Chương IV. Hàm số

Lời giải: Ta có $y=x^2-4x+53=(x-2)^2+49\ge49$. Vậy $\min y=49$, đạt được khi $x=2$.

Lời giải: Hàm số xác định khi $\begin{cases}4-x^2>0\\ x^2-2x+7\ge0\end{cases}$. Điều kiện thứ hai luôn đúng vì $x^2-2x+7=(x-1)^2+6>0$ với mọi $x$. Điều kiện thứ nhất: $4-x^2>0 \Leftrightarrow -2<x<2$. Vậy tập xác định là $(-2;2)$.

Lời giải: Ta có $y=-x^2+4x-27=-(x^2-4x+4)-23=-(x-2)^2-23\le-23$. Vậy $\max y=-23$, đạt được khi $x=2$.

Lời giải: Ta có $y=(x-1)+\dfrac{4}{x-1}+1$. Vì $x>1$ nên $x-1>0$, áp dụng bất đẳng thức Cô-si: $(x-1)+\dfrac{4}{x-1}\ge2\sqrt{(x-1)\cdot\dfrac{4}{x-1}}=4$. Suy ra $y\ge4+1=5$. Dấu bằng xảy ra khi $x-1=\dfrac{4}{x-1} \Leftrightarrow (x-1)^2=4 \Leftrightarrow x=3$ (do $x>1$). Vậy $\min y=5$ khi $x=3$.

Lời giải: Đường thẳng $d:y=x-4$ cắt trục $Ox,Oy$ lần lượt tại $A(4;0),\ B(0;-4)$. Tam giác $AOB$ vuông cân tại $O$ với $OA=OB=4$, nên $AB=4\sqrt2$. Khoảng cách từ $O$ đến $d$ (chính là giá trị nhỏ nhất của $OP$) bằng nửa đường chéo $AB$ của hình vuông tạo bởi tam giác vuông cân, cụ thể $\min OP=2\sqrt2$, đạt được khi $P$ là chân đường vuông góc hạ từ $O$ xuống $d$ (khi đó $P$ là trung điểm $AB$).

Lời giải: Ta có $y=|x+6|+|x-7|=|x+6|+|7-x|\ge|(x+6)+(7-x)|=13$ (bất đẳng thức $|A|+|B|\ge|A+B|$). Vậy $\min y=13$, đạt được khi $-6\le x\le7$.

Lời giải: Ta có $y=\dfrac{4x}{x^2+1} \Leftrightarrow yx^2-4x+y=0$, đây là phương trình ẩn $x$ (theo tham số $y$), phương trình này phải có nghiệm. Nếu $y=0$ thì $x=0$ (thỏa mãn). Nếu $y\ne0$, cần $\Delta^\prime=4-y^2\ge0 \Leftrightarrow -2\le y\le2$. Vậy $m=-2,\ M=2$, do đó $m\cdot M=-4$.

Lời giải: Đặt $t=\dfrac{2x}{x^2+1}$. Có thể chứng minh $-1\le t\le1$ với mọi $x$ (từ $tx^2-2x+t=0$ có nghiệm khi $t=0$ hoặc $\Delta^\prime=1-t^2\ge0$). Khi đó $y=t^2-4t+25=(t-2)^2+21$. Vì $-1\le t\le1$ nên $-3\le t-2\le-1$, suy ra $(t-2)^2$ lớn nhất bằng $9$ khi $t-2=-3$ (tức $t=-1$). Vậy $\max y=9+21=30$, đạt được khi $t=-1$ (tức $x=-1$).

Lời giải: Ta có $y=(x-3)^2+11$. Vì $x\ge4>3$ nên hàm số đồng biến trên $[4;+\infty)$, do đó $\min y$ đạt tại $x=4$: $y=(4-3)^2+11=12$. Đáp án B.

Lời giải: Hàm số xác định khi $9-x^2>0$ và $x^2-4x+9\ge0$. Vì $x^2-4x+9=(x-2)^2+5>0$ với mọi $x$ nên điều kiện thứ hai luôn đúng. Điều kiện $9-x^2>0 \Leftrightarrow -3<x<3$. Vậy tập xác định là $(-3;3)$. Đáp án A.

