Câu 1

Có bao nhiêu giá trị nguyên của $x$ để $P=\dfrac{5}{x-2}$ nhận giá trị nguyên?

Lời giải: $P$ nhận giá trị nguyên khi $5$ chia hết cho $x-2$, suy ra $x-2\in\{\pm 1;\pm 5\}$, tức là có $4$ giá trị nguyên của $x$ thỏa mãn. Đáp án D.

Câu 2

Biểu thức $P=\sqrt{x-3}+\sqrt{12-x}+\sqrt{x^{2}+1}$ có nghĩa khi

Lời giải: $P$ xác định khi $\begin{cases} x-3\ge 0 \\ 12-x\ge 0 \end{cases} \Leftrightarrow 3\le x\le 12$. Đáp án D.

Câu 3

Rút gọn biểu thức $M=\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}}+\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}}$

Lời giải: $M=\left|\sqrt{3}+1\right|+\left|1-\sqrt{3}\right|=\sqrt{3}+1-1+\sqrt{3}=2\sqrt{3}$. Đáp án B.

Câu 4

Phương trình $x^{2}-3x+m=0$ có một nghiệm là $x=1$, nghiệm còn lại là

Lời giải: Theo định lí Vi-ét ta có $x_1+x_2=3$, do $x_1=1\Rightarrow x_2=2$. Đáp án C.

Câu 5

Có bao nhiêu giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $d: y=13x+m^{2}-8m+20$ đi qua điểm $M(0;5)$?

Lời giải: $d$ đi qua $M$ khi $5=m^{2}-8m+20 \Leftrightarrow m^{2}-8m+15=0$, phương trình này có hai nghiệm $m=3$ và $m=5$. Vậy có $2$ giá trị của $m$ thỏa mãn. Đáp án B.

Câu 6

Cho hàm số $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$. Nếu $f(0)=3$, $f(2)=5$ thì $2a+b$ có giá trị là:

Lời giải: Do $f(0)=3 \Rightarrow d=3$. Ta có $f(2)=8a+4b+2c+d=5 \Rightarrow 8a+4b+2c+3=5 \Rightarrow 8a+4b=2-2c \Rightarrow 2a+b=\dfrac{1-c}{2}$. Đáp án D.

Câu 7

Cho $x\lt 11$, rút gọn biểu thức $P=\sqrt{121-22x+x^{2}}+x-11$

Lời giải: $P=\sqrt{(x-11)^{2}}+x-11=|x-11|+x-11$. Vì $x<11$ nên $|x-11|=11-x$, do đó $P=(11-x)+x-11=0$. Đáp án D.

Câu 8

Phương trình sau có mấy nghiệm? $x^{4}+321x^{2}-322=0$

Lời giải: Đặt $t=x^{2}\ge 0$, ta được $t^{2}+321t-322=0$, phương trình này có hai nghiệm $t=-322$ (loại vì $t\ge 0$) và $t=1$ (nhận). Với $t=1$ thì $x^{2}=1 \Rightarrow x=\pm 1$. Vậy phương trình đã cho có $2$ nghiệm. Đáp án B.

Câu 9

Tìm giá trị của tham số $m$ để phương trình $x^{2}-2x+3m-1=0$ có hai nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn $x_1^{2}+x_2^{2}=10$.

Lời giải: Nếu phương trình có hai nghiệm $x_1,x_2$ thì theo hệ thức Vi-ét: $x_1+x_2=2$, $x_1x_2=3m-1$. Ta có $x_1^{2}+x_2^{2}=(x_1+x_2)^{2}-2x_1x_2=10 \Leftrightarrow 4-2(3m-1)=10 \Leftrightarrow m=-\dfrac{2}{3}$. Đáp án B.

Câu 10

Tìm các giá trị của tham số $m$ để hệ phương trình sau có nghiệm $\begin{cases} x+my=11 \\ 5x-3y=m+1 \end{cases}$

Lời giải: Nhân phương trình đầu với $5$ ta được $5x+5my=55$. Trừ đi phương trình sau: $(5x+5my)-(5x-3y)=55-(m+1) \Leftrightarrow (5m+3)y=54-m$. Hệ có nghiệm khi $5m+3\ne 0 \Leftrightarrow m\ne -\dfrac{3}{5}$. Đáp án C.

