1+2\sqrt2$. Khi đó $2+\left(1+2\sqrt2\right)=3+2\sqrt2=\left(1+\sqrt2\right)^2$, suy ra $\sqrt{2+\sqrt{9+4\sqrt2}}=1+\sqrt2$. Do đó $M=\sqrt{13+30\left(1+\sqrt2\right)}=\sqrt{43+30\sqrt2}$. Mà $43+30\sqrt2=25+30\sqrt2+18=\left(5+3\sqrt2\right)^2$ nên $M=5+3\sqrt2$. Đáp án D.
Câu 14
Cho $a,b,c$ là các số thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=9$. Tính giá trị của biểu thức $P=(2a+2b-c)^2+(2b+2c-a)^2+(2c+2a-b)^2$.
Lời giải: Khai triển từng bình phương: $(2a+2b-c)^2=4a^2+4b^2+c^2+8ab-4ac-4bc$; $(2b+2c-a)^2=a^2+4b^2+4c^2+8bc-4ab-4ac$; $(2c+2a-b)^2=4a^2+b^2+4c^2+8ac-4ab-4bc$. Cộng ba đẳng thức: hệ số của $a^2,\ b^2,\ c^2$ đều bằng $4+1+4=9$; hệ số của $ab,\ bc,\ ca$ đều bằng $8-4-4=0$. Vậy $P=9\left(a^2+b^2+c^2\right)=9\cdot9=81$. Đáp án C.
Câu 15
Cho $a\gt 0$ và $a^2+\dfrac{1}{a^2}=7$. Tính giá trị của biểu thức $a^5+\dfrac{1}{a^5}$.
Lời giải: Ta có $\left(a+\dfrac1a\right)^2=a^2+\dfrac{1}{a^2}+2=9$; vì $a>0$ nên $a+\dfrac1a=3$. $a^3+\dfrac{1}{a^3}=\left(a+\dfrac1a\right)^3-3\left(a+\dfrac1a\right)=27-9=18$. Lại có $\left(a^2+\dfrac{1}{a^2}\right)\left(a^3+\dfrac{1}{a^3}\right)=a^5+\dfrac{1}{a^5}+a+\dfrac1a$. Suy ra $a^5+\dfrac{1}{a^5}=7\cdot18-3=123$. Đáp án A.
Câu 16
Cho $a=1+\sqrt2$ và $b=1-\sqrt2$. Khi đó $a^7+b^7$ bằng
Lời giải: Ta có $a+b=2$ và $ab=\left(1+\sqrt2\right)\left(1-\sqrt2\right)=-1$, nên $a,b$ là hai nghiệm của phương trình $x^2-2x-1=0$. Đặt $S_n=a^n+b^n$; từ $x^2=2x+1$ suy ra $S_n=2S_{n-1}+S_{n-2}$ với $S_0=2,\ S_1=2$. Lần lượt tính: $S_2=6$; $S_3=14$; $S_4=34$; $S_5=82$; $S_6=198$; $S_7=2\cdot198+82=478$. Vậy $a^7+b^7=478$. Đáp án B.