Lời giải: Ta có $y=-(x-3)^2-10\le-10$. Vậy $\max y=-10$, đạt được khi $x=3$. Đáp án C.

Lời giải: Ta có $y=(x-2)+\dfrac{9}{x-2}+2\ge2\sqrt{(x-2)\cdot\dfrac{9}{x-2}}+2=6+2=8$. Vậy $\min y=8$, đạt được khi $x-2=3\Leftrightarrow x=5$. Đáp án D.

Lời giải: Đường thẳng $d:y=x-6$ cắt trục $Ox,Oy$ lần lượt tại $A(6;0),B(0;-6)$. Tam giác $AOB$ vuông cân tại $O$ và $AB=6\sqrt2$, do đó $\min OP=\dfrac{AB}{2}=3\sqrt2$ khi $P$ là trung điểm của $AB$. Đáp án B.

Lời giải: Ta có $y=|x+3|+|x-9|\ge|(x+3)-(x-9)|=12$. Vậy $\min y=12$, đạt được khi $-3\le x\le9$. Đáp án D.

Lời giải: Từ $y=\dfrac{6x}{x^2+1}$ ta có $yx^2-6x+y=0$ là phương trình ẩn $x$, phương trình này phải có nghiệm. Nếu $y=0\Rightarrow x=0$. Nếu $y\ne0$, cần $\Delta=36-4y^2\ge0\Leftrightarrow-3\le y\le3$. Vậy $m=-3,M=3\Rightarrow M-m=6$. Đáp án C.

Lời giải: Đặt $t=\dfrac{2x}{x^2+1}$ ta có $-1\le t\le1$. Khi đó $y=t^2-6t+15=(t-3)^2+6$. Vì $-1\le t\le1$ nên $(t-3)^2$ đạt lớn nhất khi $t=-1$: $y=(-1-3)^2+6=22$. Vậy $\max y=22$ khi $t=-1$. Đáp án A.

Lời giải: Đường thẳng đi qua $I$ khi $-24=2(3)+m-25 \Leftrightarrow -24=6+m-25 \Leftrightarrow -24=m-19 \Leftrightarrow m=-5$.

Lời giải: Hàm số $y=5x^2$ không đồng biến trên toàn bộ $\mathbb{R}$ (chỉ đồng biến trên $(0;+\infty)$). Với $y=-3x+m-9$, hệ số $a=-3<0$ nên nghịch biến. Với $y=(3m-2)x+3$, hệ số $a=3m-2$ có thể âm, dương hoặc bằng $0$ tùy $m$. Với $y=(m^2-2m+15)x-7$, ta có $m^2-2m+15=(m-1)^2+14>0$ với mọi $m$, nên hàm số này luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$ với mọi giá trị của $m$.

Lời giải: $E\in(P) \Leftrightarrow -1=a\cdot2^2=4a \Leftrightarrow a=-\dfrac{1}{4}$. $F\in(P) \Leftrightarrow k-5=-\dfrac{1}{4}\cdot(-2)^2=-\dfrac{1}{4}\cdot4=-1 \Leftrightarrow k=4$.

Lời giải: Đường thẳng đi qua $E(0;-2)$ khi $-2=(m^6-7m^2+4)\cdot0+m^2-12m+18 \Leftrightarrow m^2-12m+18=-2 \Leftrightarrow m^2-12m+20=0 \Leftrightarrow m=2$ hoặc $m=10$. Vậy có $2$ giá trị của $m$.

Lời giải: Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi $m^2-7m-8<0 \Leftrightarrow (m+1)(m-8)<0 \Leftrightarrow -1<m<8$. Các số nguyên $m$ thỏa mãn: $m\in\{0,1,2,3,4,5,6,7\}$, có tất cả $8$ giá trị.

Lời giải: Các khẳng định A, B, C đều sai vì chẳng hạn $3<3{,}5$ nhưng $f(3)=f(3{,}5)=3$ (hàm số không đồng biến chặt, không nghịch biến, không phải hằng số). Tuy nhiên với mọi $x_1<x_2$ ta luôn có $f(x_1)\le f(x_2)$ (hàm số không giảm). Vậy khẳng định D đúng.

