Đề thi thử số 4

Lời giải: $S=\left(\dfrac{\sqrt{y}}{x+\sqrt{xy}}+\dfrac{\sqrt{y}}{x-\sqrt{xy}}\right):\dfrac{2\sqrt{xy}}{x-y}=\left(\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}+\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}\right).\dfrac{x-y}{2\sqrt{xy}}$
$=\dfrac{\sqrt{y}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)+\sqrt{y}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}.\dfrac{x-y}{2\sqrt{xy}}=\dfrac{\sqrt{xy}-y+\sqrt{xy}+y}{\sqrt{x}\left(x-y\right)}.\dfrac{x-y}{2\sqrt{xy}}$
$=\dfrac{2\sqrt{xy}}{\sqrt{x}\left(x-y\right)}.\dfrac{x-y}{2\sqrt{xy}}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$
Với $x=1$ thì $S=1$.
Đáp án A.

Lời giải: Cách 1: Từ $x+y=2$ ta có $y=2-x$.
Do đó $S=x^2+\left(2-x\right)^2=2\left(x-1\right)^2+2\ge 2$.
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=1$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của $S$ là 2 khi $x=y=1$.
Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có:
$\left(x+y\right)^2\le \left(x^2+y^2\right)\left(1+1\right)\Leftrightarrow 4\le 2\left(x^2+y^2\right)=2S\Leftrightarrow S\ge 2$.
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=1$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của $S$ là 2 khi $x=y=1$.
Đáp án B.

Lời giải: $Q=\dfrac{2}{x-1}$ nguyên khi $x-1$ là ước của 2, khi đó $\left[\begin{array}{l}x-1=\pm 1\\ x-1=\pm 2\end{array}\right.$
Do $x$ lớn nhất thì $x-1=2$ hay $x=3$.
Đáp án C.

Lời giải: Ta có $A=\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{120}+\sqrt{121}}$
$=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+...+\sqrt{121}-\sqrt{120}$
$=\sqrt{121}-1=11-1=10$
Đáp án D.

Lời giải: Điều kiện: $x^3+1\ge 0\Leftrightarrow x\ge -1\ (1)$
Đặt $a=\sqrt{x+1}; b=\sqrt{x^2-x+1}, \left(a\ge 0; b>0\right)\ (2)\Rightarrow a^2+b^2=x^2+2$
Khi đó phương trình đã cho trở thành:
$10ab=3\left(a^2+b^2\right)\Leftrightarrow \left(a-3b\right)\left(3a-b\right)=0$
$\Leftrightarrow a=3b$ hoặc $b=3a$.
+) Nếu $a=3b$ thì từ (2) suy ra: $\sqrt{x+1}=3\sqrt{x^2-x+1}\Leftrightarrow 9x^2-10x+8=0$ (vô nghiệm).
+) Nếu $b=3a$ thì từ (2) suy ra: $3\sqrt{x+1}=\sqrt{x^2-x+1}\Leftrightarrow 9x+9=x^2-x+1\Leftrightarrow x^2-10x-8=0$
Phương trình có hai nghiệm $x_1=5+\sqrt{33}; x_2=5-\sqrt{33}$ (thỏa mãn (1)).
Vậy phương trình có hai nghiệm $x_1=5+\sqrt{33}$ và $x_2=5-\sqrt{33}$
Tổng các nghiệm của phương trình là: $5+\sqrt{33}+5-\sqrt{33}=10$.
Đáp án A.

Lời giải: Điều kiện: $1-x^2>0\Leftrightarrow -10\Rightarrow A\ge 0$
Vậy $A^2=\dfrac{25-30x+9x^2}{1-x^2}=\dfrac{\left(3-5x\right)^2}{1-x^2}+16\ge 16$.
Dấu bằng xảy ra khi $3-5x=0\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{5}$.
Vậy $\min A=4$.
Đáp án C.