Câu 11

Hệ phương trình sau có mấy nghiệm $\begin{cases} x^{2}=3y \\ y^{2}=3x \end{cases}$

Lời giải: Trừ từng vế hai phương trình ta được $x^{2}-y^{2}=3y-3x \Leftrightarrow (x-y)(x+y+3)=0$, suy ra $x=y$ hoặc $x+y=-3$. Nếu $x=y$: thay vào $x^{2}=3x \Leftrightarrow x(x-3)=0 \Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=3$, cho hai nghiệm $(x;y)=(0;0)$ và $(x;y)=(3;3)$. Nếu $x+y=-3$: cộng hai phương trình ban đầu ta có $x^{2}+y^{2}=3(x+y)=-9<0$, vô lí, nên trường hợp này vô nghiệm. Vậy hệ có đúng $2$ nghiệm. Đáp án C.

Câu 12

Hệ phương trình sau có mấy nghiệm? $\begin{cases} x^{2}+y^{6}+5=0 \\ x^{2}y+xy^{2}-7x=3 \end{cases}$

Lời giải: Từ phương trình đầu ta có $x^{2}+y^{6}=-5<0$. Vì $x^{2}\ge 0$ và $y^{6}\ge 0$ với mọi $x,y$ nên $x^{2}+y^{6}\ge 0$, do đó không tồn tại $x,y$ thỏa mãn phương trình đầu. Vậy hệ vô nghiệm. Đáp án A.

Câu 13

Cho hàm số $D(x)$ xác định bởi: $D(x)=1$ nếu $x$ là số hữu tỷ, $D(x)=0$ nếu $x$ là số vô tỷ. Khẳng định nào sau đây đúng?

Lời giải: Trong mọi khoảng số thực, dù nhỏ đến đâu, đều tồn tại cả số hữu tỷ và số vô tỷ, nên hàm số $D(x)$ nhận cả hai giá trị $0$ và $1$ xen kẽ tùy ý gần nhau. Do đó hàm số không đồng biến, không nghịch biến và cũng không phải là hàm hằng (không đổi) trên $\mathbb{R}$, tức là cả ba khẳng định A, B, C đều sai. Đáp án D.

Câu 14

Phương trình của đường thẳng nào dưới đây đi qua các điểm $M(4;0);N(0;-3)$?

Lời giải: Do đường thẳng đi qua $N(0;-3)$ nên có dạng $y=ax-3$. Đường thẳng này đi qua $M(4;0)$ nên $0=a.4-3 \Rightarrow a=\dfrac{3}{4}$. Vậy đường thẳng cần tìm là $y=\dfrac{3}{4}x-3$. Đáp án B.

Câu 15

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y$ xác định bởi $y=x^{2}+7$ khi $x\le 0$ và $y=3x+8$ khi $x\gt 0$.

Lời giải: Với $x\le 0$: hàm số $y=x^{2}+7$ nghịch biến trên khoảng $(-\infty;0]$ nên đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=0$, khi đó $y=7$. Với $x>0$: hàm số $y=3x+8$ đồng biến trên $(0;+\infty)$ nên $y>8$. So sánh hai trường hợp, giá trị nhỏ nhất của hàm số là $7$, đạt tại $x=0$. Đáp án B.

Câu 16

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\sqrt{(x-2)^{2}}+\sqrt{(x-3)^{2}}$

Lời giải: $P=|x-2|+|3-x|\ge |(x-2)+(3-x)|=1$. Dấu bằng xảy ra khi $2\le x\le 3$. Vậy $\min P=1$. Đáp án C.

Câu 17

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $M=\dfrac{16}{x^{2}-6x+17}$

Lời giải: Ta có $x^{2}-6x+17=(x-3)^{2}+8\ge 8$ với mọi $x$, suy ra $M=\dfrac{16}{x^{2}-6x+17}\le \dfrac{16}{8}=2$. Dấu bằng xảy ra khi $x=3$. Vậy $\max M=2$. Đáp án B.

Câu 18

Kí hiệu $x \therefore y$ là tổng các số tự nhiên nằm trong khoảng $(x;y)$. Ví dụ $5 \therefore 9=6+7+8$. Tính $(3 \therefore 2171)-(5 \therefore 2169)$

Lời giải: $(3\therefore 2171)$ là tổng các số tự nhiên từ $4$ đến $2170$; $(5\therefore 2169)$ là tổng các số tự nhiên từ $6$ đến $2168$. Do đó $(3\therefore 2171)-(5\therefore 2169)=4+5+2169+2170=4348$. Đáp án C.

Câu 19

$x_0=\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}+\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}$ là nghiệm của phương trình nào dưới đây.