Lời giải: Nếu $M(0;b)$ thuộc đồ thị thì $b=(0-3)(m^2-8m+25)=-3(m^2-8m+25)=-3\left[(m-4)^2+9\right]\le-27$ với mọi $m$. Do đó với $b>-27$ thì không tồn tại $m$ nào để $M(0;b)$ thuộc đồ thị hàm số.

Lời giải: Giải hệ $\begin{cases}y=-x+1\\ y=x-1\end{cases}$ ta được giao điểm $M(1;0)$. $M$ thuộc $d_3$ khi $0=-a+a^3-a^2-\dfrac{1}{3} \Leftrightarrow 3a^3-3a^2-3a-1=0 \Leftrightarrow 4a^3=(a+1)^3$. Lấy căn bậc ba hai vế: $a\sqrt[3]{4}=a+1 \Leftrightarrow a\left(\sqrt[3]{4}-1\right)=1 \Leftrightarrow a=\dfrac{1}{\sqrt[3]{4}-1}$.

Lời giải: Đường thẳng đi qua $K$ khi $19=-3\cdot(-4)+m+3=15+m\Leftrightarrow m=4$. Đáp án D.

Lời giải: Do $m^2-4m+13=(m-2)^2+9>0$ với mọi $m$ nên $-\left(m^2-4m+13\right)<0$ với mọi $m$, suy ra hàm số $y=-\left(m^2-4m+13\right)x+8$ luôn nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Đáp án A.

Lời giải: $E\in(P)\Leftrightarrow2=9a\Leftrightarrow a=\dfrac{2}{9}$. $F\in(P)\Leftrightarrow k+4=\dfrac{2}{9}\cdot(-3)^2=2\Rightarrow k=-2$. Đáp án B.

Lời giải: $d$ đi qua $E$ khi $-4=m^2-7m+6\Leftrightarrow m^2-7m+10=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m=2\\ m=5\end{array}\right.$ (hệ số của $x$ không ảnh hưởng vì hoành độ của $E$ bằng $0$). Vậy có $2$ giá trị của $m$. Đáp án B.

Lời giải: Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi $m^2-3m-18<0\Leftrightarrow(m-6)(m+3)<0\Leftrightarrow-3<m<6$. Các số nguyên thỏa mãn là $-2;-1;0;1;2;3;4;5$, có tất cả $8$ số. Đáp án C.

Lời giải: Với mọi $x$, ta luôn có $[x]\le x<[x]+1$, suy ra $0\le x-[x]<1$, tức là $0\le f(x)<1$ với mọi $x\in\mathbb{R}$. Hàm số không đồng biến, không nghịch biến và không phải là hàm hằng (chẳng hạn $f(0)=0\ne f(0{,}5)=0{,}5$). Đáp án D.

Lời giải: Với $x=0$: $y=5\left(m^2-6m+34\right)=5\left[(m-3)^2+25\right]\ge125$. Do đó với $b<125$ thì không có giá trị nào của $m$ để $N(0;b)$ thuộc đồ thị hàm số. Đáp án C.

Lời giải: Đặt $t=x+\dfrac{4}{x}$ thì $|t|\ge4$ và $x^2+\dfrac{16}{x^2}=t^2-8$. Khi đó $y=t^2-8+6t+20=(t+3)^2+3$. Với $t\ge4$ thì $y\ge49+3=52$; với $t\le-4$ thì $(t+3)^2\ge1\Rightarrow y\ge4$. Vậy $\min y=4>3$ nên không tồn tại $a$ nào để $M(a;3)$ thuộc đồ thị hàm số. Đáp án A.

Lời giải: $d$ vuông góc với $d^\prime$ khi tích hai hệ số góc bằng $-1$: $(m-8)\cdot\dfrac{1}{3}=-1 \Leftrightarrow m-8=-3 \Leftrightarrow m=5$.

Lời giải: Đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ $-16$ nên có dạng $y=ax-16$. Đường thẳng đi qua $I(2;-8)$: $-8=2a-16 \Leftrightarrow 2a=8 \Leftrightarrow a=4$. Vậy phương trình đường thẳng là $y=4x-16$.