Lời giải: Xét đẳng thức: $f\left(x\right)+3f\left(\dfrac{1}{x}\right)=x^2 \forall x\ne 0\ (1)$
Thay $x=2$ vào (1) ta có: $f\left(2\right)+3.f\left(\dfrac{1}{2}\right)=4$.
Thay $x=\dfrac{1}{2}$ vào (1) ta có: $f\left(\dfrac{1}{2}\right)+3.f\left(2\right)=\dfrac{1}{4}$.
Đặt $f\left(2\right)=a, f\left(\dfrac{1}{2}\right)=b$ ta có: $\begin{cases}a+3b=4\\3a+b=\dfrac{1}{4}\end{cases}$.
Giải hệ ta được $a=-\dfrac{13}{32}$.
Vậy $f\left(2\right)=-\dfrac{13}{32}$.
Đáp án D.

Lời giải: Vì đường thẳng $y=ax+b$ đi qua điểm $A\left(2;3\right)$ nên thay $x=2$ và $y=3$ vào phương trình đường thẳng ta được: $3=2a+b\ (1)$.
Tương tự: $1=-2a+b\ (2)$. Từ đó ta có hệ:
$\begin{cases}2a+b=3\\-2a+b=1\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}2b=4\\2a+b=3\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a=\dfrac{1}{2}\\b=2\end{cases}\Rightarrow a^2+b^2=\dfrac{17}{4}$.
Đáp án B.

Lời giải: Đường thẳng $y=2x-1$ cắt trục hoành tại điểm có hoành độ $x=\dfrac{1}{2}$; còn đường thẳng $y=3x+m$ cắt trục hoành tại điểm có hoành độ $x=-\dfrac{m}{3}$. Suy ra hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm trên trục hoành $\Leftrightarrow -\dfrac{m}{3}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow m=-\dfrac{3}{2}$.
Đáp án C.

Lời giải: Viết đường thẳng $2x+y=3$ về dạng $y=-2x+3$.
Vì đường thẳng $y=ax+b$ song song với đường thẳng trên, suy ra $a=-2\ (1)$
Vì đường thẳng $y=ax+b$ đi qua điểm $M\left(2;\dfrac{1}{2}\right)$ nên ta có: $\dfrac{1}{2}=2a+b\ (2)$.
Từ (1) và (2) suy ra $a=-2$ và $b=\dfrac{9}{2}$.
Khi đó: $a+b=-2+\dfrac{9}{2}=\dfrac{5}{2}$.
Đáp án A.

Lời giải: Hệ phương trình: $\begin{cases}x^3+1=2y\ (1)\\y^3+1=2x\ (2)\end{cases}$
Lấy pt (1) trừ pt (2) ta được: $x^3-y^3=2\left(y-x\right)$
$\Leftrightarrow \left(x-y\right)\left(x^2-xy+y^2+2\right)=0\Leftrightarrow x-y=0\Leftrightarrow x=y$
(do $x^2-xy+y^2+2=\left(x-\dfrac{y}{2}\right)^2+\dfrac{3y^2}{4}+2>0$)
Với $x=y$ ta có phương trình: $x^3-2x+1=0$
$\left(x-1\right)\left(x^2+x-1\right)=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=1\\x=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\\x=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}\end{array}\right.$
Vậy hệ đã cho có 3 nghiệm là: $\left(1;1\right), \left(\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2};\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\right), \left(\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2};\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}\right)$.
Đáp án C.

Lời giải: Giải hệ đã cho theo $m$ ta được:
$\begin{cases}3x-y=2m-1\\x+2y=3m+2\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}6x-2y=4m-2\\x+2y=3m+2\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}7x=7m\\x+2y=3m+2\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x=m\\y=m+1\end{cases}$
Nghiệm của hệ đã cho thỏa mãn $x^2+y^2=10$
$\Leftrightarrow m^2+\left(m+1\right)^2=10\Leftrightarrow 2m^2+2m-9=0$.
Giải ra ta được: $m_1=\dfrac{-1+\sqrt{19}}{2}; m_2=\dfrac{-1-\sqrt{19}}{2}$.
Vậy có hai giá trị của $m$ thỏa mãn điều kiện bài toán.
Đáp án B.