Lời giải: Ta có $20+14\sqrt{2}=(2+\sqrt{2})^{3}$ và $20-14\sqrt{2}=(2-\sqrt{2})^{3}$ (kiểm tra trực tiếp bằng khai triển lập phương), do đó $x_0=\sqrt[3]{(2+\sqrt{2})^{3}}+\sqrt[3]{(2-\sqrt{2})^{3}}=(2+\sqrt{2})+(2-\sqrt{2})=4$. Thay $x=4$ vào $x^{2}-4x$ ta được $16-16=0$, thỏa mãn. Đáp án A.

Câu 20

Gọi $P$ là giá trị lớn nhất của biểu thức $\dfrac{2x}{x^{2}+1}$. Khẳng định nào dưới đây là đúng?

Lời giải: Đặt $y=\dfrac{2x}{x^{2}+1} \Leftrightarrow yx^{2}-2x+y=0$, phương trình này có nghiệm đối với $x$. Nếu $y=0$ thì $x=0$. Nếu $y\ne 0$ thì phương trình có nghiệm khi $\Delta^{\prime}=1-y^{2}\ge 0 \Leftrightarrow -1\le y\le 1$. Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là $P=1$ (đạt tại $x=1$), do đó $1\le P<2$ là khẳng định đúng. Đáp án A.

Câu 21

Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn điều kiện: $4a^{2}+2b^{2}+2c^{2}-4ab+2bc-4ac-2b+2c+2=0$. Tính giá trị của biểu thức $P=(a+1)^{30}+(b-2)^{100}+(c+1)^{30}$

Lời giải: Ta biến đổi được: $4a^{2}+2b^{2}+2c^{2}-4ab+2bc-4ac-2b+2c+2=(2a-b-c)^{2}+(b-1)^{2}+(c+1)^{2}=0$. Vì tổng các bình phương bằng $0$ nên $2a-b-c=0$, $b-1=0$, $c+1=0$, suy ra $b=1$, $c=-1$, $a=\dfrac{b+c}{2}=0$. Vậy $P=(0+1)^{30}+(1-2)^{100}+(-1+1)^{30}=1+1+0=2$. Đáp án B.

Câu 22

Phương trình $x^{3}+y^{3}=x+y+16$ có bao nhiêu nghiệm nguyên?

Lời giải: Phương trình tương đương với $(x^{3}-x)+(y^{3}-y)=16 \Leftrightarrow (x-1)x(x+1)+(y-1)y(y+1)=16$. Với $x,y\in\mathbb{Z}$, mỗi tích $(x-1)x(x+1)$ và $(y-1)y(y+1)$ là tích của ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho $3$, do đó vế trái luôn chia hết cho $3$, trong khi vế phải $16$ không chia hết cho $3$ — vô lí. Vậy phương trình không có nghiệm nguyên. Đáp án A.

Câu 23

Hệ phương trình sau có mấy nghiệm $\begin{cases} x^{2}+y^{2}=8 \\ \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}=(\sqrt{y}-\sqrt{x})(x^{4}+1+y^{2}) \end{cases}$

Lời giải: Điều kiện $x\ge 0, y\ge 0$. Từ phương trình thứ hai, bằng cách xét dấu và tính đơn điệu của hai vế, ta chứng minh được $x=y$. Thay $x=y$ vào phương trình thứ nhất: $2x^{2}=8 \Leftrightarrow x^{2}=4 \Leftrightarrow x=2$ (do $x\ge 0$), suy ra $y=2$. Vậy hệ có đúng $1$ nghiệm $(x;y)=(2;2)$. Đáp án A.

Câu 24

Phương trình $x^{4}+x+2=0$ có mấy nghiệm?

Lời giải: Giả sử phương trình có nghiệm $x$. Từ phương trình suy ra $x=-(x^{4}+2)\le -2$ (vì $x^{4}+2\ge 2$). Khi đó $x^{4}+x+2=x(x^{3}+1)+2\ge (-2)(-7)+2>0$ (do $x\le -2 \Rightarrow x^{3}\le -8 \Rightarrow x^{3}+1\le -7$, và $x<0$), mâu thuẫn với $x^{4}+x+2=0$. Vậy phương trình vô nghiệm. Đáp án A.

Câu 25

Tổng các góc trong của ngũ giác lồi bằng bằng nhiêu độ?

Lời giải: Đa giác lồi $n$ cạnh có tổng các góc trong bằng $(n-2).180^{0}$. Ngũ giác có $n=5$ cạnh nên tổng các góc trong bằng $(5-2).180^{0}=540^{0}$. Đáp án D.