Lời giải: Đường thẳng $d$ cắt $Ox$ tại $M(-8;0)$ và cắt $Oy$ tại $N(0;8)$. Tam giác $MON$ vuông tại $O$ với $OM=8,\ ON=8$, nên diện tích bằng $\dfrac{1}{2}\cdot8\cdot8=32$ (đơn vị diện tích).

Lời giải: Do $d\perp d^\prime$ và $d^\prime$ có hệ số góc $1$, nên $d$ có hệ số góc $a=-1$, tức $d:y=-x+b$. Do $I\in d$: $-6=-4+b \Leftrightarrow b=-2$. Vậy $d:y=-x-2$, suy ra $P=5\cdot(-1)\cdot(-2)=10$.

Lời giải: $M(-3;-1)$ là trung điểm của $BC$. Phương trình $AM$ có dạng $y=ax+b$ đi qua $A(3;2)$ và $M(-3;-1)$: $\begin{cases}2=3a+b\\ -1=-3a+b\end{cases}$. Cộng hai phương trình: $2b=1 \Rightarrow b=\dfrac{1}{2}$; trừ hai phương trình: $6a=3 \Rightarrow a=\dfrac{1}{2}$. Vậy $AM: y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}$.

Lời giải: Hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm trên trục tung (tức tại $x=0$) khi giá trị của chúng tại $x=0$ bằng nhau: $m^3+16m+9=8m^2+m+9 \Leftrightarrow m^3-8m^2+15m=0 \Leftrightarrow m(m^2-8m+15)=0 \Leftrightarrow m(m-3)(m-5)=0 \Leftrightarrow m\in\{0;3;5\}$. Vậy có $3$ giá trị của $m$.

Lời giải: Phương trình $27x^2-42x+m^2-17m-18=0$ có hai nghiệm trái dấu khi tích hai nghiệm âm, tức $\dfrac{m^2-17m-18}{27}<0 \Leftrightarrow m^2-17m-18<0 \Leftrightarrow (m+1)(m-18)<0 \Leftrightarrow -1<m<18$. Các giá trị nguyên $m$ thỏa mãn: $m\in\{0,1,2,\ldots,17\}$, có tất cả $18$ giá trị.

Lời giải: Ta cần phương trình $x^2+2mx+2m^2-8m+15=0$ có hai nghiệm phân biệt và khác $1$ (để tổng cộng có 3 nghiệm phân biệt của tích). Điều kiện có hai nghiệm phân biệt: $\Delta^\prime=m^2-(2m^2-8m+15)=-m^2+8m-15>0 \Leftrightarrow m^2-8m+15<0 \Leftrightarrow (m-3)(m-5)<0 \Leftrightarrow 3<m<5$. Khi đó thay $x=1$: $1+2m+2m^2-8m+15=2m^2-6m+16$, xét $2m^2-6m+16=0 \Leftrightarrow m^2-3m+8=0$ có $\Delta=9-32<0$ nên vô nghiệm, tức luôn có nghiệm $x\ne1$. Vậy điều kiện là $3<m<5$.

Lời giải: $d_1$ song song $d_2$ khi $m^3+8m=6m^2\Leftrightarrow m\left(m^2-6m+8\right)=0\Leftrightarrow m\in\{0;2;4\}$ và $-72\ne18m-5$ (luôn đúng với ba giá trị trên). Vậy có $3$ giá trị của $m$. Đáp án C.

Lời giải: $d$ đi qua $\left(0;7\right)$ và $\left(-\dfrac{7}{4};0\right)$. Lấy đối xứng qua $Ox$, $d_1$ đi qua $\left(0;-7\right)$ và $\left(-\dfrac{7}{4};0\right)$, do đó $d_1:y=-4x-7$. Đáp án A.

Lời giải: Đường thẳng $BC$ có hệ số góc $\dfrac{1-(-3)}{-2-6}=-\dfrac{1}{2}$. Đường cao $AH$ qua $A$ và vuông góc với $BC$ nên có hệ số góc $2$: $y-(-7)=2(x-2)\Leftrightarrow y=2x-11$. Đáp án D.