Lời giải: Từ (1) $\Rightarrow a+b+c=7-x$. Từ (2) $\Rightarrow a^2+b^2+c^2=13-x^2$.
Ta chứng minh: $3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge \left(a+b+c\right)^2$.
$\Leftrightarrow 3a^2+3b^2+3c^2-a^2-b^2-c^2-2ab-2ac-2bc\ge 0$
$\Leftrightarrow \left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge 0$ (đúng)
Suy ra $3\left(13-x^2\right)\ge \left(7-x\right)^2\Leftrightarrow 3\left(13-x^2\right)\ge 49-14x+x^2$
$\Leftrightarrow 4x^2-14x+10\le 0\Leftrightarrow 1\le x\le \dfrac{5}{2}$.
$x=\dfrac{5}{2}$ khi $a=b=c=\dfrac{3}{2}, x=1$ khi $a=b=c=2$.
Vậy $\max x=\dfrac{5}{2}, \min x=1$.
Đáp án A.

Lời giải: $\begin{cases}x^2y^2-2x+y^2=0\\2x^2-4x+3=-y^3\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}y^2=\dfrac{2x}{x^2+1}\\y^3=-2\left(x-1\right)^2-1\end{cases}$
Ta có: $\dfrac{2x}{1+x^2}\le 1\Rightarrow y^2\le 1\Rightarrow -1\le y\le 1\ (1)$
Mặt khác: $-2\left(x-1\right)^2-1\le -1\Rightarrow y^3\le -1\Rightarrow y\le -1\ (2)$
Từ (1) và (2) $\Rightarrow y=-1$ nên $x=1$.
Thay vào hệ đã cho thử lại thì thỏa mãn.
Vậy $x=1$ và $y=-1$ là các số cần tìm.
Vậy $x+y=0$.
Đáp án D.

Lời giải: Xét phương trình $x^2-2mx+4=0\ (1)$
Ta có: $\Delta^{\prime}=m^2-4$
Phương trình (1) có nghiệm $\Leftrightarrow \Delta^{\prime}\ge 0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m\ge 2\\m\le -2\end{array}\right.\ (*)$
Theo hệ thức Vi-ét ta có: $x_1+x_2=2m$ và $x_1x_2=4$.
Suy ra: $\left(x_1+1\right)^2+\left(x_2+1\right)^2=2$
$\Leftrightarrow x_1^2+2x_1+x_2^2+2x_2=0\Leftrightarrow \left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2+2\left(x_1+x_2\right)=0$
$\Leftrightarrow 4m^2-8+4m=0\Leftrightarrow m^2+m-2=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m_1=1\\m_2=-2\end{array}\right.$
Đối chiếu với điều kiện (*) ta thấy chỉ có nghiệm $m_2=-2$ thỏa mãn.
Vậy $m=-2$ là giá trị cần tìm.
Đáp án B.

Lời giải: Phương trình $3x^2-x-2=0$ có các hệ số $a$ và $c$ trái dấu nên luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$.
Theo hệ thức Vi-ét ta có: $\begin{cases}x_1+x_2=\dfrac{1}{3}\\x_1x_2=-\dfrac{2}{3}\end{cases}$
Do đó $P=\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_2+x_1}{x_1x_2}=\dfrac{1}{3}:\left(-\dfrac{2}{3}\right)=-\dfrac{1}{2}$.
Đáp án C.

Lời giải: Phương trình có 2 nghiệm $x_1, x_2\Leftrightarrow \Delta^{\prime}=9-m>0\Leftrightarrow m<9$.
Theo hệ thức Vi-ét ta có: $\begin{cases}x_1+x_2=6\ (1)\\x_1.x_2=m\ (2)\end{cases}$
Theo yêu cầu của bài ra $x_1-x_2=4\ (3)$
Từ (1) và (3) $\Rightarrow x_1=5$, thay vào $(1)\Rightarrow x_2=1$.
Suy ra $m=x_1x_2=5$ (thỏa mãn)
Vậy $m=5$ là giá trị cần tìm.
Đáp án B.