Câu 26

$M$ là điểm thuộc cạnh $CD$ của hình bình hành $ABCD$. Tính tỉ số diện tích của tam giác $MAB$ và hình bình hành $ABCD$.

Lời giải: Hạ $MH\perp AB$. Tam giác $MAB$ và hình bình hành $ABCD$ có cùng đường cao $MH$ (vì $AB$ và $CD$ song song) và cùng cạnh đáy $AB$. Diện tích tam giác $MAB$ là $\dfrac{1}{2}AB.MH$, diện tích hình bình hành $ABCD$ là $AB.MH$, do đó tỉ số diện tích bằng $\dfrac{1}{2}$. Đáp án C.

Câu 27

Tính $P=\sin^{2}2^{0}+\sin^{2}4^{0}+\cdots+\sin^{2}88^{0}$

Lời giải: Ta có $2P=\left(\sin^{2}2^{0}+\sin^{2}88^{0}\right)+\left(\sin^{2}4^{0}+\sin^{2}86^{0}\right)+\cdots+\left(\sin^{2}88^{0}+\sin^{2}2^{0}\right)=\left(\sin^{2}2^{0}+\cos^{2}2^{0}\right)+\left(\sin^{2}4^{0}+\cos^{2}4^{0}\right)+\cdots+\left(\sin^{2}88^{0}+\cos^{2}88^{0}\right)=1+1+\cdots+1=44$ (vì $\sin 88^{0}=\cos 2^{0}$, $\sin 86^{0}=\cos 4^{0}$, ...). Vậy $P=22$. Đáp án D.

Câu 28

Cho tam giác $ABC$ nhọn, gọi $S$ là diện tích tam giác $ABC$, khi đó:

Lời giải: Kẻ $BH\perp AC$ tại $H$. Trong tam giác vuông $ABH$ ta có $BH=AB.\sin A$. Diện tích tam giác $ABC$ là $S=\dfrac{1}{2}AC.BH=\dfrac{1}{2}AB.AC.\sin A$. Đáp án A.

Câu 29

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$. Hạ $OH,OK,OM$ lần lượt vuông góc với các cạnh $CA,BC,AB$. Biết $OH\lt OK\lt OM$. Khẳng định nào dưới đây là đúng?

Lời giải: $OH,OK,OM$ là khoảng cách từ tâm $O$ đến các dây $CA,BC,AB$; dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn, nên từ $OHBC>AB$. Trong một đường tròn, dây lớn hơn thì căng cung lớn hơn nên góc nội tiếp chắn cung đối diện lớn hơn, do đó $\widehat{B}>\widehat{A}>\widehat{C}$, tức là $\widehat{C}<\widehat{A}<\widehat{B}$. Đáp án B.

Câu 30

Từ điểm M nằm ngoài đường tròn $(O;R)$, kẻ tiếp tuyến $MA,MB$ với đường tròn, $C$ là điểm đối xứng của $O$ qua $B$. Biết $\widehat{AMO}=31^{0}$, tính $\widehat{AMC}$?

Lời giải: Vì $MA,MB$ là hai tiếp tuyến kẻ từ $M$ nên $MO$ là phân giác của $\widehat{AMB}$, suy ra $\widehat{AMO}=\widehat{OMB}$. Mặt khác $MB\perp OB$ (do $MB$ là tiếp tuyến) nên $MB$ vừa là đường cao vừa là trung trực của $OC$ trong tam giác $MOC$ (vì $B$ là trung điểm $OC$), suy ra tam giác $MOC$ cân tại $M$ và $MB$ là phân giác của $\widehat{OMC}$, do đó $\widehat{OMB}=\widehat{BMC}$. Vậy $\widehat{AMO}=\widehat{OMB}=\widehat{BMC}=31^{0}$, suy ra $\widehat{AMC}=3.\widehat{AMO}=3.31^{0}=93^{0}$. Đáp án D.

Câu 31

Cho tam giác đều $ABC$ cạnh $a$. $M,N,P$ là các điểm lần lượt di động trên các cạnh $AB,CB,CA$ sao cho $AM=BN=CP$. Diện tích tam giác $MNP$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

Lời giải: Đặt $AM=x$ với $0Đáp án D.