Lời giải: Xét phương trình $x^2-ax-9=0$, có $\Delta=a^2+36>0$ với mọi $a$ nên luôn có $2$ nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ với $x_1+x_2=a,x_1x_2=-9$. $MN^2=(x_2-x_1)^2\left[1+(x_1+x_2)^2\right]=(a^2+36)(a^2+1)\ge36$. Vậy $\min MN=6$ khi $a=0$. Đáp án B.

Lời giải: Xét phương trình $(x+13)^4+(x+15)^4=16$. Đặt $t=x+14$, ta được $(t-1)^4+(t+1)^4=16\Leftrightarrow2t^4+12t^2+2=16\Leftrightarrow t^4+6t^2-7=0\Leftrightarrow(t^2-1)(t^2+7)=0\Rightarrow t=\pm1$. Suy ra $x\in\{-13;-15\}$, do đó $P=2(-13-15)=-56$. Đáp án A.

Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm: $x^2-3x-4=0\Leftrightarrow(x-4)(x+1)=0$, suy ra $M(4;16),N(-1;1)$. Diện tích tam giác $OMN$ là $\dfrac{1}{2}\left|4\cdot1-(-1)\cdot16\right|=\dfrac{1}{2}\cdot20=10$. Đáp án C.

Lời giải: Phương trình hoành độ: $x^2-kx+(k-1)=0$ có $\Delta=(k-2)^2\ge0$ (cần $k\ne2$), $x_1+x_2=k,x_1x_2=k-1$. Nếu $x_1x_2\ge0\ (k\ge1)$ thì $|x_1|+|x_2|=|k|=k$; $k=10$ thỏa mãn ($k\ge1$). Nếu $x_1x_2<0\ (k<1)$ thì $|x_1|+|x_2|=\sqrt{(k-2)^2}=2-k$; $2-k=10\Rightarrow k=-8$ thỏa mãn ($k<1$). Vậy $k=-8$ hoặc $k=10$. Đáp án B.

Lời giải: Phương trình hoành độ: $x^2-kx-4=0$ có $\Delta=k^2+16>0$ với mọi $k$, $x_1+x_2=k,x_1x_2=-4$. Ta có $Q=\left(x_1^2-4\right)\left(x_2^2-4\right)=(x_1x_2)^2-4\left(x_1^2+x_2^2\right)+16=16-4\left(k^2+8\right)+16=-4k^2\le0$. Vậy $\max Q=0$ khi $k=0$. Đáp án D.

Lời giải: Ta có $f\left(\dfrac{1}{1-a}\right)=\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{1-a}}=\dfrac{1}{\dfrac{1-a-1}{1-a}}=\dfrac{1-a}{-a}=\dfrac{a-1}{a}$.

Lời giải: Nếu $M(x_1;y_1), N(x_2;y_2)$ thì trung điểm của $MN$ có tọa độ $\left(\dfrac{x_1+x_2}{2};\dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$. Vì trung điểm là $O(0;0)$ nên $N=(-x_1;-y_1)=(-7;-2)$.

Lời giải: Nếu $P(a;b)$, $Q$ đối xứng với $P$ qua trục $Oy$ thì tọa độ của $Q$ là $(-a;b)$. Với $P(3;7)$, ta được $Q(-3;7)$.

Lời giải: Đường thẳng $d$ có dạng $y=ax+b$, đi qua $P,Q$ nên $\begin{cases}-3a+b=-16\\ a+b=-4\end{cases}$. Trừ hai phương trình: $4a=12 \Rightarrow a=3$. Vậy hệ số góc của $d$ bằng $3$.

Lời giải: $d$ đi qua $M(x_0;y_0)$ với mọi $k$ khi $y_0=(2k+3)x_0-6k-21 \Leftrightarrow (2x_0-6)k+3x_0-y_0-21=0$ đúng với mọi $k$, tức $\begin{cases}2x_0-6=0\\ 3x_0-y_0-21=0\end{cases} \Rightarrow x_0=3,\ y_0=9-21=-12$. Vậy $S=3^2+(-12)^2=9+144=153$.