Lời giải: Ta có: $x^2-3x+2=\left(x-1\right)\left(x-2\right), x^2+2x-3=\left(x-1\right)\left(x+3\right)$
Điều kiện: $x\ge 2\ (*)$
Phương trình đã cho $\Leftrightarrow \sqrt{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}-\sqrt{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}+\sqrt{x+3}-\sqrt{x-2}=0$
$\Leftrightarrow \sqrt{x-1}\left(\sqrt{x-2}-\sqrt{x+3}\right)-\left(\sqrt{x-2}-\sqrt{x+3}\right)=0$
$\Leftrightarrow \left(\sqrt{x-2}-\sqrt{x+3}\right)\left(\sqrt{x-1}-1\right)=0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\sqrt{x-2}=\sqrt{x+3}\\\sqrt{x-1}-1=0\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow x=2$ (thỏa mãn điều kiện (*))
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $x=2$.
Đáp án B.

Lời giải: Ta có: $\Delta=\left(2m+1\right)^2-4\left(m^2+5m\right)=4m^2+4m+1-4m^2-20m=1-16m$
Phương trình có hai nghiệm $\Leftrightarrow \Delta\ge 0\Leftrightarrow 1-16m\ge 0\Leftrightarrow m\le \dfrac{1}{16}$
Khi đó theo hệ thức Vi-ét có tích các nghiệm là $m^2+5m$.
Mà tích các nghiệm bằng 6, do đó
$m^2+5m=6\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m=1\\m=-6\end{array}\right.$.
Vì $m\le \dfrac{1}{16}$ nên $m=-6$ thỏa mãn điều kiện bài toán.
Đáp án C.

Lời giải: $x^3-2mx^2+\left(m^2+1\right)x-m=0\Leftrightarrow x^3-2mx^2+m^2x+x-m=0$
$\Leftrightarrow x\left(x^2-2mx+m^2\right)+x-m=0\Leftrightarrow x\left(x-m\right)^2+\left(x-m\right)=0$
$\Leftrightarrow \left(x-m\right)\left(x^2-mx+1\right)=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=m\\x^2-mx+1=0\ (1)\end{array}\right.$
Để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt thì (1) có hai nghiệm phân biệt khác $m$.
Dễ thấy $x=m$ không là nghiệm của (1). Vậy (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
$\Delta=m^2-4>0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m>2\\m<-2\end{array}\right.$
Vậy các giá trị $m$ cần tìm là: $\left[\begin{array}{l}m>2\\m<-2\end{array}\right.$
Đáp án A.

Lời giải: Phương trình có nghiệm khi $\Delta\ge 0\Leftrightarrow p^2+4q\ge 0$. Gọi $x_1, x_2$ là 2 nghiệm.
Khi đó theo hệ thức Vi-ét có $\begin{cases}x_1+x_2=-p\\x_1x_2=q\end{cases}$
Mà $p+q=198\Rightarrow x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)=198$
$\Leftrightarrow \left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)=199=1.199=\left(-1\right)\left(-199\right)$ (Vì $x_1, x_2\in \mathbb{Z}$).
Nên ta có bảng: $\left(x_1-1;x_2-1\right)\in \left\{(1;199),(-1;-199),(199;1),(-199;-1)\right\}$ ứng với $\left(x_1;x_2\right)\in \left\{(2;200),(0;-198),(200;2),(-198;0)\right\}$
Vậy phương trình có các nghiệm nguyên: $\left(200;2\right);\left(-198;0\right)$.
Đáp án C.