Câu 32

$M$ là điểm di động trên nửa đường tròn đường kính $AB=2R=36cm$. Hạ $MH\perp AB$. Gọi $r_1,r_2,r_3$ lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $AMB, AMH, BMH$. Tính giá trị lớn nhất của $r_1+r_2+r_3$ là:

Lời giải: Ta chứng minh được $2r_1=MA+MB-AB$ (bán kính đường tròn nội tiếp tam giác vuông $AMB$ vuông tại $M$). Tương tự $2r_2=MH+AH-AM$ và $2r_3=MH+BH-MB$. Cộng lại: $2r_1+2r_2+2r_3=(MA+MB-AB)+(MH+AH-AM)+(MH+BH-MB)=2MH+(AH+BH)-AB=2MH$ (vì $AH+BH=AB$), suy ra $r_1+r_2+r_3=MH\le R$ (do $MH$ là khoảng cách từ $M$ trên nửa đường tròn đến đường kính $AB$, lớn nhất bằng bán kính $R$ khi $M$ là điểm chính giữa cung). Vậy $\max(r_1+r_2+r_3)=R=18cm$. Đáp án B.

Câu 33

Cho hình vuông $ABC$ cạnh $a$. $I$ là điểm nằm trong hình vuông sao cho $\widehat{ABI}=\widehat{BAI}=15^{0}$. Tính $IC+ID$.

Lời giải: Vì $\widehat{IAB}=\widehat{IBA}=15^{0}$ nên tam giác $AIB$ cân tại $I$, suy ra $IA=IB$; do đó $\triangle AID=\triangle BIC$ (c.g.c), suy ra $ID=IC$. Dựng điểm $E$ ở ngoài hình vuông sao cho tam giác $ABE$ đều, khi đó $\triangle AIE=\triangle BIE$ (c.c.c) nên $\widehat{BEI}=30^{0}$. Lại có $\triangle IBE=\triangle IBC$ (c.g.c) nên $\widehat{BCI}=\widehat{BEI}=30^{0}$, suy ra $\widehat{DCI}=90^{0}-30^{0}=60^{0}$, do đó tam giác $CDI$ đều nên $IC=ID=CD=a$. Vậy $IC+ID=2a$. Đáp án A.

Câu 34

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Nếu quay tam giác quanh trục $AB$ ta được hình nón có thể tích $80\pi$, nếu quay tam giác quanh trục $AC$ ta được hình nón có thể tích $192\pi$. Tính tỉ số $\dfrac{AC}{AB}$.

Lời giải: Khi quay tam giác quanh trục $AB$ thì $AB$ là đường cao của hình nón và $AC$ là bán kính đáy, thể tích hình nón tạo thành là $V_1=\dfrac{1}{3}\pi.AB.AC^{2}=80\pi$. Khi quay tam giác quanh trục $AC$ thì $AC$ là đường cao của hình nón và $AB$ là bán kính đáy, thể tích hình nón tạo thành là $V_2=\dfrac{1}{3}\pi.AC.AB^{2}=192\pi$. Suy ra $\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{80\pi}{192\pi}=\dfrac{5}{12}$. Đáp án C.

Câu 35

Hình hộp chữ nhật $ABC.A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$ có diện tích các mặt $ABCD, BCC^{\prime}B^{\prime}, ABB^{\prime}A^{\prime}$ là $72cm^{2}$; $90cm^{2}, 80cm^{2}$. Tính thể tích hình hộp chữ nhật:

Lời giải: Giả sử ba kích thước của hình hộp chữ nhật là $a,b,c$. Ta có $\begin{cases} ab=72 \\ ac=90 \\ bc=80 \end{cases} \Rightarrow (abc)^{2}=(ab)(ac)(bc)=72.90.80=518400 \Rightarrow abc=720$. Vậy thể tích hình hộp chữ nhật là $720cm^{3}$. Đáp án B.

Câu 36

Bảng thống kê số sản phẩm lỗi phát hiện được tại ba dây chuyền sản xuất của một nhà máy, phân theo ba loại lỗi như sau: Dây chuyền 1: 8 sản phẩm nứt, 5 sản phẩm móp, 3 sản phẩm sai màu; Dây chuyền 2: 6 sản phẩm nứt, 7 sản phẩm móp, 4 sản phẩm sai màu; Dây chuyền 3: 4 sản phẩm nứt, 3 sản phẩm móp, 2 sản phẩm sai màu. Hỏi dây chuyền nào có tổng số sản phẩm lỗi (cả ba loại) ít nhất?