Lời giải: Ta viết $f(a+1)=a^2+5a-25=(a+1)^2+2a+1+3a-26=(a+1)^2+3(a+1)-29$ (kiểm tra: $(a+1)^2+3(a+1)-29=a^2+2a+1+3a+3-29=a^2+5a-25$, đúng). Vậy $f(x)=x^2+3x-29$.

Lời giải: Thực hiện phép chia đa thức: $2x^3-5x^2+8x-2=(x-1)(2x^2-3x+5)+3$, do đó $y=2x^2-3x+5+\dfrac{3}{x-1}$ (với $x\ne1$). Để $x,y$ đều nguyên, cần $x-1$ là ước của $3$, tức $x-1\in\{1,-1,3,-3\}$, suy ra $x\in\{2,0,4,-2\}$. Vậy có $4$ điểm thuộc đồ thị có tọa độ nguyên.

Lời giải: Tọa độ trọng tâm $G\left(\dfrac{-3+6+9}{3};\dfrac{2+4-12}{3}\right)=G(4;-2)$. Do đó $OG=\sqrt{4^2+(-2)^2}=\sqrt{20}=2\sqrt5$.

Lời giải: $f\left(\dfrac{2}{2-a}\right)=\dfrac{2}{2-\dfrac{2}{2-a}}=\dfrac{2}{\dfrac{2(2-a)-2}{2-a}}=\dfrac{2(2-a)}{2-2a}=\dfrac{2-a}{1-a}$. Đáp án A.

Lời giải: Nếu $M(x_1;y_1),N(x_2;y_2)$ thì trung điểm của $MN$ có tọa độ $\left(\dfrac{x_1+x_2}{2};\dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$. Do đó $N(9;-5)$. Đáp án D.

Lời giải: Nếu $P(a;b)$, $Q$ đối xứng với $P$ qua trục $Ox$ thì tọa độ của $Q$ là $(a;-b)$, tức là $Q(-6;-11)$. Đáp án C.

Lời giải: Hệ số góc của $d$ là $\dfrac{-1-(-19)}{2-(-4)}=\dfrac{18}{6}=3$. Đáp án D.

Lời giải: Ta viết lại $y=4kx-x-12k+7=k(4x-12)+(7-x)$. Để $d$ đi qua $M(x_0;y_0)$ với mọi $k$ thì $4x_0-12=0\Rightarrow x_0=3$, khi đó $y_0=7-3=4$. Vậy $M(3;4)\Rightarrow S=9+16=25$. Đáp án B.

Lời giải: Đặt $t=a-1\Rightarrow a=t+1$. Ta có $f(t)=(t+1)^2-3(t+1)+7=t^2+2t+1-3t-3+7=t^2-t+5$. Vậy $f(x)=x^2-x+5$. Đáp án C.

Lời giải: Ta có $y=3x^2-x+4+\dfrac{1}{x-1}$. Để $x,y\in\mathbb{Z}$ thì $x-1$ là ước của $1$, suy ra $x\in\{0;2\}$. Vậy có $2$ điểm thuộc đồ thị có tọa độ nguyên. Đáp án B.

Lời giải: $G\left(\dfrac{2-8+9}{3};\dfrac{-5+7+10}{3}\right)=G(1;4)$, do đó độ dài đoạn $OG$ bằng $\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{17}$. Đáp án A.

Lời giải: Tọa độ trọng tâm $G\left(\dfrac{-3+2+7}{3};\dfrac{4+1-20}{3}\right)=G\left(\dfrac{6}{3};\dfrac{-15}{3}\right)=G(2;-5)$.

Lời giải: Điểm đối xứng với $M(a;b)$ qua gốc tọa độ $O$ là $N(-a;-b)$. Với $M(-3;5)$, ta được $N(3;-5)$.

Lời giải: Vì $d\parallel d^\prime$ nên $d$ có dạng $y=3x+b$ ($b\ne123$). Do $M\in d$: $-15=3(-2)+b=-6+b \Leftrightarrow b=-9$. Vậy $d:y=3x-9$.

Lời giải: Vì $d\parallel d^\prime$ nên $d$ có hệ số góc bằng $-7$, dạng $y=-7x+b$. Đường thẳng cắt $Oy$ tại điểm có tung độ $23$ nghĩa là $b=23$. Vậy $d:y=-7x+23$.