Lời giải: Phương trình có nghiệm phân biệt $x_1, x_2\Rightarrow \Delta=a^2-4\left(b+1\right)>0\ (*)$
Khi đó theo hệ thức Vi-ét có $\begin{cases}x_1+x_2=-a\\x_1x_2=b+1\end{cases}\ (1)$.
Bài toán yêu cầu $\begin{cases}x_1-x_2=3\\x_1^3-x_2^3=9\end{cases}$
$\begin{cases}x_1-x_2=3\\\left(x_1-x_2\right)^3+3x_1x_2\left(x_1-x_2\right)=9\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x_1-x_2=3\\x_1x_2=-2\end{cases}\ (2)$.
Từ hệ (2) ta có: $\left(x_1+x_2\right)^2=\left(x_1-x_2\right)^2+4x_1x_2=3^2+4\left(-2\right)=1$, kết hợp với (1) được
$\begin{cases}a^2=1\\b+1=-2\end{cases}\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}a=1,b=-3\\a=-1,b=-3\end{array}\right.$.
Các giá trị này đều thỏa mãn điều kiện (*) nên chúng là các giá trị cần tìm.
Vậy $a^2+b^2=10$.
Đáp án D.

Lời giải: $A=\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{xy}=\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{1}{2xy}$
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ta có:
$x+y\ge 2\sqrt{xy}\Rightarrow 1\ge 2\sqrt{xy}\Rightarrow 1\ge 4xy\Rightarrow \dfrac{1}{2xy}\ge 2\ (1)$
Đẳng thức xảy ra khi $x=y$.
Tương tự với $a, b$ dương ta có: $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge 2\sqrt{\dfrac{1}{ab}}\ge 2.\dfrac{2}{a+b}=\dfrac{4}{a+b}\ (*)$
Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có: $\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}\ge \dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}=4\ (2)$
Dấu đẳng thức xảy ra khi $x^2+y^2=2xy\Leftrightarrow x=y$
Từ (1) và (2) suy ra: $A\ge 6$. Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}$.
Vậy $\min A=6$.
Đáp án C.

Lời giải: Đặt $|x|=t\ (t\ge 0)$, được $t^2+2\left(m-1\right)t+m+1=0\ (1)$
Phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow (1)$ có 2 nghiệm khác dấu hoặc (1) có nghiệm kép $t>0$.
+) (1) có 2 nghiệm khác dấu $\Leftrightarrow m+1<0\Leftrightarrow m<-1$.
+) $\Delta^{\prime}=0\Leftrightarrow m^2-3m=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m=0\\m=3\end{array}\right.$
Thay vào (1) để xét thì $m=0$ thỏa mãn, $m=3$ bị loại.
Vậy $m=-1$ hoặc $m=0$.
Đáp án D.

Lời giải: $BH$ cắt $CK$ tại $M\Rightarrow M$ là trực tâm của $\triangle ABC \Rightarrow AM\perp BC$ tại $I$.
Ta có $\triangle AIC\sim \triangle BHC$ vì $\hat{I}=\hat{H}=90^0$ và $\hat{C}$ chung.
$\Rightarrow \dfrac{IH}{HC}=\dfrac{AC}{BC}$ hay $\Rightarrow \dfrac{\dfrac{a}{2}}{HC}=\dfrac{b}{a}\Rightarrow HC=\dfrac{a^2}{2b}$
$\Rightarrow AH=b-\dfrac{a^2}{2b}=\dfrac{2b^2-a^2}{2b}$
Mà $HK\parallel BC\Rightarrow \dfrac{HK}{BC}=\dfrac{AH}{AC}\Rightarrow HK=\dfrac{BC.AH}{AC}$
$\Rightarrow HK=\dfrac{a}{b}\left(\dfrac{2b^2-a^2}{2b}\right)=\dfrac{2ab^2-a^3}{2b^2}=a-\dfrac{a^3}{2b^2}$
Đáp án D.

Lời giải: Ta có $\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{20}{21}$ nên đặt $AB=20k, AC=21k$.
Áp dụng định lý Pi-ta-go trong tam giác vuông $ABC$ ta có:
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{\left(20k\right)^2+\left(21k\right)^2}=29k$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $ABC$ ta có:
$AH.BC=AB.AC\Rightarrow k=29$.
Vậy $AB=580, AC=609, BC=841$.
Vậy chu vi tam giác $ABC$ là: $580+609+841=2030$.
Đáp án B.