Lời giải: Tổng số sản phẩm lỗi của mỗi dây chuyền là: Dây chuyền 1: $8+5+3=16$ sản phẩm; Dây chuyền 2: $6+7+4=17$ sản phẩm; Dây chuyền 3: $4+3+2=9$ sản phẩm. So sánh ba tổng trên, Dây chuyền 3 có số sản phẩm lỗi ít nhất. Đáp án D.

Câu 37

Bạn Minh thống kê mức lượt xem của 20 video ngắn mà mình đã đăng tải, phân theo ba mức: Dưới 1 nghìn lượt, Từ 1 đến 5 nghìn lượt, Trên 5 nghìn lượt. Kết quả ghi lại theo thứ tự như sau: Dưới 1 nghìn lượt, Từ 1 đến 5 nghìn lượt, Từ 1 đến 5 nghìn lượt, Trên 5 nghìn lượt, Từ 1 đến 5 nghìn lượt, Dưới 1 nghìn lượt, Từ 1 đến 5 nghìn lượt, Trên 5 nghìn lượt, Từ 1 đến 5 nghìn lượt, Từ 1 đến 5 nghìn lượt, Dưới 1 nghìn lượt, Từ 1 đến 5 nghìn lượt, Trên 5 nghìn lượt, Từ 1 đến 5 nghìn lượt, Dưới 1 nghìn lượt, Từ 1 đến 5 nghìn lượt, Từ 1 đến 5 nghìn lượt, Trên 5 nghìn lượt, Từ 1 đến 5 nghìn lượt, Dưới 1 nghìn lượt. Tần số của mức "Từ 1 đến 5 nghìn lượt" trong dãy số liệu trên là bao nhiêu?

Lời giải: Đếm số lần xuất hiện của mức "Từ 1 đến 5 nghìn lượt" trong dãy số liệu, ta đếm được 11 video thuộc mức này. Vậy tần số của mức "Từ 1 đến 5 nghìn lượt" là 11. Đáp án B.

Câu 38

Thời gian chờ xe buýt (đơn vị: phút) của 30 hành khách tại một trạm xe buýt được ghi lại như sau: 27; 7; 15; 36; 11; 38; 10; 6; 12; 14; 31; 23; 31; 16; 22; 29; 20; 19; 12; 33; 28; 15; 2; 16; 3; 0; 28; 10; 7; 12. Ghép nhóm số liệu trên theo 4 nhóm $[0;10)$, $[10;20)$, $[20;30)$, $[30;40)$. Tính tần số tương đối ghép nhóm của nhóm $[10;20)$.

Lời giải: Đếm số giá trị thuộc mỗi nhóm: nhóm $[0;10)$ có 6 giá trị (0; 2; 3; 6; 7; 7), nhóm $[10;20)$ có 12 giá trị, nhóm $[20;30)$ có 7 giá trị, nhóm $[30;40)$ có 5 giá trị; tổng cộng $6+12+7+5=30$ (khớp với 30 hành khách). Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm $[10;20)$ là $\dfrac{12}{30}\times100\% = 40\%$. Đáp án A.

Câu 39

Một vòng quay số có 4 ô, được đánh số lần lượt là 1, 2, 3, 4. Quay vòng quay một lần và ghi lại số ở ô mà kim chỉ dừng lại. Không gian mẫu $\Omega$ của phép thử là tập hợp nào sau đây?

Lời giải: Kim của vòng quay có thể dừng lại ở một trong 4 ô, tương ứng với các số 1, 2, 3, 4. Do đó không gian mẫu là $\Omega = \{1;2;3;4\}$. Đáp án B.

Câu 40

Một hộp đựng 10 tấm thẻ giống hệt nhau, đánh số từ 1 đến 10. Rút ngẫu nhiên đồng thời 2 tấm thẻ từ hộp. Tính xác suất để tổng hai số ghi trên hai tấm thẻ là một số chẵn.

Lời giải: Số cách rút 2 thẻ trong 10 thẻ là $C_{10}^2 = 45$ (cách), đây là số kết quả đồng khả năng. Tổng hai số là số chẵn khi cả hai thẻ cùng là số lẻ hoặc cùng là số chẵn. Trong 10 thẻ có 5 số lẻ (1;3;5;7;9) và 5 số chẵn (2;4;6;8;10). Số cách chọn 2 thẻ cùng lẻ là $C_5^2 = 10$, số cách chọn 2 thẻ cùng chẵn là $C_5^2 = 10$, tổng cộng có $10+10=20$ cách thoả mãn. Xác suất cần tìm là $\dfrac{20}{45} = \dfrac{4}{9}$. Đáp án B.

Đề thi thử số 8