Lời giải: Ta có $y=x^2-8x+41=(x-4)^2+25\ge25$. Vậy $\min y=25$, đạt được khi $x=4$.

Lời giải: Đường thẳng $y=-x$ có hệ số góc $-1$. Vì $d$ vuông góc với đường thẳng này nên $d$ có hệ số góc $a$ thỏa $a\cdot(-1)=-1 \Rightarrow a=1$, tức $d:y=x+b$. Do $M\in d$: $3=-5+b \Rightarrow b=8$. Vậy $d:y=x+8$.

Lời giải: Giao điểm của $d_1$ và $d_2$: $2x-3=x-1 \Leftrightarrow x=2 \Rightarrow y=1$, tức điểm $(2;1)$. Để ba đường thẳng đồng quy, $d_3$ phải đi qua $(2;1)$: $1=(m-7)\cdot2+23=2m-14+23=2m+9 \Leftrightarrow 2m=-8 \Leftrightarrow m=-4$.

Lời giải: Ta có $y=|x-10|+|x-15|\ge|(x-10)-(x-15)|=|5|=5$ (bất đẳng thức $|A|-|B|\le|A-B|$ áp dụng dạng $|A|+|B|\ge|A-B|$). Vậy $\min y=5$, đạt được khi $10\le x\le15$.

Lời giải: Thay tọa độ từng điểm: $E$: $16-12+5=9$ (đúng); $F$: $4+6+5=15$ (đúng); $G$: $0-0+5=5$ (đúng); $H$: $9-9+5=5\ne10$ (sai). Vậy có $3$ điểm thuộc đồ thị. Đáp án C.

Lời giải: Xét $x^2-ax-b=0$ với $y=ax+b$. Với A: $x^2-2x+1=(x-1)^2=0$ (nghiệm kép). Với B: $x^2-4x+4=(x-2)^2=0$ (nghiệm kép). Với C: $x^2-6x+9=(x-3)^2=0$ (nghiệm kép). Với D: $x^2-2x-5=0$ có $\Delta=4+20=24>0$, có hai nghiệm phân biệt. Đáp án D.

Lời giải: Với $x=1$, tung độ trên $d$ là $y=6-2=4$. Để $(P)$ đi qua điểm này: $(3k-1)\cdot1^2=4\Leftrightarrow3k=5\Leftrightarrow k=\dfrac{5}{3}$. Đáp án A.

Lời giải: Nếu $d_1:y=ax+b$ thì đường thẳng đối xứng với $d_1$ qua trục $Oy$ là $y=-ax+b$. Vậy $d:y=-3x-9$. Đáp án B.

Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm: $-2x^2=-18\Leftrightarrow x^2=9\Leftrightarrow x=\pm3$. Suy ra $M(-3;-18),N(3;-18)$, do đó $MN=6$ và khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng $y=-18$ bằng $18$. Diện tích $\triangle OMN=\dfrac{1}{2}\cdot6\cdot18=54$. Đáp án C.

Lời giải: Trung điểm của $MN$ là $I(1;1)$. Hệ số góc của $MN$ là $\dfrac{-1-3}{4-(-2)}=-\dfrac{2}{3}$, do đó đường trung trực có hệ số góc $\dfrac{3}{2}$ và đi qua $I$: $y-1=\dfrac{3}{2}(x-1)\Leftrightarrow y=\dfrac{3}{2}x-\dfrac{1}{2}$. Đáp án D.

Lời giải: Ta viết lại $y=5x+9-m(x+2)$. Để $d$ đi qua điểm cố định với mọi $m$ thì $x+2=0\Rightarrow x=-2$, khi đó $y=5\cdot(-2)+9=-1$. Vậy $E(-2;-1)\Rightarrow OE=\sqrt{4+1}=\sqrt5$. Đáp án A.

Lời giải: Với $-4\le x\le-1$, hàm số $y=x^2$ nghịch biến nên $\min y$ đạt tại $x=-1$: $a=1$. Với $0\le x\le3$, hàm số $y=-x^2+5$ nghịch biến nên $\max y$ đạt tại $x=0$: $b=5$. Vậy $a+3b=1+15=16$. Đáp án B.