Lời giải: Ta có $\cos\alpha-\sin\alpha=\dfrac{1}{5}\ (1)$ nên $\left(\cos\alpha-\sin\alpha\right)^2=\dfrac{1}{25}$ hay
$\cos^2\alpha-\sin^2\alpha-2\cos\alpha.\sin\alpha=\dfrac{1}{25}$ hay $\cos\alpha.\sin\alpha=\dfrac{12}{25}$.
Mặt khác: $\left(\cos\alpha+\sin\alpha\right)^2=\cos^2\alpha+\sin^2\alpha+2\cos\alpha.\sin\alpha=1+\dfrac{24}{25}=\dfrac{49}{25}$ nên
$\cos\alpha+\sin\alpha=\dfrac{7}{5}\ (2)$.
Từ (1) và (2) suy ra: $\cos\alpha=\dfrac{4}{5}; \sin\alpha=\dfrac{3}{5}$.
Suy ra: $\cot\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\dfrac{4}{3}$.
Đáp án C.

Lời giải: $DE, AB, AC$ là các tiếp tuyến của $\left(O\right)$. Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
$DM=DB, EM=EC, AB=AC$.
Do đó, chu vi tam giác $ADE$ bằng
$AD+DE+AE=AD+DM+EM+AE=AD+DB+EC+AE=AB+AC=2AB$.
Đáp án A.

Lời giải: Gọi $O$ là tâm đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của góc $\widehat{xAy}$. Vẽ $OH\perp Ox$ tại $H, OK\perp Oy$ tại $K$. Ta có $OH=OK\ (=R)$.
Do đó $O$ nằm trên tia phân giác của góc $xAy$.
Đáp án B.

Lời giải: $MA, MB$ là các tiếp tuyến của đường tròn $\left(O\right)$, nên $MO\perp AB$.
Tương tự $MO^{\prime}\perp AC$. Suy ra $\widehat{MEA}=\widehat{AFM}=90^0$.
$MO$ là phân giác của góc $\widehat{BMA}, MO^{\prime}$ là phân giác của góc $\widehat{CMA}$.
Mà $\widehat{BMA}+\widehat{CMA}=180^0$
Nên $\widehat{OMO^{\prime}}=90^0$.
Vậy tứ giác $AEMF$ là hình chữ nhật (có 3 góc vuông) $\Rightarrow A$ đúng.
$\triangle MAO$ vuông tại $A$ có $AE$ là đường cao nên $MA^2=ME.MO$, tương tự $MA^2=MF.MO^{\prime}$
Suy ra: $ME.MO=MF.MO^{\prime}\Rightarrow B$ đúng.
Ta có $MA=MB=MC$ nên $M$ là tâm đường tròn đường kính $BC$ có bán kính $MA$. Mà $OO^{\prime}\perp MA$ tại $A$. Do đó $OO^{\prime}$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $BC\Rightarrow C$ đúng.
Gọi $K$ là trung điểm của $OO^{\prime}$, ta có $K$ là tâm đường tròn có đường kính $OO^{\prime}$, bán kính $KM$. ($\triangle MOO^{\prime}$ vuông tại $M$).
Ta có: $OB\perp BC, O^{\prime}C\perp BC\Rightarrow OB\parallel OC$
Tứ giác $OBCO^{\prime}$ là hình thang có $K, M$ lần lượt là trung điểm các cạnh bên $OO^{\prime}, BC$.
Do đó $KM$ là đường trung bình của hình thang $OBCO^{\prime}\Rightarrow KM\parallel OB$.
Mà $OB\perp BC$ nên $KM\perp BC$. Ta có $KM\perp BC$ tại $M$ nên $BC$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $OO^{\prime}\Rightarrow D$ sai.
Đáp án D.

Lời giải: Khi điểm $C$ nằm trên cung lớn $AB$. Khi đó điểm $A$ nằm giữa hai điểm $B$ và $C$ nên:
Số đo cung nhỏ $BC=sd\widehat{AB}+sd\widehat{AC}=100^0+45^0=145^0$.
Đáp án B.

Lời giải: Vì $At\parallel MN$ (gt) nên $\widehat{AMN}=\widehat{BAt}\ (1)$
Ta có $\widehat{BAt}$ là góc tạo bởi tiếp tuyến $At$ và dây $AB$ chắn cung $AB$ của $\left(O\right)$ và $\widehat{ACB}$ là góc nội tiếp của $\left(O\right)$ chắn cung $\widehat{AB}$ nên: $\widehat{BAt}=\widehat{ACB}\ (2)$
Từ (1) và (2) suy ra: $\widehat{AMN}=\widehat{ACB}$.
Xét hai tam giác $AMN$ và $ACB$ ta có:
$\hat{A}$ chung; $\widehat{AMN}=\widehat{ACB}$. Suy ra $\triangle AMN\sim \triangle ACB$.
Suy ra: $\dfrac{AN}{AB}=\dfrac{AM}{AC}$ hay $AB.AM=AC.AN$.
Đáp án B.

Lời giải: Hình bình hành có tổng hai góc đối diện không bằng $180^0$ nên không nội tiếp được đường tròn.
Đáp án A.

Lời giải: Gọi chu vi ròng rọc là $C=504mm$, độ dài cung $AB$ là $l=200mm$, $sd\widehat{AB}=n^0$.
Ta có công thức: $l=\dfrac{\pi.R.n}{180}=\dfrac{2\pi.R.n}{360}=\dfrac{C.n}{360}$.
Suy ra: $n^0=\dfrac{360.l}{C}=\dfrac{360.200}{540}=133^020^{\prime}$.
Vì góc $\widehat{AOB}$ là góc ở tâm chắn cung $\widehat{AB}$ nên: $\widehat{AOB}=sd\widehat{AB}=133^020^{\prime}$.
Vậy $\widehat{AOB}=133^020^{\prime}$.
Đáp án B.

Lời giải: Ta có $\triangle OMC=\triangle DPO\ (c.g.c)\Rightarrow \widehat{ODP}=90^0$
Suy ra $P$ chạy trên đường thẳng cố định vuông góc với $CD$ tại $D$.
Vì $M$ chạy trên đoạn thẳng $AB$ nên $P$ chỉ chạy trên đoạn thẳng $A^{\prime}B^{\prime}$ song song và bằng $AB$.
Đáp án B.

Lời giải: So sánh số quyển sách của bốn tuần: $95 \lt 110 \lt 120 \lt 140$. Vậy Tuần 2 có số lượt mượn sách ít nhất. Đáp án D.

Lời giải: Đếm tần số của từng giá trị: 1 xuất hiện 5 lần, 2 xuất hiện 12 lần, 3 xuất hiện 6 lần, 4 xuất hiện 3 lần, 5 xuất hiện 1 lần, 6 xuất hiện 1 lần. Số bài văn mắc từ 3 lỗi trở lên là tổng tần số của các giá trị 3, 4, 5, 6: $6+3+1+1=11$. Đáp án D.

Lời giải: Theo bảng số liệu đã cho, nhóm $[20;25)$ có tần số ghép nhóm được ghi trực tiếp là 16 (số ngày có tốc độ gió thuộc nhóm này). Đáp án A.

Lời giải: Không gian mẫu gồm $C_5^2 = 10$ cách chọn 2 đội. Biến cố M xảy ra khi đội A được chọn cùng với 1 trong 4 đội còn lại là B, C, D, E, nên có 4 kết quả thuận lợi. Đáp án D.

Lời giải: Số lá chất Cơ là 13 lá, số lá J là 4 lá (mỗi chất 1 lá), trong đó lá J chất Cơ được tính ở cả hai loại nên số lá thoả mãn (chất Cơ hoặc lá J) là $13+4-1=16$ (lá). Bộ bài có 52 lá nên xác suất cần tìm là $\dfrac{16}{52} = \dfrac{4}{13}$. Đáp án B.